《函数的应用》函数的概念与性质PPT课件
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2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
a>0， ff（（kk12））><00，， f（k3）>0.
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)
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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示 课件 课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 课件
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2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册
解析 由已知得，该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10. 由 y＝16m，得 x>10，所以 2mx－10m＝16m.解 得 x＝13.故选 A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
4x，1≤x<10，x∈N， ＝2x＋10，10≤x<100，x∈N，
1.5x，x≥100，x∈N，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人
数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 0，若 4x＝60，则 x＝15>10，不符合题意；若 2x＋10＝ 60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不符合题意．故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最 大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售，利润为 y 元，由表格中的 数据可知，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日 销售桶数 480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L ＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1292＋30＋1492，∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
4．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每 桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下表：
人教版中职数学基础模块上册《函数的应用》课件 (一)
人教版中职数学基础模块上册《函数的应用》课件 (一)人教版中职数学基础模块上册《函数的应用》课件是中职二年级学生学习函数应用基础的重要教材，也是中职数学教育中最为基础的教材之一。
本教材通过生动有趣的教学方式，讲授了函数应用的各种知识点和实际应用场景，帮助学生更好地掌握函数应用的技巧和方法。
首先，本教材从“函数与变量”、“函数的概念”、“函数的性质”等方面入手，深入浅出地讲解了函数的基本概念和性质。
通过生动的图例演示和实例分析，帮助学生轻松理解函数的定义和特性，为后面的学习打下了良好的基础。
其次，本教材通过“一次函数”、“二次函数”、“指数函数”、“对数函数”等章节，系统地讲授了各种函数类型及其应用。
在讲解一次函数时，教材引入了分析直线图像的方法，帮助学生直观地理解函数在平面直角坐标系中的表现形式；在讲解指数函数时，教材通过实例分析和应用，让学生进一步了解指数函数的性质和特点，为后面的学习打下了铺垫。
最后，本教材在“三角函数”、“复合函数”等章节，深入分析了各种高级函数类型及其应用。
在讲解三角函数时，教材重点讲解了正弦、余弦、正切、余切等常用三角函数的概念和特性，让学生对三角函数更加深入地理解；在讲解复合函数时，教材通过实例分析和应用，帮助学生掌握如何理解和运用复合函数的方法和技巧。
总之，人教版中职数学基础模块上册《函数的应用》课件是中职数学教育中不可或缺的重要教材，通过生动有趣的教学方式，讲解了各种函数类型及其应用，帮助学生更好地掌握函数应用的技巧和方法。
相信通过本教材的学习，学生能够对函数应用有更加深入全面的了解和掌握，为将来的职业道路打下坚实的数学基础。
函数的概念及其表示课件
复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数 的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再 将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关 系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示 函数输入输出之间的关系，方便查 找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重 要性质，它与函数的对称性有关 ，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加 或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相 除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过 函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态 保护提供科学依据。
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自 变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表 示函数关系的方法。
中职函数的应用ppt课件ppt课件
函数在日常生活中的应用
总结词
描述函数在日常生活中常见的一些应用场景，如天气 预报、股票价格、健康管理等。
详细描述
函数在日常生活中有着广泛的应用。例如，天气预报 中的气温、湿度和气压等数据可以用函数来表示，通 过分析这些函数的走势，可以预测未来的天气情况。 此外，股票价格的变化也可以通过函数来描述，投资 者可以通过分析这些函数的走势来做出投资决策。在 健康管理中，各种生理指标如心率、血压等也可以通 过函数来监测和分析，帮助人们更好地了解自己的身 体状况。
常数，$a neq 0$。
一次函数在中职数学中主要应 用于解决实际问题，如路程、
速度、时间等问题。
一次函数还可以用于预测和建 模，例如预测商品的销售量或
人口增长等。
一次函数还可以与其他函数进 行比较和转换，进一步研究函
数的性质和图像。
反比例函数
反比例函数是形如$y = frac{k}{x}$的 函数，其中$k$是常数且$k neq 0$ 。
函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个数x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对 于函数f(x)的定义域内的任意一个数x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
02
常见函数类型及其应用
一次函数
01
02
03
04
一次函数是形如$y = ax + b$的函数，其中$a$和$b$是
强化问题解决策略
教授学生如何分析问题、 选择合适的函数模型、求 解并验证结果。
培养创新思维
鼓励学生尝试不同的方法 来解决实际问题，培养其 创新思维和解决问题的能 力。
拓展知识面
介绍一些扩展的函数知识 ，如分段函数、隐函数等 ，让学生了解更多函数在 实际问题中的应用。Leabharlann THANKS感谢观看
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
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反比例函数的图像
总结词
描述反比例函数的图像特征。
详细描述
反比例函数的图像通常在第一象限和第三象限呈现出曲线形状。在坐标系中，它通常呈现出双曲线的 形态，且随着k值的改变，双曲线的形状和位置也会发生变化。
反比例函数的性质
总结词：列举反比例 函数的主要性质。
1. 当k>0时，函数在 第一象限和第三象限 单调递减。
函数的意义
01
函数是数学中重要的概念之一， 它描述了变量之间的依赖关系， 是研究自然现象、社会现象和工 程技术问题的基础工具之一。
02
通过函数的学习，可以帮助学生 掌握变量之间的关系，培养分析 和解决问题的能力，为后续学习 打下基础。
02
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，其中x是自 变量，y是因变量。
一次函数的图像的重要性
通过一次函数的图像，我们可以直观地了解函数的值域、定义域和单调性等性质 ，有助于学生更好地掌握函数的性质和应用。
一次函数的性质
一次函数的性质
一次函数具有单调性，当k>0时，函数在定义域内单调递增 ；当k<0时，函数在定义域内单调递减。此外，一次函数还 具有垂直平分线性质和斜截式等性质。
值与之对应。
函数的定义通常包括定义域和对 应关系两个要素。
函数的表示方法
01
02
03
符号表示法
使用字母f、g、h等表示 函数，其中f(x)表示函数f 在x处的值。
列表表示法
列出自变量和因变量的对 应关系，即列出表格或图 形。
解析式表示法
用数学表达式表示函数的 关系，即给出因变量关于 自变量的解析式。
函数的概念ppt课件
函数的特性
确定性
对于给定的输入值，函数总是产生一个唯一的 输出值。
可计算性
函数可以在有限的步骤内计算出输出值。
可重复性
对于相同的输入值，函数总是产生相同的输出值。
函数的类别
多项式函数
由多项式组成的函数，如二次 函数、三次函数等。
指数函数
输出值与输入值的指数相关的 函数。
线性函数
输出值与输入值成正比关系的 函数。
极限的分类
根据函数趋于某点的不同方 式，极限分为左极限和右极 限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、 局部保号性等性质。
极限的运算性质
极限的加减乘除法则
极限的加减乘除运算法则可以用来计算极限。
极限的复合运算
复合运算是指将多个基本运算组合在一起进行计算。
重要极限及其推论
重要极限是极限计算中常用的几个基本极限，它们具 有形式简单、应用广泛的特点。
优化组织管理
在组织管理中，函数可以用来优化流程和资源配置，提高组织效率和 绩效。
1.谢谢聆 听
对应关系
自变量与因变量之 间的对应关系。
变量
函数中的自变量和 因变量。
定义域
函数中自变量的取 值范围。
解析式
用数学表达式来表 示函数关系。
值域
函数中因变量的取 值范围。
图表法表示函数
坐标系
建立直角坐标系，以横轴表示自变量，纵轴 表示因变量。
连线
描点
根据函数的对应关系，在坐标系上描出相应 的点。
用平滑的曲线将这些点连接起来，形成函数 图像。
函数的连续性
连续性的定义
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数 值，则函数在该点连续。
《一次函数的应用》一次函数PPT
第四章 一次函数
4.4 一次函数的应用
学习目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的
过程，发展应用意识；
2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；
3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；
4.初步体会函数与方程的关系.
知识回顾
什么是一次函数？
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，
即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.
一 确定一次函数表达式
待定系数法确定一次函数表达式
(1) 设出函数表达式；
(2) 将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到
关于k,b的一元一次方程；
(3) 解方程求未知数；
(4) 写出函数的表达式.
合作探究
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增
b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
上式中k，b对函数
图象有什么影响？
合作探究
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间
t（s）的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
v（m/s）
6
5
4
分析：因为直线过原点，符合正比例函数的
3
量的关系，根据图象填空：
大于4t
(4) 当销售量________时，该公司赢利
l1
6000
l2
5000
（收入大于成本）；
4000
3000
当销售量_________时，该公司亏损
小于4t
2000
（收入小于成本）.
4.4 一次函数的应用
学习目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的
过程，发展应用意识；
2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；
3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；
4.初步体会函数与方程的关系.
知识回顾
什么是一次函数？
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，
即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.
一 确定一次函数表达式
待定系数法确定一次函数表达式
(1) 设出函数表达式；
(2) 将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到
关于k,b的一元一次方程；
(3) 解方程求未知数；
(4) 写出函数的表达式.
合作探究
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增
b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
上式中k，b对函数
图象有什么影响？
合作探究
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间
t（s）的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
v（m/s）
6
5
4
分析：因为直线过原点，符合正比例函数的
3
量的关系，根据图象填空：
大于4t
(4) 当销售量________时，该公司赢利
l1
6000
l2
5000
（收入大于成本）；
4000
3000
当销售量_________时，该公司亏损
小于4t
2000
（收入小于成本）.
对数函数的性质与应用课件
函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数函数相 除时，其对应的对数值也相除。
详细描述
设函数$f(x) = log_a(x)$和$g(x) = log_a(x)$，若$f(x) / g(x) = log_a(x) / log_a(x) = log_a(frac{1}{x})$，则对数函数 的除法性质成立。
对数在数学中有着广泛的应用，例如 在求解复合函数、反函数、幂函数等 问题时，对数函数可以提供一种简便 的解决方法。
在几何学中，对数函数可以用于研究 几何图形的面积、体积等方面的问题 。
在数学分析中，对数函数可以用于研 究函数的单调性、奇偶性、周期性等 性质，以及求解函数的极限、导数和 积分等。
对数在物理中的应用
图像的平移与伸缩
要点一
总结词
对数函数图像的平移和伸缩规律是重要的数学性质。
要点二
详细描述
对数函数图像的平移规律包括向上或向下平移，伸缩规律 则包括横向和纵向的拉伸或压缩。这些变换规律可以通过 代数表达式来描述，并应用于解决实际问题。
图像的对称性分析
总结词
对数函数图像的对称性分析有助于理解函数的性质。
在金融领域中，对数函数还可以用于评估投资组合的风险 和回报率，以及制定投资策略和资产配置方案等。
04
对数函数与其他函数的关 系
对数函数与指数函数的关系
互为反函数
对数函数和指数函数是一对互为反函 数的函数，即如果有一个对数函数f(x) = log(a)(x)，那么它的反函数就是指 数函数f^(-1)(x) = a^x。
性质关系
对数函数和幂函数之间有一些重要的性质关 系，例如对数函数的换底公式和幂函数的乘 法法则等。这些性质关系在对数函数和幂函
函数的概念ppt课件
在经济学、社会学等领域中， 函数图像被用来描述和分析各 种数据之间的关系和变化趋势
。
THANKS
感谢观看
插值法
利用已知的离散数据点，通过数学计算得到更多的数据点，从而绘制出 更精确的函数图像。
03
பைடு நூலகம்计算几何法
利用几何知识，将函数表达式转换为几何图形，从而得到函数的图像。
函数图像的性质
01
02
03
04
连续性
函数图像在定义域内连续不断 ，没有间断点。
单调性
函数在某个区间内单调增加或 单调减少。
奇偶性
函数图像关于原点对称或关于 y轴对称。
周期性
函数图像呈现周期性变化。
函数图像的应用
数学分析
通过函数图像分析函数的性质 和变化规律，解决数学问题。
自然科学
在物理学、化学、生物学等自 然科学领域中，函数图像被广 泛应用于实验数据的分析和解 释。
工程学
在工程学中，函数图像可以用 来描述各种实际问题的变化规 律，如机械运动、电路电流等 。
经济和社会科学
函数的乘法
总结词
函数乘法是指将两个函数的输出值相乘，得到一个新的函数。
详细描述
函数乘法是一种数学运算，其操作是将两个函数的输出值逐一对应相乘。假设有 两个函数f(x)和g(x)，函数乘法就是将f(x)和g(x)的输出值相乘，得到一个新的函 数h(x)=f(x)*g(x)。
函数的除法
总结词
函数除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输出值，得到一个新的函数。
函数的实际应用
生活中的函数
总结词：无处不在
详细描述：函数的概念在日常生活中随处可见，如物品价格与数量的关系、时间 与路程的关系等。这些关系都可以通过函数来描述和预测。
。
THANKS
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插值法
利用已知的离散数据点，通过数学计算得到更多的数据点，从而绘制出 更精确的函数图像。
03
பைடு நூலகம்计算几何法
利用几何知识，将函数表达式转换为几何图形，从而得到函数的图像。
函数图像的性质
01
02
03
04
连续性
函数图像在定义域内连续不断 ，没有间断点。
单调性
函数在某个区间内单调增加或 单调减少。
奇偶性
函数图像关于原点对称或关于 y轴对称。
周期性
函数图像呈现周期性变化。
函数图像的应用
数学分析
通过函数图像分析函数的性质 和变化规律，解决数学问题。
自然科学
在物理学、化学、生物学等自 然科学领域中，函数图像被广 泛应用于实验数据的分析和解 释。
工程学
在工程学中，函数图像可以用 来描述各种实际问题的变化规 律，如机械运动、电路电流等 。
经济和社会科学
函数的乘法
总结词
函数乘法是指将两个函数的输出值相乘，得到一个新的函数。
详细描述
函数乘法是一种数学运算，其操作是将两个函数的输出值逐一对应相乘。假设有 两个函数f(x)和g(x)，函数乘法就是将f(x)和g(x)的输出值相乘，得到一个新的函 数h(x)=f(x)*g(x)。
函数的除法
总结词
函数除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输出值，得到一个新的函数。
函数的实际应用
生活中的函数
总结词：无处不在
详细描述：函数的概念在日常生活中随处可见，如物品价格与数量的关系、时间 与路程的关系等。这些关系都可以通过函数来描述和预测。
第3章函数的概念与性质章末总结+课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版必修第一册
∴ f 11 = f 3 = −f −1 = f 1 .
∵ f x 在区间[0,2]上单调递增，f x 在上是奇函数，∴ f x 在区间[−2,2]上单调递增，
∴ f −1 < f 0 < f 1 ，即f −25 < f 80 < f 11 .
命题点1 求函数的值或最值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知f x 是定义在上的函数，且对任意
图3-1
（3）求出f x 在[−3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
【解析】由函数f x 在[−3,3]上的单调性可知，f x 在x = −3或x = 1处取得最小值，
易得f −3 = −k 2 ，f 1 = −1.
在x = −1或x = 3处取得最大值，易得f −1 = −k，f 3 =
【解析】由f −2 = 0,可设f x = x + 2 ax + b = ax 2 + 2a + b x + 2b a ≠ 0 .
由f x ≥ 2x得ax 2 + 2a + b − 2 x + 2b ≥ 0,
所以a > 0且 2a + b − 2
由f x ≤
x2 +4
得
2
2
− 8ab ≤ 0,整理后即为4a2 + b2 ≤ 4ab + 8a + 4b − 4 ①;
设f x =
−3
，则y
x
=
3−2x
x−3
的规则知，将函数f x =
= f(x − 3) − 2,根据函数图象平移变换
−3
的图象先向右平移3个单位长度，再
x
向下平移2个单位长度，即得函数y =
∵ f x 在区间[0,2]上单调递增，f x 在上是奇函数，∴ f x 在区间[−2,2]上单调递增，
∴ f −1 < f 0 < f 1 ，即f −25 < f 80 < f 11 .
命题点1 求函数的值或最值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知f x 是定义在上的函数，且对任意
图3-1
（3）求出f x 在[−3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
【解析】由函数f x 在[−3,3]上的单调性可知，f x 在x = −3或x = 1处取得最小值，
易得f −3 = −k 2 ，f 1 = −1.
在x = −1或x = 3处取得最大值，易得f −1 = −k，f 3 =
【解析】由f −2 = 0,可设f x = x + 2 ax + b = ax 2 + 2a + b x + 2b a ≠ 0 .
由f x ≥ 2x得ax 2 + 2a + b − 2 x + 2b ≥ 0,
所以a > 0且 2a + b − 2
由f x ≤
x2 +4
得
2
2
− 8ab ≤ 0,整理后即为4a2 + b2 ≤ 4ab + 8a + 4b − 4 ①;
设f x =
−3
，则y
x
=
3−2x
x−3
的规则知，将函数f x =
= f(x − 3) − 2,根据函数图象平移变换
−3
的图象先向右平移3个单位长度，再
x
向下平移2个单位长度，即得函数y =
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
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②由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． ③易知当 t≥3 时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得 y＝ 1.2t(t≥3)．]
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13
二次函数模型的应用
【例 2】 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售 价不得低于 50 元且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价 格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．
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10
1．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时， 注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
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11
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的 电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的 函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多
少？
栏目导航
14
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一 个一次函数关系，虽然 x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一个二 次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
点、难点)
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3
自主预习 探新知
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常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
分段函数模型
f1x，x∈D1 f(x)＝f…2x…，x∈D2
fnx ，x∈Dn
4
栏目导航
1．一个矩形的周长是 40，则矩 形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为 ()
A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20 C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20
[答案] A
5
栏目导航
6
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路
C [由s与t的图象，可知t
程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那 分4段，则函数模型为分段函数
栏目导航
18
2．A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电 站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km， 已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系 数 λ＝0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月．
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15
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)， 化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销 售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55， x∈N)．
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2 个，为了获得最大利润，此商品的 － 2x2 ＋ 40x ＋ 250 ＝ － 2(x － 10)2 ＋
最佳售价应为每个________元． 450，
所以当 x＝10，即销售价为 60
元时，y 取得最大值．]
栏目导航
8
合作探究 提素养
栏目导航
9
一次函数模型的应用
【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关
么图象所对应的函数模型是( )
模型．]
A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．无法确定
栏目导航
7
3．某商店进货单价为 45 元，若
60 [设涨价 x 元，销售的利润
按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若 为 y 元，
销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 则 y＝(50＋x－45)(50－2x)＝
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
2
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次
函数、分段函数等在社会生活中普遍 1. 通过建立函数模型解决实际问
使用的函数模型)的广泛应用.
题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
16
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元．
栏目导航
17
二次函数模型的解析式为 gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它 占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判 别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问 题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
系为 y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日
生产文具盒( )
A．2 000 套
B．3 000 套
C．4 000 套
D．5 000 套
D [因利润 z＝12x－(6x＋30 000)，所以 z＝6x－30 000，由 z≥0 解
得 x≥5பைடு நூலகம்000，故至少日生产文具盒 5 000 套．]
①通话 2 分钟，需要付电话费________元； ②通话 5 分钟，需要付电话费________元； ③如果 t≥3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为 ________．
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12
①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3) [①由图象可知，当 t≤3 时，电话费 都是 3.6 元．
(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义 域；
(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小．
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[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， ∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．
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二次函数模型的应用
【例 2】 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售 价不得低于 50 元且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价 格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．
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1．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时， 注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
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1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的 电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的 函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多
少？
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[思路点拨] 本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一 个一次函数关系，虽然 x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一个二 次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
点、难点)
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自主预习 探新知
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常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
分段函数模型
f1x，x∈D1 f(x)＝f…2x…，x∈D2
fnx ，x∈Dn
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1．一个矩形的周长是 40，则矩 形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为 ()
A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20 C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20
[答案] A
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2．一辆汽车在某段路程中的行驶路
C [由s与t的图象，可知t
程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那 分4段，则函数模型为分段函数
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2．A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电 站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km， 已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系 数 λ＝0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月．
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[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)， 化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销 售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55， x∈N)．
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2 个，为了获得最大利润，此商品的 － 2x2 ＋ 40x ＋ 250 ＝ － 2(x － 10)2 ＋
最佳售价应为每个________元． 450，
所以当 x＝10，即销售价为 60
元时，y 取得最大值．]
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一次函数模型的应用
【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关
么图象所对应的函数模型是( )
模型．]
A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．无法确定
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3．某商店进货单价为 45 元，若
60 [设涨价 x 元，销售的利润
按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若 为 y 元，
销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 则 y＝(50＋x－45)(50－2x)＝
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
2
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次
函数、分段函数等在社会生活中普遍 1. 通过建立函数模型解决实际问
使用的函数模型)的广泛应用.
题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
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(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元．
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二次函数模型的解析式为 gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它 占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判 别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问 题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
系为 y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日
生产文具盒( )
A．2 000 套
B．3 000 套
C．4 000 套
D．5 000 套
D [因利润 z＝12x－(6x＋30 000)，所以 z＝6x－30 000，由 z≥0 解
得 x≥5பைடு நூலகம்000，故至少日生产文具盒 5 000 套．]
①通话 2 分钟，需要付电话费________元； ②通话 5 分钟，需要付电话费________元； ③如果 t≥3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为 ________．
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①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3) [①由图象可知，当 t≤3 时，电话费 都是 3.6 元．
(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义 域；
(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小．
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[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， ∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．