第4章 流体动力学基本定理
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第4章 流体动力学基本定理及其应用
内容:建立流体运动 的动力学方程,揭示 流体的运动和力之间 的关系。
S (t )
V (t )
Dv m F (t ) Dt
F (t )
Fluid System
4.1 输运公式(The Reynolds transport Theorem)
1.系统(system)——由确定的流体质点组成的流体团或流体 体积V(t)。系统的边界面S(t)。
DM D ) dV (系统导数) Dt Dt V (t
Control Surface System Volume
2.控制体(control volume)
——相对于坐标系固定不变 的空间体积V 。S 为控制面。
d V t d V t V V
V
(控制体导数)
Notes on Bernoulli’s Equation:
Condition: ideal, steady, incompressible,
gravity field, along a streamline.
V 2 2g
p
1
V 2 2g
Physical Interpretation:
V2 p zH 2g
v 1 ( v ) v f p t
v V2 1 ( ) 2v ω f p t 2
2ω v 0
Lamb 方程 应用于无旋或沿流线运动情况时方便,这 时方程左边第三项消失。
Euler 方程的分量形式:
v 1 ( v ) v f p t
x z
z′ M r′ r o′ ro′ o x′ y
ω(t)
y′ vo′
动坐标系中无旋运动的 Bernoulli积分
动系下绝对运动:
( v v) t t
' ( x ' , y ' , z ' , t ) V2 ve v U f (t ) t 2
2
若运动无旋:
v 0 若流动非定常: t 若流体正压: = (p),
2ω v 0, v
1
Π
dp
dp ( p)
若质量力有势:f =-U
V 2 Π U f (t ) (全流场) t 2
V 2 p z f (t ) t 2
Discussion:
速度、压力、位置之非线性关系。
(1)重力场中不可压缩流动的Bernoulli equation U gz f gk f U
V2 p gz c 2
(单位质量流体)
2 V1 p1 V22 p2 V2 p z1 z 2(单位重量流体) zc 2g 2g 2g 1 1 2 V 2 p c (单位体积流体) V p z c 2 2
2 gh 2 1 1 1 1 2 2 S2 S1
x 修正系数,实验标定(calibration)。
2. Pitot Tube
—— Measuring velocity at point
V
A
VA V
B
VB 0
Given:重度 1 、 2 ;高度差读数 h 。 1
直角坐标系:
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
hf
2
hf
—— 单位重量流 体从 1 到 2 点损 失的机械能。
V 2 2g
p
1
V 2 2g
p
H
z1
2
z2
(4)有流体机械时的 Bernoulli equation
V1 p1 V22 p2 z1 H T z2 h f 2g 2g
2
H T —— 单位重量流体能量输入(出),扬程。
p1 S1 A h γ2 S2 B p2 γ1
Static pressure:
V1 S1 V2 S 2 p1 p2 ( 2 1 )h
Q V1S1 x
V12 p2 V22 1 2g 1 2g p1
V1 x
2 gh 2 1 S ( 1 )2 1 1 S2
Euler Motion Eq.:
fx , f y , fz
已知
独立方程数:4
待求未知数:5 ( u , v, w, p , )
补充方程——状态方程: • 不可压流体: = const
方程组不封闭
• 正压流体: p / = c0 (等温过程); p / k = c0 (等熵过程)
4.3 伯努利(Bernoulli)积分
Bernoulli 积分是理想流体作定常或非定常无旋运动等简 化条件下Euler运动方程的积分,在工程中有广泛的应用。
由Lamb 方程
v V2 1 ( ) 2v ω f p t 2
积分思路:将偏微分F dot dl 写成全微分dF,再沿 l 积分。
v V 2 p t ( 2 ) f d l 2 v ω d l
S (t )
Control surface System
系统和控制体分别是Lagrange和Euler的概念。输运公式将L型 的系统导数表示成了Euler型,表达形式与质点导数类似。
4.2 欧拉运动微分方程
(1) Euler运动微分方程——理想流体运动的牛顿第二定律。
Dv Dt dV f dV pn d s V V S
mgz z
The velocity term V 2 2 g : velocity head (kinetic energy per unit weight)
mV 2 2 V 2 2 g
V1 p1 V22 p2 z1 z2 2g 2g
2
V 2 2g
A
B
pA p B
球坐标系:
(3)理想流体运动微分方程组的封闭性 Continuum Eq.:
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
( x, y, z, t ) ( x , y , z , t )
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
D ( x, y, z, t ) D ' ( x ' , y ' , z ' , t ) Dt Dt v v t t
3. 输运公式——系统导数的Euler表达
定理: 任一瞬时系统内物理量Q 随时间的变化率等于该瞬时 其控制体内物理量的变化率与通过控制面的输运量之和。
D Q Q (质量) Q d V d V Q( v n) d S Dt V (t ) t V S Q v (动量)
(全流场)
动系以常速 U e 沿 x 轴方向运动 、重力场、不可压:
2 2 2 p (x , y , z , t) 1 Ue y z gz f (t ) t x 2 x
Π 1 Π p p p
重力场中不可压理想流体: Π p , U gz (全流场)
4.3.3 动坐标系中无旋运动的 Bernoulli积分
Background: ship or plane motions in 6 dof 大地坐标系—o x y z;动坐标系—o x y z 动系牵连速度: v e v v v ω r 0 绝对运动:
wenku.baidu.com
柱坐标系:
vr vr v vr vr v2 1 p vr vz fr t r r z r r v v v v v v vr 1 p vr vz f t r r z r r vz v v v v 1 p vr z z vz z f z t r r z z
Find: 流速V Solution: 沿流线 A –B
Bernoulli equation: Static pressure:
V 2 pB 0 1 2g 1 pA
2
h
pB pA ( 2 1 )h
hf
Turbine
V 2 2g
泵的功率:
p
1
Pump
V 2 2g
P H T Q
p
H
z1
2
z2
两船并行相撞的解释:
两船间流线密、流速高、压力低。
1 V 2 p c 2
4.3.2 无旋场的 Bernoulli积分
v V 2 p t ( 2 ) f dl 2[ v ω] dl
Dv ( Dt f p) d V 0 V
物理意义:
单位质量流体局部惯性 力、对流惯性力、质量 力和压力合力平衡。
Dv 1 f p Dt
v 1 ( v ) v f p t
v0
特例:
f
1
p
(2) Euler方程的另一形式 ——Lamb 方程
(along a streamline)
p
H
z1
2
z2
The elevation term z : elevation head (potential energy per unit weight) The pressure term
p : pressure head (pressure energy per unit weight)
' ' ' '
(全流场)
4.3.4 Bernoulli方程的应用 1. Venturi Meter
——Measuring flowrate in pipes Given:pipe sections S1, S2 ;velocityV1, V2; specific weight 1 , 2 ; read h 。 Find: flowrate in pipe Q Solution: Bernoulli equation along A –B : Continuum equation:
V
(2)重力场中可压缩气体等熵流动的 Bernoulli equation
V dp U c 2 ( p)
2
p c0 k
V2 k p zc 2g k 1
(3)重力场中可压缩粘性流体的 Bernoulli equation
V1 p1 V22 p2 z1 z2 h f 2g 2g
4.3.1 定常流动的Bernoulli方程
Π(
p )
d
p
d (
p p )
Π
Π p
p
1
p
若 若 流 流 质 l体 动 量
V2 Π U c ∴ 2
or
V2 dp U c —— Bernoulli Integral, 1783 2 ( p)
(along a streamline)
内容:建立流体运动 的动力学方程,揭示 流体的运动和力之间 的关系。
S (t )
V (t )
Dv m F (t ) Dt
F (t )
Fluid System
4.1 输运公式(The Reynolds transport Theorem)
1.系统(system)——由确定的流体质点组成的流体团或流体 体积V(t)。系统的边界面S(t)。
DM D ) dV (系统导数) Dt Dt V (t
Control Surface System Volume
2.控制体(control volume)
——相对于坐标系固定不变 的空间体积V 。S 为控制面。
d V t d V t V V
V
(控制体导数)
Notes on Bernoulli’s Equation:
Condition: ideal, steady, incompressible,
gravity field, along a streamline.
V 2 2g
p
1
V 2 2g
Physical Interpretation:
V2 p zH 2g
v 1 ( v ) v f p t
v V2 1 ( ) 2v ω f p t 2
2ω v 0
Lamb 方程 应用于无旋或沿流线运动情况时方便,这 时方程左边第三项消失。
Euler 方程的分量形式:
v 1 ( v ) v f p t
x z
z′ M r′ r o′ ro′ o x′ y
ω(t)
y′ vo′
动坐标系中无旋运动的 Bernoulli积分
动系下绝对运动:
( v v) t t
' ( x ' , y ' , z ' , t ) V2 ve v U f (t ) t 2
2
若运动无旋:
v 0 若流动非定常: t 若流体正压: = (p),
2ω v 0, v
1
Π
dp
dp ( p)
若质量力有势:f =-U
V 2 Π U f (t ) (全流场) t 2
V 2 p z f (t ) t 2
Discussion:
速度、压力、位置之非线性关系。
(1)重力场中不可压缩流动的Bernoulli equation U gz f gk f U
V2 p gz c 2
(单位质量流体)
2 V1 p1 V22 p2 V2 p z1 z 2(单位重量流体) zc 2g 2g 2g 1 1 2 V 2 p c (单位体积流体) V p z c 2 2
2 gh 2 1 1 1 1 2 2 S2 S1
x 修正系数,实验标定(calibration)。
2. Pitot Tube
—— Measuring velocity at point
V
A
VA V
B
VB 0
Given:重度 1 、 2 ;高度差读数 h 。 1
直角坐标系:
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
hf
2
hf
—— 单位重量流 体从 1 到 2 点损 失的机械能。
V 2 2g
p
1
V 2 2g
p
H
z1
2
z2
(4)有流体机械时的 Bernoulli equation
V1 p1 V22 p2 z1 H T z2 h f 2g 2g
2
H T —— 单位重量流体能量输入(出),扬程。
p1 S1 A h γ2 S2 B p2 γ1
Static pressure:
V1 S1 V2 S 2 p1 p2 ( 2 1 )h
Q V1S1 x
V12 p2 V22 1 2g 1 2g p1
V1 x
2 gh 2 1 S ( 1 )2 1 1 S2
Euler Motion Eq.:
fx , f y , fz
已知
独立方程数:4
待求未知数:5 ( u , v, w, p , )
补充方程——状态方程: • 不可压流体: = const
方程组不封闭
• 正压流体: p / = c0 (等温过程); p / k = c0 (等熵过程)
4.3 伯努利(Bernoulli)积分
Bernoulli 积分是理想流体作定常或非定常无旋运动等简 化条件下Euler运动方程的积分,在工程中有广泛的应用。
由Lamb 方程
v V2 1 ( ) 2v ω f p t 2
积分思路:将偏微分F dot dl 写成全微分dF,再沿 l 积分。
v V 2 p t ( 2 ) f d l 2 v ω d l
S (t )
Control surface System
系统和控制体分别是Lagrange和Euler的概念。输运公式将L型 的系统导数表示成了Euler型,表达形式与质点导数类似。
4.2 欧拉运动微分方程
(1) Euler运动微分方程——理想流体运动的牛顿第二定律。
Dv Dt dV f dV pn d s V V S
mgz z
The velocity term V 2 2 g : velocity head (kinetic energy per unit weight)
mV 2 2 V 2 2 g
V1 p1 V22 p2 z1 z2 2g 2g
2
V 2 2g
A
B
pA p B
球坐标系:
(3)理想流体运动微分方程组的封闭性 Continuum Eq.:
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
( x, y, z, t ) ( x , y , z , t )
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
D ( x, y, z, t ) D ' ( x ' , y ' , z ' , t ) Dt Dt v v t t
3. 输运公式——系统导数的Euler表达
定理: 任一瞬时系统内物理量Q 随时间的变化率等于该瞬时 其控制体内物理量的变化率与通过控制面的输运量之和。
D Q Q (质量) Q d V d V Q( v n) d S Dt V (t ) t V S Q v (动量)
(全流场)
动系以常速 U e 沿 x 轴方向运动 、重力场、不可压:
2 2 2 p (x , y , z , t) 1 Ue y z gz f (t ) t x 2 x
Π 1 Π p p p
重力场中不可压理想流体: Π p , U gz (全流场)
4.3.3 动坐标系中无旋运动的 Bernoulli积分
Background: ship or plane motions in 6 dof 大地坐标系—o x y z;动坐标系—o x y z 动系牵连速度: v e v v v ω r 0 绝对运动:
wenku.baidu.com
柱坐标系:
vr vr v vr vr v2 1 p vr vz fr t r r z r r v v v v v v vr 1 p vr vz f t r r z r r vz v v v v 1 p vr z z vz z f z t r r z z
Find: 流速V Solution: 沿流线 A –B
Bernoulli equation: Static pressure:
V 2 pB 0 1 2g 1 pA
2
h
pB pA ( 2 1 )h
hf
Turbine
V 2 2g
泵的功率:
p
1
Pump
V 2 2g
P H T Q
p
H
z1
2
z2
两船并行相撞的解释:
两船间流线密、流速高、压力低。
1 V 2 p c 2
4.3.2 无旋场的 Bernoulli积分
v V 2 p t ( 2 ) f dl 2[ v ω] dl
Dv ( Dt f p) d V 0 V
物理意义:
单位质量流体局部惯性 力、对流惯性力、质量 力和压力合力平衡。
Dv 1 f p Dt
v 1 ( v ) v f p t
v0
特例:
f
1
p
(2) Euler方程的另一形式 ——Lamb 方程
(along a streamline)
p
H
z1
2
z2
The elevation term z : elevation head (potential energy per unit weight) The pressure term
p : pressure head (pressure energy per unit weight)
' ' ' '
(全流场)
4.3.4 Bernoulli方程的应用 1. Venturi Meter
——Measuring flowrate in pipes Given:pipe sections S1, S2 ;velocityV1, V2; specific weight 1 , 2 ; read h 。 Find: flowrate in pipe Q Solution: Bernoulli equation along A –B : Continuum equation:
V
(2)重力场中可压缩气体等熵流动的 Bernoulli equation
V dp U c 2 ( p)
2
p c0 k
V2 k p zc 2g k 1
(3)重力场中可压缩粘性流体的 Bernoulli equation
V1 p1 V22 p2 z1 z2 h f 2g 2g
4.3.1 定常流动的Bernoulli方程
Π(
p )
d
p
d (
p p )
Π
Π p
p
1
p
若 若 流 流 质 l体 动 量
V2 Π U c ∴ 2
or
V2 dp U c —— Bernoulli Integral, 1783 2 ( p)
(along a streamline)