两个正方形剪拼成一个大正方形

两个正方形剪拼成一个大正方形

湖北省襄阳市黄集镇初级中学赵国瑞图1 图1 中的两个正方形连成了一体. 布鲁斯博士说, 只要在上面画两条直线, 把这个图形分成四块, 就可重新拼

成一个正方形而无任何剩余. 你能做到吗? 提示根据图形剪拼后面积相等的原理, 求出要拼成的正方形的边长, 并在目前的图形中寻找这样长度的线段. ) 答案这两个正方形无具体尺寸, 但不管怎样, 它们拼成的图形的面积, 总是它们的面积的和, 这是一切图形拼剪问题的着手点. 图2 现设一个正方形的边长为a, 另一个正方形的边长为b, 则这两个正方形的面积之和为 a 2 + b 2 . 再设它们所拼成的正方形的边长为c, 则有 c 2 = a 2 + b 2 . 根据勾股定理, c 正是以a、b 为直角边的直角三角形的斜边. 根据这条线索, 我们在图2 上试着找出一个这样的直角三角形. 显然符合要求, 因此CF 的长度就是我们要拼的正方形的边长. 既然如此, 何不试着把CF 作为我们要拼的那个新正方形的一条边呢? 于是我们连接CF, 即把CF 图3 作为我们所画的第一条划分线. 既然CF 是新正方形的一条边, 那么过 C 点与CF 垂直的那条直线上应该有着新正方形的另一条边. 于是我们如此画一条直线, 如图3, 设这条直线交DE 于H , 交A G 于I ; 并为了下面证明的需要, 设它交BA 的延长线于J . 这样就把图形分成了四块、四边形、直角梯形I A

和这样的四个图形能不能拼成一个正方形呢? 图4 如图 4 所示, 这样的四个图形东西

确实可以拼成一个正方形. 具体的操作过程是: ( 1 ) 把沿直线H J 平移到的位置, 与直角

梯形ABCI 拼成一个这一操作的合理性需要有

作保证, 这将在下面证明. ( 2) 把Rt 平移到四边形CH EF 的右边并与之拼合. 这里需要有EF= A B+ J A, 但如果有则J A = CD, 从而有EF= GD= GC+ CD= AB+ JA . ( 3) 把

沿直线J H 平移到刚才拼合成的图形下面并与之拼合. 这里需要有I F = BC + H E, 但如果有

则A I = DH , 从而有I F= I G+ GF= A G- AI + GF= BC- DH + DE= BC+ H E. 于是在待证) 的前提下, 我们得到了图 4 的四边形, 但我们还要证明它

是正方形. 目前仅知道这个四边形有两个角( 即原来中

的和原来中的是直角. 我们还需要证明

其他两个角也是直角. 其实这很容易. 由于在原来的图形

中而所以

下转第27 页网址: z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱: zxs s@ chinajournal. net . cn 数学史话吉林省公主岭市教育六号楼四单元

1( 136100) 窦英俊李玉程程大位是明朝( 公元

16 世纪) 人, 是我国古代伟大的数学家, 他花了几十年的时间, 精心研究各种数学书籍, 并结合自己的体会, 于1593 年编写出了算法统宗一书, 此书出版后, 就在国内各地广泛流传, 当时此书成为我国初等数学教科书, 它在我国数学史上是一部很重要的著作. 本文将介绍此书中的一道百羊趣题如下甲赶群羊逐草茂, 乙拽肥羊一只随其后, 戏问甲及一百否? 甲云所说无差谬, 若得这般一群凑, 再添半群小半群, 得你一只来方凑, 玄机奥妙谁参透? 这道题, 大意是说: 牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧, 有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来, 他对牧羊人说你好, 牧羊人! 你赶这群羊大概有一百只吧牧羊人答道如果我再有这样一群羊, 并

且加上这群羊的一半, 又四分之一群, 连你牵着的这只肥羊也算进去, 才刚好凑满一百只谁能够知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只? 弄清了题意以后, 这道题的解法很简单, 其解法如下: 解法一( 算术法) : 把原来群羊看作1, 又一群羊也是1, 半群是1 2 , 小半群是1 4 , 则总的分数为: 1+ 1+ 1 2 + 1 4 , 它对应的羊数为100 - 1. 故得算式- 只) . 解法二( 方程法) : 设这群羊共有x 只. 根据题意得方程x+ x+ 1 2 x+ 1 4 x+ 1= 100. 解此方程得只) . 答: 略去. ( 责审周春荔) ( 上接第28 页) 即这个拼成的四边形的

右端那个角也是直角( 即原来中的和原来中的拼成) . 既然这个四边形的三个角都是直角, 那么它的第四个角一定也是直角了. 因此这个四边形是一个矩形. 为证明这个矩形是正方形, 我们还要证明它的一对邻边相等. 具体地说, 我们要在原来的图形( 即图3) 中证明CF= CH + I C. 如果我们有那么CH = JI , 我们只要证明CF= CJ 即可. 为此, 我们考察Rt 和由于所以

加上GC= BC, 所以从而有CF= CJ. 因此, 在待证) 的前提下, 我们确实拼出了一个正方形. 下面我们来证明Rt

其实, 由刚才证明的

可知FG= J B. 但FG= GD= GC+ CD= A B+ CD, 而JB= J A + A B, 故 A B + CD = JA + A B, 即CD= JA . 又又由得

从而责审周春荔

网址: z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱: zxs s@ chinajournal. net . cn