初中数学知识点精讲精析 勾股定理的简单应用

3.3 勾股定理的简单应用

学习目标

1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。

知识详解

1．长方体（或正方体）面上的两点间的最短距离

长方体（或正方体）是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．

长方体表面上两点间最短距离

因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．

巧展长方体：求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．

2．圆柱体（或圆锥体）面上的两点间的最短距离

圆柱体（或圆锥体）是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．

3．生活中两点间的最短距离

用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．

4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题

利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型（直角三角形模型），将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．

解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：

（1）把立体图形展成平面图形；

（2）确定点的位置；

（3）确定直角三角形；

（4）分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．

5．勾股定理与方程相结合的应用

方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．

【典型例题】

例1. 如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 cm,3 cm 和1 cm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是多少？

【答案】13 dm

【解析】将台阶展开，如图（2），因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以222AB AC BC =+=169，

所以AB=13（cm ），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．

例2. 如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面

垂直，且相距AB 为1.7米，则这棵树的高度

【答案】4.7．

【解析】由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，CE ⊥BE ，DE=AB=1.7米，∴CD ＝3． ∴CE=3+1.7=4.7．

例3. 铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B （如图），已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建设一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站 km 处．

【答案】10 【解析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE 和直角三角形CBE 中，DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2，设AE 为x ，则BE=25-x ，将BC=10代入关系式即可求得．

【误区警示】

易错点1：构建直角三角形解决问题

1. A 、B 、C 、D 四个小城镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A-B ：10元，A-C ：1

2.5元，A-D ：8元，B-D ：6元，C-D ：4.5元，为了B 、C 之间交通方便，在B 、C 之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B 、C 之间公共汽车的票价为 元．

【答案】7.5

元

【解析】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，设其比例系数为1

k （k

≠0），即票价=1

k ×路程，则路程=k×票价；在△ABD

中，AB=10k ，AD=8k ，BD=6k ，易得∠ADB=90°，则∠BDC=90°；则在Rt △BDC 中，BD=6k ，CD=4.5k ；由勾股定理可得：BC=7.5k ， 易错点2：最值问题

2. 如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、

6cm

和10cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm ．

【答案】5

=10cm ，盒子的对角线长：=20cm ，细木

棒长25cm ，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25-20=5cm ．

【综合提升】

针对训练

1. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）