统计学导论 - 天津财经大学2010年精品课程申报

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天津财经大学统计系

第十一章相关与回归分析

⏹第一节相关与回归分析的基本概念⏹第二节简单线性相关与回归分析⏹第三节多元线性相关与回归分析

第一节相关与回归分析的基本概念

⏹一、函数关系与相关关系

⏹二、相关关系的种类

⏹三、相关分析与回归分析

⏹四、相关图

一、函数关系与相关关系

⏹当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确

定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数

关系。例如，商品的销售收入Ｙ与该商品的销售量

Ｘ以及该商品价格Ｐ之间的关系。

⏹当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之

相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种

规律在一定的范围内变化。变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。例如，劳动生产率

与工资水平的关系。

⏹变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。

⏹本来具有函数关系的变量，当存在观测误差时，

其函数关系往往以相关的形式表现出来。

⏹而具有相关关系的变量之间的联系，如果我们

对它们有了深刻的规律性认识，并且能够把影

响因变量变动的因素全部纳入方程，这时的相

关关系也可能转化为函数关系。

相关关系也具有某种变动规律性，所以，相关关系经常可以用一定的函数形式去近似地描述。客观现象的函数关系可以用数学分析的方法去研究，而研究客观现象的相关关系必须借助于统计学中的相关与回归分析方法。

二、相关关系的种类

⏹按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。

⏹当一种现象的数量变化完全由另一个现象的数量

变化所确定时，称这两种现象间的关系为完全相

关。在这种场合，相关关系便成为函数关系。因

此也可以说函数关系是相关关系的一个特例。

⏹当两个现象彼此互不影响，其数量变化各自独立

时，称为不相关现象。

⏹两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之间，

称为不完全相关，一般的相关现象都是指这种不

完全相关。

⏹按相关的方向可分为正相关和负相关。

⏹当一个现象的数量增加（或减少），另一个现

象的数量也随之增加（或减少）时，称为正相关。例如，消费水平随收入的增加而提高。

⏹当一个现象的数量增加（或减少），而另一个

现象的数量向相反方向变动时，称为负相关。

例如商品流转的规模愈大，流通费用水平则愈低。

⏹按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。

⏹按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。

⏹两个变量之间的相关，称为单相关。

⏹当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变

量的相关关系时，称为复相关。

⏹在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变

量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。

三、相关分析与回归分析

⏹相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。

⏹回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。

⏹相关分析和回归分析有着密切的联系，它们不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充。

相关分析与回归分析的区别

⏹相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度。回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式，确定一个相关的数学表达式，根据这个数学方程式可以从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供一个重要的方法。

⏹相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况。其所涉及的变量可以都是随机变量。而回归分析则必须事先研究确定具有相关关系的变量中哪个为自变量，哪个为因变量。一般地说，回归分析中因变量是随机的，而把自变量作为研究时给定的非随机变量。

【例11-1】教堂数与监狱服刑人数同步增长

美国印第安纳州的地区教会想要筹款兴建新教堂，提出教堂能洁净人们的心灵，减少犯罪，降低监狱服刑人数的口号。为了增进民众参与的热诚和信心，教会的神父收集了近１５年的教堂数与在监狱服刑的人数进行统计分析。结果却令教会大吃一惊。最近１５年教堂数与监狱服刑人数呈显著的正相关。那么是否可以由此得出，教堂建得越多，就可能带来更多的犯罪呢？经过统计学家和教会神父深入讨论，并进一步收集近１５年的当地人口变动资料和犯罪率等资料作进一步分析，发现监狱服刑人数的增加和教堂数的增加都与人口的增加有关。教堂数的增加并非监狱服刑人数增加的原因。至此，教会人士总算松了一口气。

四、相关图

相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。

第二节简单线性相关与回归分析

⏹一、相关系数及其检验

⏹二、标准的一元线性回归模型

⏹三、一元线性回归模型的估计

⏹四、一元线性回归模型的检验

⏹五、一元线性回归模型预测

一、相关系数及其检验

（一）相关系数的定义

⏹总体相关系数的定义式是总体相关系数是反映两变量之间线性相关程度的一种特征值，表现为一个常数。

⏹

样本相关系数的定义公式是上式中，和分别是Ｘ和Ｙ的样本平均数。

样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体的数值也会有所差异。样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。

(,)()()

Cov X Y Var X Var Y γ=

∑∑--∑--=22)

()())((Y Y X X Y Y X X r t t t t X Y