等差数列专题(教师版)

等差数列专题

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

2．等差数列的通项公式和前n 项和公式

3．等差中项

A 是x 和y 的等差中项⇔A ＝x ＋y

2

.

4. 两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 4．等差数列的常用性质

（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅。

（2）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。

（3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数 列，公差为md 。

（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项和，那么数列k k k k k S S S S S 232,,--,…成公差为k 2

d 的等

差数列。

（5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1）当项数为偶数n 2时，)(n 12++=n n n a a S ，1

偶奇奇偶,

+==-n n a a

S S nd S S ()

121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+=

=奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+=

=偶

2）当项数为奇数2n-1，则

n

偶奇偶奇1-2a )12(=--=+=S S a n S S S n

n

偶奇1)a -n （na S ==S n

1

偶奇-=

n n

S S （6）等差数列{}n a {}n b 前n 项和为S n ,T n ，则

1

21

2)12()12(--=

--=n n n n n n T S b a n n b a 5、n a 与n S 之间的关系

⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-)

1()

2(1

1n S n S S a n n n

6．等差数列的前n 项和公式和最值问题

（1）等差数列前n 项和公式与二次函数的关系 （2）n S 的最值求法

L 大

例题与练习

考点1:等差数列的基本计算

题型1：已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知{}n a为等差数列，，则 24

练习：

1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( B ) A．765 B．665 C．763 D．663

2．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( C ) A．26 B．29 C．39 D．52

3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.

4．已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．

解(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d.

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.

从而a n＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知a n＝3－2n，所以S n＝

n[1＋3－2n]

2

＝2n－n2.

由S k＝－35，可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.

题型3：求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列{}n a的前项和，.（1）；⑵求；⑶求.

解：由，得，当时，；当时，.

（1）

；

⑵

；

（3）时，，

当时，

练习：1．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *

)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .

解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.

∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.

∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2

＝n 2

－9n ＋40， 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2

.

∴S n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

9n －n 2 n ≤5n 2

－9n ＋40 n >5

2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ） A ．22 B ．21

C ．19

D ．18

.

考点2：等差中项的应用

例1、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得

⎩⎪⎨⎪

⎧

a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d

a ＋d ＝40，∴

⎩

⎪⎨⎪⎧

4a ＝26，

a 2

－d 2

＝40. 解得

⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝13

2，d ＝32

或

⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝132，d ＝－32.