三角链的Hosaya指标

题目三角链的Hosaya指标

学生姓名和安琪学号1109014077所在院(系) 数学与计算机科学学院

专业班级数学与应用数学专业数应1101班

指导教师任胜章

完成地点陕西理工学院

2015年 06月06日

三角链的osoya H 指标

和安琪

（陕理工数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1101班，陕西汉中723000）

指导老师：任胜章

[摘要]三角链是由若干个正三角形且任意相邻两个正三角形只有一条路连接构成的1－连通图.主要研究由n 个正

三角形构成的三角链的Hosoya 指标，并给出其表达式与证明过程．

[关键词]三角链; Hosoya 指标; Fibonacci 数

1.引言

Hosoya 指标是由日本化学家HaruoHosoya ［3］于1971 年提出并进行研究的，它表示图G 中所有匹配的数目，记为()G μ，该指标与物质的沸点、熵、化学键的计算和化学结构等有着密切的联系．在现代化学图论中，这个拓扑指标常被用来描述有机化合物的物理化学特征与药理特征，且有着较为广泛的应用，有关的应用及部分最新研究成果参见文献［2 －7］．文献［8］对三角系统的匹配数进行了研究，本文通过构造任意相邻两个正三角形之间只有一条路相连的链状图，研究了该三角链

n T 的Hosoya 指标，并给出了计算表达式．

2．基本引理

设G = ( V ，E) 是一个简单图，它的点集和边集分别为V( G) 和E( G)．令e 和x 分别为图G 的一条边和一个顶点，我们用e G -表示图G 删去边e 得到的图，用x G -表示图G 删去顶点x( 及关联的边) 得到的图．若()A E G ⊆，对任意的两条边1e ，2e ∈A ，且1e 与2e 无公共顶点，则称A 为图G 的一个匹配，其中空集为任何图的一个匹配．文中未加说明的符号及术语参见文献［1］． 定义1三角链是一个由n 个正三角形1L ，2L ，…，n L 任意两个之间由一条路相连构成的链状图,记为n T ，满足:

(i) 对任意的1 ≤k ＜ j ≤n ，k L 和j L 以一条路相连的方式联接当且仅当j = k + 2; (ii) 每个正三角形的顶点为3度点．

由此可知，n T 是由n-1T 中的第n －1 个正三角形n-1L 再由一条路联接一个正三角形n L 得到的，每条链中的正三角形有两个可联接位，而与三角接点距离相等的两个顶点的联接位是同构的，所以三角链只有一种非同构的联接方式．如图1所示：

V0

v （n )

图1.

在证明主要结论之前，我们先介绍以下几个引理：

引理[1]2.1设G 是一个图，对(),()uv E G u V G ∀∈∈，令[]{}{|()}G N u uYv u v EG =∈则有

()()()G G u G μμνμμν=-+--.

引理[1]

2.2若12

t G G G 是图G 的连通分支，则有1

()()t

k k G G μμ==∏.

设n F 是Fibonacci 数，其定义为0101F F ==，，当n ≥2 时，12n n n F F F --=+.则有以下

引理：

引理[1]

2.3设n P 为n 阶的路，则n+2()n P F μ=.

引理[1]

2.4设n C 为n 阶的圈，则n n+11

()=+n C F F μ-.

3.主要结论

关于该三角链的Hosoya 指标，我们可以得出以下的结论： 定理3.1 对于任意的正整数n ，当2n

≥，有

()2

324()32212n n T μ-⎛⎫

⎛⎫= ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

; 证明如图1所示，根据引理1可得：

n-1n-1()()()

n n n n n T T T μμννμνν=-+--2121111()()()()()()n n n n p T p T v p T μμμμμμ----=+-+ 31311()()

n n n F T F T v μμ---=+-

1113()2()n n n T T μμν---=+-()111()32()n n n T T v μμ---⎛⎫

= ⎪-⎝

⎭ (1)

n-11n-11()()()

n n n n n n n n T v T v v x T v v x μμμ---=--+---21111()()()()n n n p T p T v μμμμ---=+-

31211()()

n n n F T F T v μμ---=+-

1112()()

n n n T T μμν---=+- ()111()21()n n n T T v μμ---⎛⎫

= ⎪-⎝

⎭ (2)

所以由（1）式和（2）式得

111()()32()()21n n n n n n T T T T v μμμνμ---⎛⎫⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭⎝⎭ 从而

()111()

()32()n n n n T T T v μμμ---⎛

⎫ ⎪

⎪⎝⎭=-()222()3232()21n n n T T v μμδ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-

=

()2

111()3232()21n T T v μμ-⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭

⎝

⎭=- ()2

32432212n -⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

=

故有

()2

()32432212n n T μ-⎛⎫

⎛⎫= ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭=注：0

32121⎛⎫

= ⎪⎝⎭.

定理3.2 对于任意的正整数2n

≥，有

(

(

221()80280210

n n n T μ--⎡⎤=

++-⎣⎦

证明：设32,21⎛⎫= ⎪⎝⎭

A

则矩阵的特征多项式2324121E A λλλλλ--⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭

所以矩阵A

的特征值和特征向量为)1121,2;T

λα=+=

所以矩阵A

的特征值和特征向量为()22212.T

λα==