最新必修五正弦定理课件

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高中数学人教A版·必修5：正弦定理(53张PPT)

[解] 解．
(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105° >90° ，本题无
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，C＝60° <90° ，本题有一解． bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB＝＝＝， c 2 5 6 ∴B＝45° ，A＝180° －(B＋C)＝75° . 6＋ 2 10× 4 bsinA 10×sin75° ∴a＝ sinB ＝ sin45° ＝＝5( 3＋1)． 2 2
2．解三角形
对边叫做三角一般地，把三角形的三个角和它们的______ 其他元素的过程叫形的元素．已知三角形的几个元素求__________
做解三角形．
思考感悟
1．在Rt△ABC中，若C＝90° ，你能借助所学知识导出 a sinA的具体值吗？Байду номын сангаас
提示：如图所示，设Rt△ABC的外接圆半径为R，则有 AB 2R a b c ＝2R，结合正弦定理可知 sinA ＝ sinB ＝ sinC ＝ sinC ＝ sin90° 2R，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边．
a b c 综上所述：sinA＝sinB＝sinC .
3．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
提示：(1)已知三角形的任意两角和一边，求其它两边和另一角． (2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角．
课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
答案：(1)A
10 (2) 2
类型二 [例2]

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理课件 (共34张PPT)

两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角图形 A 为钝角或直角
关系式解的个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解一解无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．

正弦定理课件.ppt

解三角形。
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
ＡＢＡ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导

苏教版数学必修五1《正弦定理》ppt课件

步，下结论．
栏
(1)若所得值不在(0，1]内，则此三角形不存在．
目链
接
(2)若所得值在(0，1]内，①若是特殊角的三角函数值，
求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的
个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用
单位圆中的三角ห้องสมุดไป่ตู้数线判断解的个数．
典例解析
栏目链
接
题型1 利用正弦定理解三角形
苏教版数学必修五
1．1 正弦定理
情景导入
栏目链
接
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确
地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两
个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两
条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给栏
叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线
栏
目
当 C＝π3 时，B＝51π2 ，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
链接
当 C＝2π3 时，B＝π12，b＝assiinnAB＝ 3－1.
题型2 利用正弦定理进行边角转换题
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a
＝2bsin A，求角 B.
解析：由正弦定理sina
c＝sina A·sin C＝sin 425°·sin 15°＝
6－ 2
2 .
＝25( 6＋ 2)．
名师点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法．
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为

高中数学 1.1.1 正弦定理课件新人教A版必修5

a≤b
解的情况
一解
两解
无解
一解
无解
具体解题时,作出已知角 A,边 AC,以点 C 为圆心,以边长 a 为半径画弧,与射线
AB 的公共点(除去顶点 A)的个数即为三角形解的个数.
-10-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型一
题型二
题型三
题型一
已知两角和一边解三角形
【例 1】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A=30°,C=100°,a=10,
-7-
目标引航 12
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 2-1】在△ABC 中,c=3,A=45°,C=60°,则 a=
.
答案: 6
【做一做 2-2】在△ABC 中,a=2,b=1,sin A=13,则 sin B=
.
答案:16
-8-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
确定三角形解的个数剖析:(1)已知两角与其中一角的对边(或两角的夹边),根据正弦定理,有
(1)a=10,b=20,A=80°; (2)b=10,c=5 6,C=60°; (3)a= 3,b= 2,B=45°.
-13-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型一
题型二
题型三
解:(1)由正弦定理,得 sin B=b��a��A = 20��1��080°=2sin 80°>1,故此三角形无解.
从而得 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR.

《正弦定理》课件

教材分析学情分析教学目标
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形解：由正弦定理
a b sin A sin B
26
C
30
b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30
教学重点
A
300
B
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +300>1800 C=124.30, 故B只有一解（如图）
教学反思
教材分析学情分析教学目标
教学目标
1.知识与技能：
（1）引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；（2）简单运用正弦定理解三角形，初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。
2.过程与方法：
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。
教学重点
3.情感，态度与价值观：
教学过程
课堂小结
教学反思
（1）通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；（2）通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值，美学价值，不断提高自身的文化修养。
教材分析学情分析教学目标
《正弦定理》说课课件
教材分析学情分析教学目标
教材分析
正弦定理是高中教材人教版必修五第一章第一节的内容，是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形；（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

高中数学 1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

证明(zh作èng外m接íng圆)：O,
过B作直径(zhíjìng)BC/,连
ACB/,AC 90, C C '
c
sin C sin C ' c 2R A
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
第十三页，共25页。
ha
而 ha AD c sin B b sin C
B Da
C
∴
S ABC
1 ac sin 2
B
1 absin C 2
∴
同理
SABC
S ABC
1 ab
1 bc 2
sin C
sin A
1 bc sin
2
2
A
1 2
ac sin
B
第二十一页，共25页。
(2)已知两边(liǎngbiān)和其中一边的对角,求其他边
C 30 , a c 4 3
（2）在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
C 60 , a 3 3,b 2 3
第八页，共25页。
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
（2）正弦定理应用(yìngyòng)范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
第十一页，共25页。
正弦(zhèngxián)定理推广一:
a b c 2RR是ABC外接圆半径

课件高中数学人教A版必修五正弦定理PPT课件_优秀版

变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 9ห้องสมุดไป่ตู้0 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
过点A作AD⊥BC于D,
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，
(3)b=26, c=15, C=30o
正弦定理应用二：例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，
练习2、在 ABC中，若 a=2bsinA，则B＝( )
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）
j AC CB j AB
jc
a
求B和c。
j AC j CB j AB （根据向量的数量定积义的）
求B和c。
求B和c。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，
A b C 请你回顾一下：同一三角形中的边角关系
(3)b=26, c=15, C=30o 练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝(
求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，

正弦定理课件(人教A版必修5)

a sinA
＝sibnB＝sincC＝ 2R
.
(2)正弦定理可变形为a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC，也可变形为a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
人教 A 版 ·数
第一章解三角形
2．(1)由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(2)由正弦定理，已知三角形中的两角和一边，可求其余两边和一角；已知三角形中的两边和其中一边的对角，可求其余两角和一边．
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2. ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：(1)直角三角形 (2)等腰三角形或直角三角形
人教 A 版 ·数
第一章解三角形
[例4] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知ccoossAB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆的半径．
∵0<2A,2B<2π，2A＋2B<2π；∴2A＝2B或2A＝π－2B.即 A＝B或A＋B＝π2.所以，三角形是等腰三角形或直角三角形．
在得到sin2A＝sin2B后，也可以化为sin2A－sin2B＝0， ∴2cos(A＋B)sin(A－B)＝0，∴cos(A＋B)＝0或sin(A－B)＝ 0.∵0<A＋B<π，且－π<A－B<π，∴A＋B＝π2或A－B＝0，即A＋ B＝π2或A＝B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
人教 A 版 ·数
第一章解三角形
[解] 由ccoossAB＝ba，ssiinnBA＝ba，可得ccoossAB＝ssiinnBA. 变形为sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B. 又∵a≠b，

高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版

答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A

高中数学第1章1.1.1正弦定理课件新人教A必修5.ppt

思考感悟正弦定理对任意三角形都适用吗？提示：正弦定理对任意的三角形都适用．
课堂互动讲练
考点突破
考点一已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
方法感悟
1．在△ABC 中，a、b 分别为 A、B 的对边．由正弦定理：sina A＝sinb B，再由大角对大边知 A＞ B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦值大．
2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．
3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另 3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进行分析与证明．
由sina A＝sinc C，得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
【名师点评】已知三角形的两个角求第三个角
时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正
弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来

正弦定理优秀课件

02 sin A sin B sin小C结：正弦定理
例1.在ABC中，已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a

01
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
02
03
正弦 C定理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image

正弦定理课件(优秀)

正弦定理的发现过程
三角形的边与角的关系：介绍三角形边与角的基本关系，为正弦定理的发现奠定基础。
特殊三角形的边与角的关系：通过观察等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的边与角的关系，引出正弦定理的猜想。
一般的三角形：通过一般三角形的边与角的关系，验证正弦定理的正确性。
三角形的面积：介绍三角形面积的计算方法，为正弦定理的应用提供思路。
添加副标题
正弦定理课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 正弦定理的引入
05 正弦定理的应用
07 总结与回顾
02 课件封面与目录 04 正弦定理的证明 06 正弦定理的拓展与
延伸
添加章节标题
课件封面与目录
封面设计
● 标题：正弦定理课件 ● 副标题：深入浅出，轻松掌握 ● 图片：一幅与正弦定理相关的图片，如三角形、波浪等 ● 配色：采用清新、简洁的配色方案，如蓝色、白色等课件目录
三角函数的对称性：利用正弦定理，可以判断三角函数的对称性，例如判断y=sin(x) 是否具有对称性。
三角函数的图像与性质问题
三角函数图像的绘制方法三角函数的基本性质三角函数的周期性、对称性和单调性三角函数的应用举例
正弦定理的拓展与延伸
余弦定理与正弦定理的关系
余弦定理与正弦定理的相似之处
目录结构
目录页
单击此处输入你的正文，请阐述观点
正弦定理的证明
单击此处输入你的正文，请阐述观点
正弦定理的引入
三角函数的应用背景
三角函数在几何学中的应用：通过三角函数可以解决三角形中的角度和边长问题，如求三角形的面积、周长等。
三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有着广泛的应用，如简谐运动、交流电、电磁波等。三角函数在工程学中的应用：在工程学中，三角函数可以用于解决结构分析、振动分析等问题。三角函数在经济学中的应用：在经济学中，三角函数可以用于分析金融市场的波动性、风险性等问题。

高中数学必修五课件：1.1.1-2《正弦定理》课件(人教A版必修5)

请给出一个三角形是正三角形的条件并能用正弦定理证明。
1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
集体探究学习活动三：
正弦定理有哪些方面的应用？
数学应用：
例1.在 ΔA B AC 30 中 ,C1 , 0,a 010,
求cb(,精确到 0.01)
解 : Q A 3 0 , C 0 1 0 , 0 B 5 0 0 0 30 A
做课本第11页第3题，求出上海东方明珠电视塔的高度，并上网查询验证。
例4. 在Δ已 Ac 知 BaoC s中 A cb o,sB ccos, C 试判断Δ A.BC的形状
解：
令 s
ianAk
由 ,
正
弦
定
理
，
得
a ks b k i n s c A k i n s , B i n , C
代入已知条件，得： csoinsA AcsoinsB BcsoinsC C
高中数学必修5
1.1
导入：
1.上网活动：“美丽的山河”图片搜索，感受到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘的面纱，需要借助于很多数学知识。
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？
B
1000
A
20
65 E
D C
B
解：过点D作DE//AC交BC于E,
D 2 A , 0 C A D 16 E 065
E
1000
D
于是， A 3 D 1 6 B 6 6 0 1 5 0 A 3 20 C5

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必修五正弦定理课件
定义：把三角形的三个角A，B，C和三
条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三
角形的几个元素求其它元素的过程叫做解
三角形。
A
c
b
B
a
C
解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系（1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
正弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c 2R siA n siB n siC n
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.
60° A
正弦定理
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
ＢＡＢ２Ｂ１Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝√_2___.
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
又∵
bc sinB sinC
∴ b csinB sinC
3 sin60 3 2
sin45
2
例 2 在ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c.
解：∵
sinB＝
b
sinA a
≈0.8999
∴ B1＝64°，B2＝116°
C
b
A
40° B2
B1
已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.
定理正的弦应定理用
已知两角和任意边，求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留两位有效数字）。
解： ∵ b c
sinB sinC
且 B 18 (0A C)10 5
∴
b=
c sin B sin C
=
10sin105 sin30
19
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝_3_0_°_.
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
3 B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
若A为锐角时:
a bsinA
无解
a bsinA 一解直角 bsinAa b二解一锐、一钝
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:aabb一无解锐解角
小结
1. 正弦定理
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；（2）已知两边及其中一边的对角.
结束语
谢谢大家聆听！！！
20
bC
正弦定理
B
BAB ' 90 , C B '
sin C sin B ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R sin A sinB
a
O
Cin A sinB sinC
正弦定理
A
A
B
Ob C
B`
O bC B` B
b sinB =2R
变式训正练弦：定理
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45，B=60，求a。
解：∵ a b sinA sinB
∴ ab sin A = sin B
3 sin 45 =
sin 60
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A= 75，B= 60，求b。
解：∵ C1800(AB)= 18 0 (75 60 )45
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角：大边对大角
a
C
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a
b
c
siA n=对c,于s一iB 般n= 的c三,s角iC n=1=c B
a 形是否b也有这个c c=siA n,c=s关i系B n？,c=siC n
c
a
abc ==
A
sinA sinB sinC