八年级数学因式分解的方法汇总
八年级上册数学因式分解
八年级上册数学因式分解(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。
(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。
(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。
(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。
(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差。
(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反。
(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。
(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式。
②其中有两项是某两数的平方和。
③第三项是这两数积的正二倍或负二倍。
④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方。
(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)。
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
文章中有一些格式错误，需要修正。
另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。
改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
初中数学：因式分解常用的6种方法
初中数学：因式分解常用的6种方法
分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
1、提取公因式
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ab+ac=a（b+c）
2、公式法
a²-b²=（a+b）× （a-b）
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
3、分组分解法
ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)
4、十字相乘法
x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
5、裂项法
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
6、配方法
x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=（x+1.5）²-（6.5）²
=(x+8)(x-5)。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
八年级数学因式分解12种常见方法整理
八年级数学因式分解12种常见方法整理1.提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方3.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)4.十字相乘法（经常使用）对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
7.换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
8.求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )9.图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )10.主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
11.利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
12.待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
八年级因式分解法的四种方法
八年级因式分解法的四种方法在八年级数学课程中，因式分解是一个重要的内容。
下面我将介绍四种常见的因式分解方法，希望能够满足你的需求。
1. 公因式提取法：公因式提取法是最常见的因式分解方法之一。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
首先，找出多项式中的公因式，然后将这个公因式提取出来，剩下的部分进行简化。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的方法之一，适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 2ab + b^2的多项式。
利用完全平方公式，我们可以将这些多项式分解成两个平方的和或差。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 9，可以将其分解为(x + 3)^2。
3. 分组分解法：分组分解法适用于四项式中存在两对互补的项的情况。
首先，将四项式中的项进行分组，然后在每个组内进行因式分解，最后再进行合并。
例如，对于多项式x^3 + 2x^2 + 3x + 6，可以将其分组为(x^3 + 2x^2) + (3x + 6)，然后在每个组内进行因式分解，得到x^2(x + 2) + 3(x + 2)，最后合并得到(x^2 + 3)(x + 2)。
4. 平方法：平方法适用于三项式中存在平方项和线性项的情况。
它的思路是将三项式中平方项的系数和线性项的系数相乘，然后找到一个数使得它的平方等于这个乘积，然后利用这个数进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以将5乘以6得到30，找到一个数使得它的平方等于30，即5，然后将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。
这些是八年级常见的因式分解方法，每种方法都适用于不同的多项式形式。
在实际应用中，可以根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。
希望这些解释能够帮助你更好地理解因式分解的方法。
因式分解法的四种方法初中数学
因式分解法的四种方法初中数学嘿，同学们！今天咱就来好好聊聊初中数学里的因式分解法的那四种方法哟！咱先来说说提公因式法吧。
这就好比是一群小伙伴一起出去玩，总要有个带头的呀！公因式就是那个带头的，把它一提出来，剩下的部分就好处理啦。
比如一个式子像 3x²+6x，那 3x 不就是那个带头的嘛，提出来就变成 3x(x+2)啦，是不是挺神奇的？然后呢，是公式法。
这就像是一把神奇的钥匙，专门开特定的锁。
平方差公式和完全平方公式就是那两把厉害的钥匙哦。
遇到像 a²-b²这样的式子，马上就能想到用平方差公式，变成(a+b)(a-b)。
还有像a²+2ab+b²这样的，那就是完全平方公式啦，能变成(a+b)²呢！再来说说十字相乘法。
嘿，这可有点像搭积木哦！要把那些数字巧妙地组合起来。
比如说x²+5x+6，咱就得找到两个数，它们相乘等于6，相加等于 5，这不就是 2 和 3 嘛，然后就可以写成(x+2)(x+3)啦。
最后还有分组分解法呢。
这就像是给式子分小组一样，把它们分成合适的小组，然后再分别处理。
有时候式子看起来很复杂，但是一用分组分解法，嘿，马上就变得清晰明了啦！你们想想看呀，要是没有这些方法，那面对那些复杂的式子，咱不得抓耳挠腮呀！但有了这四种方法，就像有了四个得力的小助手，什么难题都能轻松搞定啦！学数学呀，就像是一场奇妙的冒险，而因式分解法就是我们在这场冒险中的有力武器。
咱可得把这武器用得溜溜的，在数学的世界里披荆斩棘呀！可别小瞧了这些方法哦，它们能帮我们解决好多难题呢！所以呀，同学们，一定要好好掌握这四种方法，让它们成为我们的好朋友，和我们一起在数学的海洋里畅游吧！怎么样，是不是觉得因式分解法很有趣呀？快去试试吧！。
八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结
一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。
2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。
b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。
c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。
d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。
3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。
八年级数学知识点归纳：因式分解
八年级数学知识点归纳：因式分解八年级数学知识点归纳：因式分解(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数X的.(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式确实定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.(6)如果多项式的第—项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第—项的系数是正的，在提出“-〞号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地推断出a，b分别等于什么.(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式.②其中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方.(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式.(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键.一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
5 因式分解技巧与方法 八年级数学
五 添项、拆项法
例6 ：x 3x 4 3 2 x 1 3x 3
3 2
拆项
( x 1) 3( x 1)
3 2
( x 1)(x x 1) 3( x 1)(x 1)
2
( x 1)(x 2 x 1 3x 3)
( x 1)(x 4x 4)
练习：分解因式
(1) x3-8y3 (2) a5-a3b2+a2b3-b5 (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4
四 待定系数法
将要分解的式子变换成方程，想办法找出方程的解。
例5：x2+x-2
变换得方程，x2+x-2=0。该方程有一解为x=1 那么x2+x-2必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2。
练习：分解因式
1) x３-x２+x-1
2) xy＋6－2x－3y
3) 5ax+5bx-3ay-3by 4) x2-7xy-5x+35y 5) 18a2-32b2-18a+24b 6) 3a3b2c－6a2b2c2＋3ab2c3
练习：分解因式 1) a x 6ax 9
2 2
2) a 2 2ab b 2 c 2 3 2 2 3 3) x x y xy y 4) 4a x 4a y b x b y
3 3 2 2 a -b =(a-b)(a +ab+b )
把一个多项式化成几个整式积 的形式，这样的式子变形叫把这 这个多项式因式分解，也叫把这 个多项式分解因式。 例：x2-1=(x+1)(x-1)
初中数学因式分解方法
初中数学因式分解方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种因式分解的方法叫做运用公式法。
二、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例:分解因式x3.-2x,2-xx3,-2x2,-x=x(x2-2x-1)三、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来。
就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2和a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、因式分解，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
四、分式的乘除法1、把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。
3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。
4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)^2=(y-x)^2，(x-y)^3=-(y-x)^3。
八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总
（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
初中数学分组分解因式的几种常用方法
初中数学分组分解因式的几种常用方法1．按公因式分解例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．2．按系数分解例2 分解因式x3+3x2+3x+9．分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．3．按次数分组例3 分解因式m2+2m•n-3m-3n+n2．分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解：原式=(m2+2m•n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+ n-3)．4．按乘法公式分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．5．展开后再分组例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．分析：将括号展开后再重新分组．解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(b c+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．6．拆项后再分组例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x +y+1)(x-y+3)．7．添项后再分组例7 分解因式x4+4．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)二、用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解确实是原式纷杂直截了当分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．解：令y=x2+3x，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．三、用求根法进行因式分解例9 分解因式x2+7x+2．分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不行完成，但仍能够分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．四、用待定系数法分解因式．例10 分解因式x2+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x +b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1•b2与x2+6x-16相比较得b1+b2=6，b1•b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1•b2家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
八年级上册数学知识点：因式分解
八年级上册数学知识点：因式分解八年级是一个至关重要的，大家一定认真复习，接下来看看查字典数学网为大家推荐的八年级上册数学知识点，会有很大的收获哦!1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2.因式分解的方法：常用提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法.3.公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=(a+ b)(a- b);(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q，有 x2+px+q是完全平方式 ? .希望为大家提供的八年级上册数学知识点，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注查字典数学网!。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
八年级下册数学因式分解
八年级下册数学因式分解
在八年级下册数学中，因式分解是一个重要的内容。
主要涉及以下几个方面的因式分解：
1. 求解整式的最大公因式和最小公倍式：通过分解各项式的因子，找出它们的最大公因式和最小公倍式。
例如，对于多项式
2xy + 4x，可以因式分解为2x(y + 2)。
2. 分解一元二次三项式：对于形如ax² + bx + c的三项式，可
以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积。
例如，对于
2x² + 6x + 4，可以因式分解为2(x + 2)(x + 1)。
3. 分解差的平方：对于形如a² - b²的差的平方，可以使用因式
分解法将其分解为两个数的和与差的乘积。
例如，对于x²- 4，可以因式分解为(x + 2)(x - 2)。
4. 分解整式：对于多项式进行因式分解，将其分解为多个一次项或二次项的乘积。
例如，对于x² - 4x - 5，可以因式分解为(x - 5)(x + 1)。
同时，在数学因式分解中，还会涉及到分解公式的运用。
常见的分解公式有二次差的平方公式、完全平方公式和立方差公式等。
以上是八年级下册数学因式分解的一些内容，具体的因式分解方法和题目需要参考教材和老师的教导。
希望以上内容对你有所帮助！。
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• 四、完全立方和（差） 分式： 3 2 2
a 3a b 3ab b (a b)
3
3
• 五、常用到的式子： ab b a 1 (a 1)(b 1)
a 4 4 (a 2 2a 2)( a 2 2a 2)
a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
• （3）设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1) a 2 2ab b 2 1 • =
(a b 1)( a b 1)
• (4)原式=
1999 x 2 1999 x 2 x 1999 1999 x( x 1999 ) ( x 1999 ) (1999 x 1)( x 1999 )
• 把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
• 分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能出现 公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分解的基本 方法，体现了化整体为局部，又有全局的思想。如何分组 是解题的关键。常见的分组方法有： • （1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； • （2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂排列， 再分组； • （3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分组。 • 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
设 • （1）解： ：x 2 5x a • 则原式= (a 2)(a 3) 12
a 2 5a 6 (a 6)( a 1)
• （2）解：原式= ( x
2
7 x 6)( x 2 5 x 6) x 2
( x 2 6 x 6 x)( x 2 6 x 6 x) x 2 ( x 2 6 x 6) 2
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc (a b c)( a b c ab bc ac)
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：
x ( p q) x pq ( x p)( x q)
2
• 例题：用十字交叉法分解下 列多项式： 2 • （1）
x x6
2
• （2） • （3） • （4）
x 7 x 10 2 x 7 x 10 2 x 2x 3
方法四、换元法
• 对结构比较复杂的多项式，若把其中某些 部分看成一个整体，用新字母代替（即换 元），则能使复杂问题简单化、明朗化， 在减少多项式项数，降低多项式结构复杂 程度等方面有独到作用。
• （5）原式= ( x y) 2 2( x y) 2 xy( x y) 4 xy ( xy) 2 2 xy 1
( x y xy) 2 2( x y xy) 1 ( x y xy 1) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
• 这是因式分解的首选方法。也是最基本的 方法。在分解因式时一定要首先认真观察 等分解的代数式，尽可能地找出它们的分 因数（式）
方法二：公式法
• (6)原式= (2 x 3 y )3 (3x 2 y )3 [5( x y )]3
( 2 x 3 y ) 3 (3 x 2 y ) 3 [( 2 x 3 y ) (3 x 2 y )]3 15( x y )( 2 x 3 y )(3 x 2 y )
( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x 2 • （2）
( • （3） x y)( x y 2 xy) ( xy 1)( xy 1) 2 2 • （4） 1999 x (1999 1) x 1999
• （5） x y 2 xy)( x y 2) ( xy 1) 2 ( • （6）(2 x 3 y)3 (3x 2 y)3 125( x y)3
方法五、分组分解法
• （1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) • =a(m+n)+b(m+n) • =(a+b)(m+n) • (2)形如： 2 2
x y 2x 1 ( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x y 1)( x y 1)
• 例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
( x x 4)( x x 3) 10
4 2
4
2
• 解：设 x 4 x 2 a • 原式= (a 4)( a 3) 10
a2 a Βιβλιοθήκη ( a 2)( a 1)同步练习：分解因式
( x 2 5 x 2)( x 2 5 x 3) 12 • （1）
a 2 b 2 (a b)( a b) • 一、平方差公式：
• 二、完全平方公式： 2 a
• 三、立方和（差）公 式： 3 3
3 3
2ab b (a b)
2
2
a b (a b)( a 2 ab b 2 )
a b (a b)( a ab b )
• 例题1（上海市竞赛题）多项式
x 2 y y 2 z z 2 x x 2 z y 2 x z 2 y 2 xyz
• 因式分解后的结果是 • 解：将原式重新整理成关于x的二次三 项式，则 • 原式=( y z) x ( y z 2 yz) x ( zy z y)