学年高中数学数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有

学年高中数学数系的扩充与复数的引入数的概念的

扩展复数的有

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数的概念的扩展

复数的有关概念

1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(易混点)

4.理解复数的几何表示.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 复数的有关概念及分类

部分，完成下列问题.

阅读教材P

99

1.复数的有关概念

(1)复数

①定义：形如a＋b i的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位.a叫作复

数的实部，b叫作复数的虚部.

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.

(2)复数集

①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集.

②表示：通常用大写字母C表示.

2.复数的分类及包含关系

(1)复数a＋b i，a，b∈R

(2)集合表示：

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数.( )

(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )

(3)b i是纯虚数.( )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )

【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√

教材整理2 复数的有关概念

阅读教材P

100“复数的有关概念”以下至P

101

“练习”以上部分，完成下列问题.

1.两个复数相等

a＋b i＝c＋d i当且仅当a＝c，且b＝d.

2.复数的几何意义

(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；

(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量＝(a，b).

3.复数的模

设复数z＝a＋b i在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.

如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )

＝1，y＝－1 ＝0，y＝－1

＝1，y＝0 ＝0，y＝0

【解析】∵(x＋y)i＝x－1，

∴∴x＝1，y＝－1.

【答案】A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

复数的概念与分类

(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )

A.－1 C.±1 D.－1或－2

(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________.

(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数②虚数③纯虚数

【精彩点拨】依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解.

【自主解答】(1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x ＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.

(2)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.

【答案】(1)B (2)±1

(3)①当即m＝2时，复数z是实数.

②当m2－2m≠0，且m≠0，

即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.

③当

即m＝－3时，复数z是纯虚数.

利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋b i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.

[再练一题]

1.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )

A.|a|＝|b| <0且a＝－b

>0且a≠b>0且a＝±b

【解析】要使复数z为纯虚数，则

∴a>0，a＝±b.故选D.

【答案】D

复数相等

(1)下列命题：

①若a＋b i＝0，则a＝b＝0；

②x＋y i＝2＋2i x＝y＝2；

③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.

其中正确命题的个数为( )

(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.

【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解.

【自主解答】(1)命题①，②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x 不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y

∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得

∴y＝1，故③正确.

【答案】B

(2)因为x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数，所以由复数相等的条件得解得

所以x＝3，y＝4.

1.复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2a＝c且b＝d.

2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：

①等式两边整理为a＋b i(a，b∈R)的形式；

②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；

③解方程组，求出相应的参数.

[再练一题]

2.(1)(2016·重庆高二检测)若(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i(其中x，y为实数)，则x＝________，y＝________.

(2)已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，则xy＝________.