DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系

有w ，因此，W从


S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
2 1 S平面上宽度为 的水平带映射成整个 Z平面，左半带 T 映射成单位园内部，右 半带映射成单位园外部 ，长度为 2 的虚轴映射成单位圆周 。 T 2 2 由于S平面可被分成无限条宽 度为 的水平带，所以 S T 平面可被映射成无限多 个Z平面。
也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 1 z 2 H z 3 1 1 2 1 z z 4 8
试画出零极点分布图，并确定 H z 的收敛域和稳定性。
n


xa nT e nTs
而 xn xa nT 的Z变换为
X z
n
xn z

n

n
n x nT z a

由此可知 X z
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z e sT
X s s
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S平面到Z平面的映射
关系式 X z
用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续）
因为在 所以
z 1 处有零点，
H e j 0 0
H e jw
1 e jw H e 1 0.81e j 2w
jw
在
z 0.9 j 处有极点，
这就是Z平面到S平面的映射关系。
其中r和w分别是Z平面的模和相角，而a和W是S平面的实 轴和虚轴，T为取样周期。
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S平面到Z平面的映射
aT r e 从Z平面到S平面的映射关系 w W T 看出：
1 当a 0时，有r 1，即S平面的虚轴jW映射成Z平面
n
hn

这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收 敛，则系统是稳定的。或者说，系统稳定的充要条件是系统函 数 H z 的收敛域包括单位圆。
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由系统函数判断系统的稳定性
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是
Rx z 0 Rx 1
前面以及推导出 X z
z e sT
X s s
j n Ws t e
另一方面，根据傅立叶级数展开有 t nT 1 T n 而 xs t xa nT t nT
所以
n
n
X s s xs t e
Y z H z hn z n X z n
即系统函数是单位取样响应 hn 的Z变换。
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由差分方程求系统函数
设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程
a yn k b xn r
k 0 k r 0 r
当W 时，有w ，W 0时，有w 0，W 时， T T 增加到 时，w由 增加到 T T 即辐角旋转一周，或将 整个Z平面映射一次。当 W再增加 2 时(一个取样频率)时，则w相应地又增加2，即辐角 T 再旋转一周，或将整个 Z平面再映射一次。
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 解（续）讨论
1 2 若收敛域是极点 p1 所在的圆的内部区域， 且 4 1 z z 2 lim 0，那么系统是逆因果的 ，系统函数 z 0 1 1 z z 4 2 1 的收敛域为0 z ，因为该收敛域没有包 含单位圆， 4 所以系统是不稳定的。
n
xnT t nT

X s s
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2
S平面到Z平面的映射
由于 所以
xs t
n
x nT t nT
a

X s s L xs t L xa nT t nT xa nT L t nT n n
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由系统函数判断系统的稳定性是极点 p1 与p2 所在的两个圆之间 4 2 的环域，即 1 1 z 4 2 则因为该收敛域没有包 含单位圆，所以系统是 不稳定的。
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由系统函数求系统的频率响应
z e
sT
X s s 说明，在
ze
sT
的条件下，
离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉普拉斯变换。 若令 s a j W 和 z re j w ，则由 z e s T 得到
re j w ea j W T ea T e j W T
因此
r ea T w W T
方案。不同的收敛域，对应于不同的单位取样响应，但它们都
满足同一差分方程。
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由系统函数判断系统的稳定性
系统的稳定性与系统函数 H z 的收敛域有密切的关系。我
们知道，为了使 hn 的Z变换存在，就要求
当
n
n h n z

z 1 时，上式变成
如果系统是稳定的，则可以用系统函数来计算系统的频率响
应，只要将 z e jw 代入系统函数就可以得到系统的频率响 应，即
H e jw H z
z e jw
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 设一个因果IIR系统的系统函数为
1 z 1 H z 1 0.81z 2
N
M
对上式两边求Z变换得
r a z Y z b z k r X z k k 0 r 0
M
N
M
因此
Y z H z X z
k a z k k 0
r N
b
r
z r
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由差分方程求系统函数
由此看出，系统函数是 z 1 的有理函数，将分子分母进行因 式分解得
的单位园；
2 当a 0时，有r 1，即S平面的左半平面映射成 Z平
面的单位园内部；
3 当a 0时，有r 1，即S平面的右半平面映射成 Z平
面的单位园外部；
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S平面到Z平面的映射
aT r e 从Z平面到S平面的映射关系 w W T 还可以得出：
Y z H z X z
r N k 0 M
br z
r
k a z k

A 1 cr z 1
M
1 d
k 1
r 1 N
1 z k
式中， d k 和cr 分别表示系统函数 H z 在Z平面上的极点
和零点。这样，系统函数可以用Z平面上的极点、零点和常数 来确定。上式没有指出 H z 的收敛域，收敛域有多种选择
试画出零极点分布图，并求系统的频率响应。
解：对 H z 的分母进行因式分解得
1 z 1 z z 1 H z 1 0.81z 2 z j 0.9 z j 0.9
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续） 可以得到极点为；
因而
w 在 2 附近升至峰
波器。
值。该系统是一个带通滤
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全通系统和最小相位系统
全通系统是指幅度响应恒为常数的系统，即
H e jw const
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全通系统
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最小相位系统
最小相位系统：系统函数所有零极点都在单位园内的系统
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续） 幅频特性为
21 cosw H e 1.6561 1.62 cos2w
jw
相频特性为 argH e jw arctg sin w arctg 0.81sin 2w 1 cosw 1 0.81cos2w
Z变换与拉普拉斯变换的关系
符号的使用
本小节我们要了解连续时间信号的拉普拉斯变换与对应的
离散时间信号的Z变换之间的关系
我们首先介绍所使用的符号
连续时间信号
xa t xn xa nT
xs t
对应的拉普拉斯变换
X a s
X z
离散时间信号 取样信号
对应的Z变换 对应的拉普拉斯变换
解：对 H z 的分母进行因式分解得
1 1 1 z z 1 z 2 2 H z 1 1 1 1 1 1 1 z 1 z z z 4 2 4 2
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S平面到Z平面的映射
Z平面到S平面的映射关系可以用下图来表示
3 T
jW
s 平面
Im
z 平面
单位圆

T T 3 T
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a
Re
1
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连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号 的Z变换之间的关系
下面我们回头来讨论连续时间信号的拉氏变换与对应的离
散时间信号的Z变换之间的关系
变法带来不利影响。
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系统函数
System Function
系统函数的定义及与单位取样响应的关系
线性非移变系统除了可以用线性常系数差分方程、单位取 样响应和频率响应来描述外，还可以用系统函数来描述。
设 xn , y n 和 hn 分别是线性非移变系统的输入、输
出和单位取样响应， X z , Y z 和 H z 分别表示相应的Z 变换，系统函数定义为
由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 解（续） 可以得到极点为；
1 1 p1 , p2 4 2
零点为；
1 z1 0, z2 2 如图所示。
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 解（续）讨论
1 1 若收敛域是极点 p2 所在的圆的外部区域， 且 2 1 1 1 z 2 lim 1，那么系统是因果的， 系统函数 z 3 1 1 2 1 z z 4 8 1 的收敛域为 z ，因为该收敛域包含了 单位圆， 2 所以系统是稳定的。
所以有
X z
z e sT
1 X s s T 1 T

n
X s j n W
a s

2 Xas j n T n
由该式看出，映射 z e s T 确定的不是 X a s 本身直接 与 X z 的关系，而是 X a s 的周期延拓与 X z 的 关系。这种非直接关系将给设计IIR数字滤波器的冲激不


st
1 dt xa t T
s j n W s t
n
j n Ws t s t e e dt

1 T
n




xa t e
1 dt T
n
X s j n W
a s

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连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号 的Z变换之间的关系
p1 0.9 j, p2 0.9 j
零点为；
z1 0, z2 1
如图所示。
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由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续） 因为系统为因果系统，所以系统函数的收敛域为
0.9 j z
收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的，系统的频率响应 为
H e jw H z z e jw 1 e jw 1 0.81e j 2w