2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析

课时作业 A 组——基础对点练

1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A.3 B ．3 C.3m

D ．3m

解析：双曲线方程为x 23m －y 2

3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.

答案：A

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )

A ．2 B.62

C.52

D ．1

解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3

a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.

答案：D

3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0

D ．y ±4x ＝0

解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2

＝0，即x ±2y ＝0，选

A. 答案：A

4．已知双曲线x 23－y 2

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|

＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5

D.12

解析：在双曲线x 23－y 2

＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|

－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1

2×(5＋3)×(5

－3)＝1.故选A. 答案：A

5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条

渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5

D ．4

解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程

为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b

a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴

的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B

6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.

5＋12

B ．2 C. 2

D ．2 2

解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的

距离为a ，所以bc a 2＋b 2

＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝c

a ＝

1＋(b

a

)2

＝2，故选C. 答案：C

7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为

( ) A.x 24－y 2

3＝1 B.x 29－y 2

16＝1 C.x 216－y 2

9

＝1 D.x 23－y 2

4

＝1 解析：由题意得e ＝

1＋b 2a 2＝5

4，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2

9＝1.

答案：C

8．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0

垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

4

＝1

C.3x 220－3y 2

5

＝1 D.3x 25－3y 2

20

＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2

＝1.

答案：A

9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y

2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

焦距为2c ，直线y ＝3

3

(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1

解析：∵直线y ＝

3

3

(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝1

2|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的

定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c

3c －c

2＝3＋1，选D.

答案：D

10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|

＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0

D ．x ±2y ＝0

解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩

⎪⎨⎪⎧

|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，

所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A

11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C

的方程为( ) A.x 220－y 2

5＝1 B.x 25－y 2

20＝1 C.x 280－y 2

20

＝1 D.x 220－y 2

80

＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＋b 2

＝251＝b a

×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝20

b 2＝5，

∴双曲线C 的方程为x 220－y 2

5＝1.

答案：A

12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1

2x ，则该双曲线的标准方程为________．

解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝1

2

x 的