第六章 第四节 基本不等式ab≤(a+b)÷2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上一页 返回导航 下一页
[基础诊断] 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b (1)当 a≥0，b≥0 时， ≥ ab.( 2
2 2
) )
a＋b (2)两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相同的．( 2 1 (3)函数 y＝x＋ 的最小值是 2.( x ) ) )
下一页
当且仅当 x＝60 时等号成立，从而 S≤676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最 大为 676 m2.
上一页
返回导航
下一页
规律方法 解实际应用题的三个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后， 只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时， 一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
1 1 (2)已知 x，y＞0 且 x＋4y＝1，则 ＋ 的最小值为( x y A．8 B．9 C．10 D．11
x (3)已知 x＞0，则 2 的最大值为________． x ＋4
上一页
返回导航
下一页
1 1 3x＋4－3x2 4 解析：(1)∵0＜x＜1，∴f(x)＝x(4－3x)＝ · 3x(4－3x)≤ × ＝3，当且 3 3 2
3 600 当且仅当 ＝4x，即 x＝30 时，y 取最小值． x
答案：30
上一页
返回导航
下一页
3
课时作业 分层演练
上一页
返回导航
下一页
谢谢您的观看与聆听
上一页
返回导航
下一页
跟踪训练 2(2017· 江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运 费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和 最小，则 x 的值是________．
600 3 600 解析： 设 y 为一年的总运费与总存储费用之和，则 y ＝ · 6 ＋ 4x ＝ ＋ x x 4x≥2 3 600 · 4x＝240. x
答案：D
上一页
返回导航
下一页
4．已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为( A．18 C．81 B．36 D．243
)
解析：∵m＞0，n＞0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当 m＝n＝9 时，等号成立．
答案：A
上一页
返回导航
下一页
4 5．若 x＞1，则 x＋ 的最小值为__________． x－1
上一页 返回导航 下一页
规律方法 利用基本不等式求最值的常用技巧 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． (2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件，对式子进行恒等变形，如 构造“1”的代换等． (3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等 号成立的条件必须要一致．
上一页
返回导航
下一页
x 1 (3)∵ 2 ＝ ， 4 x ＋4 x＋ x 4 又 x＞0 时，x＋ ≥2 x 4 x× ＝4， x
4 当且仅当 x＝ ，即 x＝2 时取等号， x 1 x 1 ∴0＜ ≤ ，即 2 的最大值为 . 4 4 4 x ＋4 x＋ x 1
1 答案：(1)D (2)B (3) 4
4 (4)函数 f(x)＝sin x＋ 的最小值为 2.( sin x x y (5)x＞0 且 y＞0 是 ＋ ≥2 的充要条件．( y x
上一页 返回导航
解析：(2)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； a＋b 不等式 ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0. 2 1 (3)函数 y＝x＋ 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值． x 4 (4)函数 f(x)＝sin x＋ 无最小值． sin x x y (5)x＞0 且 y＞0 是 ＋ ≥2 的充分不必要条件． y x
上一页
返回导航
下一页
跟踪训练 1(1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( 24 A. 5 28 B. 5 C．5 D．6 )
)
(2)已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( A．3 B．4
2
9 C. 2
11 D. 2
16 (3)已知 a＞b＞0，则 a ＋ 的最小值是____． ba－b
(2)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2 x＋12y＋1＝6， 即 x＋2y≥4.
x＋1＝2y＋1， 当且仅当 x＋2y＋2xy＝8， x＝2， 即 y＝1
时等号成立．
∴x＋2y 的最小值是 4，故选 B.
上一页 返回导航 下一页
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
上一页 返回导航 下一页
2．下列不等式中正确的是( A．若 a∈R，则 a2＋9＞6a a＋b B．若 a，b∈R，则 ≥2 ab
)
a＋b C．若 a，b＞0，则 2lg ≥lg a＋lg b 2 1 D．若 x∈R，则 x ＋ 2 ＞1 x ＋1 a＋b 解析：∵a＞0，b＞0，∴ ≥ ab. 2
2 仅当 3x＝4－3x，即 x＝ 时，取得“＝”，故选 D. 3
4y x 1 1 x＋4y x＋4y ＋ (2)∵x＋4y＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝5＋ ≥5＋2 x y x y x y
4y x ·＝5＋4＝9， x y
当且仅当 x2＝4y2，即 x＝2y. 1 1 又∵x＋4y＝1，∴x＝ ，y＝ 时，取等号，故选 B. 3 6
2
a＋b ∴2lg ≥2lg 2 答案：C
ab＝lg(ab)＝lg a＋lg b，故选 C.
上一页 返回导航 下一页
1 3．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝ ，则 xy 的最大值为( 3 2 3 A. 3 1 C. 9 B．2 3 1 D. 36
)
1 1 1 解析：∵x＞0，y＞0，∴ ＝x＋y≥2 xy，即 xy≤ ，∴xy≤ ，故选 D. 3 6 36
2 2 a＋b a ＋ b 2 (4) 2 ≤ 2 (a，b∈R)． 2 2
b a (2) ＋ ≥2(a，b 同号)． a b
(5)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)． 2 2 1 1 ＋ a b
a1＋a2＋„＋an n (6) ≥ a1a2„an(ai＞0，i＝1,2，„，n)． n
2 b＋a－b a 2 (3)∵a＞b＞0，∴b(a－b)≤ ＝ ， 2 4
当且仅当 a＝2b 时等号成立． 16 16 2 64 2 ∴a ＋ ≥a ＋ 2 ＝a ＋ 2 ≥2 a a ba－b 4
2
64 a · 2 ＝16， a
2
当且仅当 a＝2 2时等号成立． 16 ∴当 a＝2 2，b＝ 2时，a ＋ 取得最小值 16. ba－b
上一页
返回导航
下一页
1 3 1 3 解析：(1)由 x＞0，y＞0，x＋3y＝5xy 得 ＋ ＝1，则 3x＋4y＝(3x＋4y)5y＋5x 5y 5x
3x 9 4 12y 13 ＝ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋2 5y 5 5 5x 5 立．
3x 12y 3x 12y 1 · ＝5，当且仅当 ＝ ，即 x＝1，y＝ 时等号成 5y 5x 5y 5x 2
上一页
返回导航
下一页
易误提醒：(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑 等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
上一页
返回导航
下一页
3．活用几个重要的不等式 (1)a ＋b ≥2ab(a，b∈R)．
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)求 S 的最大值．
上一页 返回导航 下一页
解：(1)由题设，得
900 S＝(x－8) x －2
7 200 ＝－2x－ ＋916，x∈(8,450)． x (2)因为 8＜x＜450， 7 200 所以 2x＋ ≥2 x 7 200 2 x× ＝240， x
第六章 不等式
第四节 a＋b 基本不等式 ab≤ 2
天天向上
01
教材回顾 夯实基础 课时作业 分层演练
02
典例引领 考点突破
03
1
教材回顾 夯实基础
上一页
返回导航
下一页
[知识梳理] a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 ； (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时等号成立；
2
答案：(1)C (2)B (3)16
上一页
【例 2】 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长， 计划利用学校空地建造一 间室内面积为 900 m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三 种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的 通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m 宽的通道，如图，设 矩形温室的室内长为 x(单位： m)， 三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单位： m2)．
4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时等号成立． x－1
答案：5
上一页
返回导航
下一页
2
典例引领 考点突破
上一页
返回导航
下一页
考点 1
利用基本不等式求最值 )
【例 1】(1)若 0＜x＜1，则当 f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为( 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3 )
a＋b (3)其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ． 2
上一页
返回导航
下一页
2．利用基本不等式求最大、最小值 (1)如果 x， y∈(0， ＋∞)， 且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时， x＋y 有最小值 2 P.(简 记：“积定和最小”) S2 (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值 .(简 4 记：“和定积最大”)
[基础诊断] 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b (1)当 a≥0，b≥0 时， ≥ ab.( 2
2 2
) )
a＋b (2)两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相同的．( 2 1 (3)函数 y＝x＋ 的最小值是 2.( x ) ) )
下一页
当且仅当 x＝60 时等号成立，从而 S≤676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最 大为 676 m2.
上一页
返回导航
下一页
规律方法 解实际应用题的三个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后， 只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时， 一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
1 1 (2)已知 x，y＞0 且 x＋4y＝1，则 ＋ 的最小值为( x y A．8 B．9 C．10 D．11
x (3)已知 x＞0，则 2 的最大值为________． x ＋4
上一页
返回导航
下一页
1 1 3x＋4－3x2 4 解析：(1)∵0＜x＜1，∴f(x)＝x(4－3x)＝ · 3x(4－3x)≤ × ＝3，当且 3 3 2
3 600 当且仅当 ＝4x，即 x＝30 时，y 取最小值． x
答案：30
上一页
返回导航
下一页
3
课时作业 分层演练
上一页
返回导航
下一页
谢谢您的观看与聆听
上一页
返回导航
下一页
跟踪训练 2(2017· 江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运 费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和 最小，则 x 的值是________．
600 3 600 解析： 设 y 为一年的总运费与总存储费用之和，则 y ＝ · 6 ＋ 4x ＝ ＋ x x 4x≥2 3 600 · 4x＝240. x
答案：D
上一页
返回导航
下一页
4．已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为( A．18 C．81 B．36 D．243
)
解析：∵m＞0，n＞0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当 m＝n＝9 时，等号成立．
答案：A
上一页
返回导航
下一页
4 5．若 x＞1，则 x＋ 的最小值为__________． x－1
上一页 返回导航 下一页
规律方法 利用基本不等式求最值的常用技巧 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． (2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件，对式子进行恒等变形，如 构造“1”的代换等． (3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等 号成立的条件必须要一致．
上一页
返回导航
下一页
x 1 (3)∵ 2 ＝ ， 4 x ＋4 x＋ x 4 又 x＞0 时，x＋ ≥2 x 4 x× ＝4， x
4 当且仅当 x＝ ，即 x＝2 时取等号， x 1 x 1 ∴0＜ ≤ ，即 2 的最大值为 . 4 4 4 x ＋4 x＋ x 1
1 答案：(1)D (2)B (3) 4
4 (4)函数 f(x)＝sin x＋ 的最小值为 2.( sin x x y (5)x＞0 且 y＞0 是 ＋ ≥2 的充要条件．( y x
上一页 返回导航
解析：(2)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； a＋b 不等式 ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0. 2 1 (3)函数 y＝x＋ 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值． x 4 (4)函数 f(x)＝sin x＋ 无最小值． sin x x y (5)x＞0 且 y＞0 是 ＋ ≥2 的充分不必要条件． y x
上一页
返回导航
下一页
跟踪训练 1(1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( 24 A. 5 28 B. 5 C．5 D．6 )
)
(2)已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( A．3 B．4
2
9 C. 2
11 D. 2
16 (3)已知 a＞b＞0，则 a ＋ 的最小值是____． ba－b
(2)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2 x＋12y＋1＝6， 即 x＋2y≥4.
x＋1＝2y＋1， 当且仅当 x＋2y＋2xy＝8， x＝2， 即 y＝1
时等号成立．
∴x＋2y 的最小值是 4，故选 B.
上一页 返回导航 下一页
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
上一页 返回导航 下一页
2．下列不等式中正确的是( A．若 a∈R，则 a2＋9＞6a a＋b B．若 a，b∈R，则 ≥2 ab
)
a＋b C．若 a，b＞0，则 2lg ≥lg a＋lg b 2 1 D．若 x∈R，则 x ＋ 2 ＞1 x ＋1 a＋b 解析：∵a＞0，b＞0，∴ ≥ ab. 2
2 仅当 3x＝4－3x，即 x＝ 时，取得“＝”，故选 D. 3
4y x 1 1 x＋4y x＋4y ＋ (2)∵x＋4y＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝5＋ ≥5＋2 x y x y x y
4y x ·＝5＋4＝9， x y
当且仅当 x2＝4y2，即 x＝2y. 1 1 又∵x＋4y＝1，∴x＝ ，y＝ 时，取等号，故选 B. 3 6
2
a＋b ∴2lg ≥2lg 2 答案：C
ab＝lg(ab)＝lg a＋lg b，故选 C.
上一页 返回导航 下一页
1 3．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝ ，则 xy 的最大值为( 3 2 3 A. 3 1 C. 9 B．2 3 1 D. 36
)
1 1 1 解析：∵x＞0，y＞0，∴ ＝x＋y≥2 xy，即 xy≤ ，∴xy≤ ，故选 D. 3 6 36
2 2 a＋b a ＋ b 2 (4) 2 ≤ 2 (a，b∈R)． 2 2
b a (2) ＋ ≥2(a，b 同号)． a b
(5)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)． 2 2 1 1 ＋ a b
a1＋a2＋„＋an n (6) ≥ a1a2„an(ai＞0，i＝1,2，„，n)． n
2 b＋a－b a 2 (3)∵a＞b＞0，∴b(a－b)≤ ＝ ， 2 4
当且仅当 a＝2b 时等号成立． 16 16 2 64 2 ∴a ＋ ≥a ＋ 2 ＝a ＋ 2 ≥2 a a ba－b 4
2
64 a · 2 ＝16， a
2
当且仅当 a＝2 2时等号成立． 16 ∴当 a＝2 2，b＝ 2时，a ＋ 取得最小值 16. ba－b
上一页
返回导航
下一页
1 3 1 3 解析：(1)由 x＞0，y＞0，x＋3y＝5xy 得 ＋ ＝1，则 3x＋4y＝(3x＋4y)5y＋5x 5y 5x
3x 9 4 12y 13 ＝ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋2 5y 5 5 5x 5 立．
3x 12y 3x 12y 1 · ＝5，当且仅当 ＝ ，即 x＝1，y＝ 时等号成 5y 5x 5y 5x 2
上一页
返回导航
下一页
易误提醒：(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑 等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
上一页
返回导航
下一页
3．活用几个重要的不等式 (1)a ＋b ≥2ab(a，b∈R)．
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)求 S 的最大值．
上一页 返回导航 下一页
解：(1)由题设，得
900 S＝(x－8) x －2
7 200 ＝－2x－ ＋916，x∈(8,450)． x (2)因为 8＜x＜450， 7 200 所以 2x＋ ≥2 x 7 200 2 x× ＝240， x
第六章 不等式
第四节 a＋b 基本不等式 ab≤ 2
天天向上
01
教材回顾 夯实基础 课时作业 分层演练
02
典例引领 考点突破
03
1
教材回顾 夯实基础
上一页
返回导航
下一页
[知识梳理] a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 ； (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时等号成立；
2
答案：(1)C (2)B (3)16
上一页
【例 2】 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长， 计划利用学校空地建造一 间室内面积为 900 m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三 种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的 通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m 宽的通道，如图，设 矩形温室的室内长为 x(单位： m)， 三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单位： m2)．
4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时等号成立． x－1
答案：5
上一页
返回导航
下一页
2
典例引领 考点突破
上一页
返回导航
下一页
考点 1
利用基本不等式求最值 )
【例 1】(1)若 0＜x＜1，则当 f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为( 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3 )
a＋b (3)其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ． 2
上一页
返回导航
下一页
2．利用基本不等式求最大、最小值 (1)如果 x， y∈(0， ＋∞)， 且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时， x＋y 有最小值 2 P.(简 记：“积定和最小”) S2 (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值 .(简 4 记：“和定积最大”)