第八讲 代际交叠模型

（8.13）式得到概括，这一方程实际上就是资本的供
给函数，而方程（8.18）则隐性地给出了资本的需求
函数；消费者的劳动供给是固定的，劳动的需求隐
含在方程（8.19）式中。利用这两个出清条件可以求
解出均衡的数量解和价格解。
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但是，我们在这里重点关注的是稳定均衡解而不是
上升。
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k t 1
45 0
旧k
新k
kt
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可以看到，在代际交叠模型中的贴现率 下降的影响与新古典模型中的贴现率下 降的影响相似，也与索洛模型中储蓄率 上升的影响相似。贴现率下降使人均资 本和人均产出随时间的路径永久性地上 移，但对这些变量的增长率却只造成暂 时性的增加。
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收敛速度
为了正规 分析经 济如何 向其平 衡增长 路径收
敛，我们将运动方程（8.23）式在 k 附近线性化，
即在 kt k 处作一阶泰勒展开式，可得：
kt1 Dk
dkt 1 dkt
kt k
kt
k
（8.25）
利用运动方程（8.23）式，即 kt1
《中级宏观经济学》 主讲:何樟勇博士
浙江大学经济学院
2009年秋
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第一节 代际交叠模型
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一、决策环境：偏好、技 术、人口、禀赋与资源约束
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基本环境
经济由许多本质上相同的、仅生活两期 的消费者和大量本质相同的企业所组成， 经济活动进行无限期。消费者通过寻求 最优的两期消费组合来实现自己的效用 最大化。
c 2t 1
1 1 rt 1
c1t
（8.9）
或者
c2t 1 c1t
1 rt 1
1
1/
(8.10)
这里，我们再一次用到了 1 的定义。(8.10)式就
1
是我们熟悉的欧拉方程。
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另外，我们通过消掉预算约束条件中的储蓄 st ， 可以把（8.7）、（8.8）式合并成一个用现值表示的预
c1t st wt
（8.7）
c2t 1 st (1 rt 1 )
（8.8）
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我们把约束条件（8.7）和（8.8）代入目标函数，消 掉目标函数中的 c1t 和 c2t1 ，就可以得到一个仅含一个 决策变量 st 的最优化问题。实现该最优化问题的一阶 条件为：
wt Nt
(rt
)Kt
(8.15)
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最大化这个问题的一阶条件就是通常的边际条件：
F1 (Kt , Nt ) (rt ) 0
(8.16)
F2 (Kt , Nt ) wt 0
(8.17)
因为生产函数是一次齐次的，我们能把这两个一阶
条件改写为如下形式：
Nt1 (1 n)Nt (1 n)t1 N 0
（8.3）
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禀赋
在每一期里，有 Nt 个生活两期的消费者出生，每个 消费者在第一期拥有一单位劳动禀赋，这一单位劳动
禀赋将无弹性地提供到劳动市场上。而在第二期则拥
有 0 单位的劳动禀赋。在 t=0 时期有 N 0 个新出生的 人口（初始人口），也有 N 0 /(1 n) 个老年消费者活着， 他们仅仅生活一期，不参与经济活动但集体拥有 K0 单位的资本。这些资本即可以用于生产也可以用于消
Dk
t
可以求得：
dkt 1
D k ( 1)
dkt kt k
（8.26）
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同时，运动方程（8.23）式也表明在 kt1 kt 时
的 k 值为：
k D1/(1 )
（8.27）
或者
D k (1 )
(8.28)
将（8.28）、（8.26）两式代入（8.25）式，消
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贴现率下降的影响
现在，我们以贴现率下降为例来考察经济对外来 冲击的反应。假设经济最初处于平衡增长路径上， 然后贴现率 出现一个永久性下降。贴现率的下 降使得年轻人将其劳动收入的更大比例用于储 蓄。因此 kt1 函数向上移动，如图 8-2 所示。kt1 函
数向上移动使 k ，即处于平衡增长路径上的 k 值
rt 1
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具体而言，（8.13）式表明，当且仅当(1 r)(1 ) /
随 r 递增时，年轻人的储蓄才随着 r 递增。 (1 r)(1 ) / 对 r 的导数为[(1 ) / ](1 r)(12 ) / 。
因此，如果 1，则 s 随 r 递增；如果 1，则 s
二次可微、一次齐次、对每一个变量都是严格递增
的函数。因此，我们仍可以使用密集形式的生产函
数 yt f (kt ) 来重新表述（8.2）式。
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人口
经济在初始时有 N0 个本质上相同的消费者（初 始人口），并假设人口（也即劳动供给）以外生速
率 N n 增长，这样有：
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当经济实现稳定均衡时，有 kt kt 1 k* ，利用这
一特性，我们可以得到稳定均衡时人均资本的表达
式，为：
k
1
(1
n)(2
1/(1 )
)
（8.24）
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特别需要注意的是，一旦经济收敛至其平衡增
长路径时，其特性就与处于平衡增长路径上的
是一个连续可微，严格递增，严格凹的函数。它也
满足稻田条件，即 lim u(c) ， lim u(c) 0 。
c0
c
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技术
代表性企业租用资本和雇佣劳动作为自己的
投入要素来生产消费品，生产技术由下式给出：
Yt F (K t , N t )
（8.2）
同时，我们也假定生产函数是一个严格准凹、
每一期的均衡解，因此，我们可以利用 t 期年轻人的
储蓄将成为下一期生产资本来源这一条件来获得稳
定的资本存量解：
或者
K t1 N t s(wt , rt1 )
（8.20）
(1 n)kt1 s(wt , rt1 )
（8.21）
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代（8.18）式和（8.19）式进（8.21）式中，消掉其
st
t 0
和
一个
价格
序列
wt
, rt
t 0
的
均
衡，它们满足（1）消费者最优；（2）企业最优；（3）
市场出清。
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在这里，我们一共有三个市场，劳动市场、资本市
场和商品市场。根据瓦尔拉斯定理，三个市场只要
两个市场出清，另一个市场会自动出清，在这里，
我们就省略商品市场。消费者最优的wt , rt1 )
(1 rt1 )(1 ) /
(1 )1/ (1 rt1 )(1 ) /
wt
（8.13）
假设消费者在年轻时和年老时消费的商品都是正常
商品，那么，根据（8.13）式我们知道 s 0 ，也就
wt
是说，当工资收入上升，行为人的储蓄将增加。但是，
s 的符号是不确定的。
费，即消费品与资本品是可以一对一进行转换的。
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资源约束
经济的资源约束为：
Ntct Kt1 (1 )Kt Yt
（8.4）
这里，0 1代表资本存量的折旧率。
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二、分散经济下的最优
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f (kt ) (rt ) 0
f (kt ) kt f (kt ) wt 0
（8.18） （8.19）
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竞争均衡
对于每一个时期 t 0,1,2, , 在给定初始的资本－劳动
比率 k0 的情况下，一个竞争均衡是一个具有如下的一
个数
量序列
kt 1 ,
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偏好
每个时期 t 出生的消费者的偏好由下式给定：
u(c1t , c2t1 ) u(c1t ) u(c2t1 )
（8.1）
这里， c1t 和 c2t1 分别表示第 t 期的年轻人和第 t+1
期的老年人的消费，也就是同一个行为人在青年期
和老年期的消费。当然，我们也假设期效用函数 u()
中的 wt 和 rt1，可以得到：
kt1
f (kt1 ) (1 ) / (1 )1/ f (kt1 )
(1 ) /
[ f (kt ) kt f (kt )] (1 n)
（
8.22
）
（8.22）式隐性地给出了kt1 和 kt 之间的函数关系，我们
把它描述为人均资本的运动轨迹。
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(8.31)
如果 1/ 3 ，从(8.31)式中可以看到，k 每期将向 k 移
动其与 k 之间距离的 2/3。当然，需要注意的是在我们 这个代际交叠模型中，一期相当于一个人寿命的一半。
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随 r 递减。
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代表性企业的问题
企业只需要求解如下一个静态的最优化问题：
max
Kt ,Lt
F(Kt , Nt ) wt Nt
(1 rt )Kt
(1 )Kt
（8.14）
合并同类项以后，我们可以把（8.14）式简化为：
max
Kt ,Lt
F(Kt , Nt )
算约束条件，为：
c1t
1 1 rt1
c 2t 1
wt
（8.11）
（8.11）式表明，行为人一生消费的现值必须等于初
始财富（此处为 0）加上一生劳动收入的现值。
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现在，我们可以利用欧拉方程，也即(8.10)式替 代掉预算约束方程(8.11)式中的 c2t1 ，从而得到一个 用劳动收入和利率表示的行为人第一期（也即年轻
掉其中的 D，可以得到：
kt1 k (kt k )
（8.29）
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把（8.29）式向前挪一期，并把右边的 k 项移到
左边，可以进一步得到：
kt k (kt1 k )
(8.30)
这是一个具有递归结构的差分方程，利用重复替
代，可以得到：
kt k t (k0 k )
索洛模型和新古典增长模型完全相同：储蓄率
不变，在不考虑技术进步的时候，所有人均变
量的增长率均为零，总量层面的变量将按外生 给定的人口增长速率n增长；在考虑技术进步 的情形下，所有人均有效层面的变量的增长率
将为零，而人均层面的变量的增长率将按外生 给定的技术进步速率g增长，所有总量层面的 变量将按（n+g)的速度增长。
时）的消费函数，为：
c1t
(1 )1/ (1 )1/ (1 rt1 )(1 ) /
wt
(8.12)
(8.12)式表明，利率决定了行为人的收入中用于第一
期消费的比例。
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再代(8.12)式进预算约束方程(8.7)中，我们可以 把最优储蓄写成是一个关于工资率和资本的租金率
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对数效用与柯布—道格拉斯生 产函数下k的动态学
当 1时，效用函数退化为对数型。而如果生产
函数为柯布-道格拉斯型生产函数，则 f (k) k ，
f (k) k 1。此时，方程（8.22）成为：
k t 1
(1
)k
t
(1 n)(2 )
Dk
t
(8.23)
其中， D 1 。
(1 n)(2 )
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如图 8-1 所示：经济从 k0 出发，逐渐移向稳态的
资本存量。
kt+1
ss
E
s
0 k0
k1
k*
kt
图 8-1 资本存量动态调整
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从图 8-1 中可以看到， k 是全局稳定的：不管 k 从 何处开始（0 处除外），它都收敛于 k 。例如，如果 k 的初始值小于 k 。此时，有 kt1 kt ，所以 k1 k0 。 又由于 kt1 随 kt 递增，因此， k 将向 k 步步逼近。这 一过程期期重复，从而 k 将平滑地收敛于 k 。当 k0 k 时分析相同。
年轻消费者的最优化行为
我们假定消费者的效用函数是一常相对风险回
避型效用函数，具体形式如下：
u(ct )
ct1 1 , 1
0
（8.5）
那么，出生在 t 期的代表性年轻消费者的最优化
问题用数学语言表示出来就是：
max
c1 1t
1
c1 2t 1
1
1 c1t ,c2t 1 ,st
1
(8.6)
s.t.