八年级数学因式分解的方法汇总

( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x 2 • （2）
( • （3） x y)( x y 2 xy) ( xy 1)( xy 1) 2 2 • （4） 1999 x (1999 1) x 1999
• （5） x y 2 xy)( x y 2) ( xy 1) 2 ( • （6）(2 x 3 y)3 (3x 2 y)3 125( x y)3
a 2 b 2 (a b)( a b) • 一、平方差公式：
• 二、完全平方公式： 2 a
• 三、立方和（差）公 式： 3 3
3 3
2ab b (a b)
2
2
a b (a b)( a 2 ab b 2 )
a b (a b)( a ab b )
• 例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
( x x 4)( x x 3) 10
4 2
4
2
• 解：设 x 4 x 2 a • 原式= (a 4)( a 3) 10
a2 a 2 ( a 2)( a 1)
同步练习：分解因式
( x 2 5 x 2)( x 2 5 x 3) 12 • （1）
• 例题1（上海市竞赛题）多项式
x 2 y y 2 z z 2 x x 2 z y 2 x z 2 y 2 xyz
• 因式分解后的结果是 • 解：将原式重新整理成关于x的二次三 项式，则 • 原式=( y z) x ( y z 2 yz) x ( zy z y)
方法五、分组分解法
• （1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) • =a(m+n)+b(m+n) • =(a+b)(m+n) • (2)形如： 2 2
x y 2x 1 ( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x y 1)( x y 1)
x x6
2
• （2） • （3） • （4）
x 7 x 10 2 x 7 x 10 2 x 2x 3
方法四、换元法
• 对结构比较复杂的多项式，若把其中某些 部分看成一个整体，用新字母代替（即换 元），则能使复杂问题简单化、明朗化， 在减少多项式项数，降低多项式结构复杂 程度等方面有独到作用。
• （3）设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1) a 2 2ab b 2 1 • =
(a b 1)( a b 1)
• (4)原式=
1999 x 2 1999 x 2 x 1999 1999 x( x 1999 ) ( x 1999 ) (1999 x 1)( x 1999 )
设 • （1）解： ：x 2 5x a • 则原式= (a 2)(a 3) 12
a 2 5a 6 (a 6)( a 1)
• （2）解：原式= ( x
2
7 x 6)( x 2 5 x 6) x 2
( x 2 6 x 6 x)( x 2 6 x 6 x) x 2 ( x 2 6 x 6) 2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
• 这是因式分解的首选方法。也是最基本的 方法。在分解因式时一定要首先认真观察 等分解的代数式，尽可能地找出它们的分 因数（式）
方法二：公式法
2 2
• 四、完全立方和（差） 分式： 3 2 2
a 3a b 3ab b (a b)
3
3
• 五、常用到的式子： ab b a 1 (a 1)(b 1)
a 4 4 (a 2 2a 2)( a 2 2a 2)
a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
• (6)原式= (2 x 3 y )3 (3x 2 y )3 [5( x y )]3
( 2 x 3 y ) 3 (3 x 2 y ) 3 [( 2 x 3 y ) (3 x 2 y )]3 15( x y )( 2 x 3 y )(3 x 2 y )
• （5）原式= ( x y) 2 2( x y) 2 xy( x y) 4 xy ( xy) 2 2 xy 1
( x y xy) 2 2( x y xy) 1 ( x y xy 1) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc (a b c)( a b c ab bc ac)
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：
x ( p q) x pq ( x p)( x q)
2
• 例题：用十字交叉法分解下 列多项式： 2 • （1）
• 把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能出现 公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分解的基本 方法，体现了化整体为局部，又有全局的思想。如何分组 是解题的关键。常见的分组方法有： • （1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； • （2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂排列， 再分组； • （3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分组。 • 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。