第二讲---配套习题及答案

第二讲配套习题及答案

1.若效用函数现为：

其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。

计划者目标函数为：

代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：

一阶条件为：

求解可得：

代n*进生产函数可得：

企业利润函数为：

企业利润最大化的一阶条件为：

利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：

2.假设行为人的效用函数如下：，其中c是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为，其中ns为用于自己工作的时间。如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w（当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。

代约束条件进目标函数，分别对l和ns两个变量求一阶导数，并令其为零，有：

求解上述联立方程，可得：

3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：

其中，c是消费，l是闲暇，且消费者拥有一单位的时间禀赋和k0单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：

其中，y是产出，A是全要素生产率，k是资本投入，n是劳动投入，且记w为市场的实际工资，r为资本的租金率。

a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。

b.试分析全要素生产率A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。

解：a.第一步，分析消费者行为：

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。

对l求一阶导数，并令其为零，可得：

第二步，分析企业的行为：

根据市场出清条件，可得如下方程组：

求解得：

第三步，全部均衡解：

或者，考虑计划经济情形：

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：

对l求一阶导数，并令其为零，可得：

解得：

b.

说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。

4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：

这里，c是消费；l是闲暇；g是政府购买，θ,γ＞0；消费者拥有一单位的时

间禀赋。私人消费品的生产技术如下：

这里，y是产出，n是劳动投入，z＞0，假设政府通过向消费者征收一个总额税τ来为自己的购买融资。

（1）对于一个给定的g，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量是帕累托最优的。

（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。

（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g。也就是说，政府将选

择一个合适的g去最大化代表性行为人的福利。试求解

最优水平的政府购买数量。

解：（1）在给定g, τ＞0时，消费者的最优规划问题可以表述如下：

代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：

该最大化问题的一阶条件为：

利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：

利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数：

可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。也可以注意到，闲暇和消费都随w的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。

从企业的利润最大化问题中，我们能得到：

w=z

竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：

g=τ

代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争

均衡数量：

注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时

候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，n=1-l。利用或者商品市场出清条件，c+g=y，或者生产函数，y=zn，并与上述均衡数量相结合，可以求

得均衡产量：

给定时，g＞0我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得

帕累托最优的均衡数量：

代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：

该最大化问题的一阶条件为：

利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：

利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量：

因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些

均衡解对g求全导数，就可以得到结论：

可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。因为θ＜

1+θ，所以，

（回忆：政府预算约束τ=g必须成立，因而，g的任何一个变化一定对应着的一个τ的相同变化：dτ=dg。因此，我们有“平衡

预算乘数”这一名词。）也可以注意到，挤出是不完全的：

因为θ>0，所以

（3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府

在给定行为人对g变化的最优反应的基础上通

过选择一个合适的g来最大化代表性行为人的福利。我们可以把在题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个g的函数：c=c(g)和l=l(g)。这些函数告诉我们行为人的最优选择c和l是如何随着g的变化而变化的。政府的最优化问题可以描述如下：

或者，等价地：

一阶条件如下：

或者

注意，方程（1）的左边代表的是政府购买的边际成本。这些成本是借助纯财富效应通过减

少消费和闲暇的形式实现的。方程（1）的右边代表的是政府购买的

边际收益。因此，最优的g平衡着政府购买的边际收益和边际成本。

注意到边际成本随着g的增加而增加，而边际收益则随着g的增加而减少。求解（1）式可以得到最优的政府购买水平：