2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合M ={x|x 2−7x +6<0,x ∈Z}，N =(1,5)，则M ∩N =( )A. (1,5)B. {2,3，4}C. (1,6)D. {5}2. 命题“∀x ∈R ，tanx ≠1”的否定是( )A. ∀x ∉R ，tanx ≠1B. ∀x ∈R ，tanx =1C. ∃x ∉R ，tanx ≠1D. ∃x ∈R ，tanx =13. 对于实数a,b,c ，有下列命题：①若a >b ，则ac >bc ；②若ac 2<bc 2，则a <b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c−a >bc−b ．其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知a =243，b =425，c =2513，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b5. “lgx >lgy ”是“10x >10y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=x 3+2x +sinx ，若f(a)+f(1−2a)>0，则实数a 的取值范围是() A. (1,+∞) B. (−∞,1) C. D.7. 设a >b >0，且ab =2，则a 2+1a (a−b )的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=(12)x−1+b 的图像不经过第一象限，则实数b 的取值范围是( )A. b <−1B. b ≤−1C. b ≤−2D. b <−29. 设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(−3)=0，则x ⋅f(x)<0的解集是() A. {x|−3<x <0或x >3} B. {x|x <−3或0<x <3}C. {x|x <−3或x >3}D. {x|−3<x <0或0<x <3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 函数y =ln (3−x )+√2x −4的定义域是__________．11. 设函数f(x)={1+log 2(2−x),x <1,2x−1,x ≥1,则f(−2)+f(2)=______．12.函数f(x)={x,x≥0,x2,x<0的单调递增区间是________，单调递减区间是________．13.若x+2y=1，则2x+4y的最小值是____________；14.设函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−3)与f(−π)的大小关系是__________．15.设函数f(x)(x∈R)的周期为3，当x∈[−2,1)时，f(x)={x+a , −2⩽x<0(12)x , 0≤x<1,则f(132)=；若f(x)有最小值，无最大值，则实数a的取值范围为____________________．三、解答题（本大题共4小题，共45.0分）16.已知集合A={x|0<2x+a≤3}，B={x|−12<x<2}．(1)当a=1时，求(∁R B)∪A；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．17.关于二次函数f(x)=x2+(m−1)x+1(1)若∀x∈R，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．18.已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).(1)当c=b时，解关于x的不等式f(x)>1；(2)若f(x)的值域为[1,+∞)，关于x的不等式f(x)<a的解集为(m,m+4)，求实数a的值．19.设函数f(x)=x2+ax+b的两个零点分别是2和−4；(1)求函数f(x)的解析式；(2)当函数f(x)的定义域是[−2,2]时，求函数f(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查描述法、区间法表示集合，以及一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：M={x|1<x<6,x∈Z}={2,3，4，5}，N=(1,5)，∴M∩N={2,3，4}．故选：B．2.答案：D解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，tanx=1，故选：D根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题．根据不等式的性质逐项进行判定即可．【解答】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc=0，所以①错误．②∵ac2<bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a<b，所以②正确；③因为a<b<0，所以a2>ab>0，ab>b2>0，所以a2>ab>b2；所以③正确；④若c>a>b>0，则c−a>0,c−b>0,且c−b>c−a>0，所以1c−a >1c−b>0，因为a>b>0，所以ac−a >bc−b，所以④正确．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性比较数的大小，难度一般．【解答】解：a=243,b=425=245，因为函数f(x)=2x单调递增，43>45，所以243>245，即a>b;a=243=423,c=2513=523，因为函数g(x)=x23在[0,+∞)上单调递增，4<5，所以423<523，即a<c，综上所述得b<a<c，故选A．5.答案：A解析：解：∵lgx>lgy，∴x>y>0，∵10x>10y，∴x>y，∴x>y>0⇒x>y，反之则不能，∴lgx>lgy是“10x>10y”的充分不必要条件，故选A．根据已知条件lgx>lgy，求出x，y的范围，再根据指数的性质根据10x>10y，求出x，y的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；此题主要考查指数函数和对数函数的性质及其单调性，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f(x)=x3+2x+sinx，∴f(−x)=−x3−2x−sinx=−(x3+2x+sinx)=−f(x)，则f(x)是奇函数，函数的导数f′(x)=3x2+2+cosx>0，则函数f(x)是增函数，则由f(a)+f(1−2a)>0，，得f(a)>−f(1−2a)=f(2a−1)，得a>2a−1，得a<1，即实数a的取值范围是(−∞,1)，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．由a>b>0，a(a−b)>0，可得a2+1a(a−b)=a2−ab+1a(a−b)+2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a>b>0，∴a(a−b)>0，ab=2，∴a2+1a(a−b)=a2−ab+1a(a−b)+2≥2√(a2−ab)⋅1a2−ab+2=4，当且仅当a(a−b)=1，ab=2即a=√3，b=2√33时等号成立．故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数函数及其性质，属于基础题．根据指数函数性质即可得到答案．【解答】解：∵函数f(x)=(12)x−1+b 为减函数，且图象不经过第一象限，∴可知f (0)=2+b ≤0，得到b ≤−2，故选C ． 9.答案：D解析：由x ⋅f(x)<0，得{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0而f(−3)=0,f(3)=0，即{x <0f(x)>f(−3)或{x >0f(x)<f(3)解得{x|−3<x <0或0<x <3}． 10.答案：[2,3)解析：【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．【解答】解：由{ 3−x >0 2x −4≥0，解得2≤x <3． ∴函数y =ln (3−x )+√2x −4的定义域是[2,3)．故答案为[2,3)．11.答案：5解析：【分析】本题考查分段函数求值，直接代入函数解析式求解即可．【解答】解：∵f(x)={1+log 2(2−x),x <12x−1,x ≥1， ∴f(−2)=1+log 24=3，f(2)=22−1=2，∴f(−2)+f(2)=5．故答案为5．12.答案：(0,+∞) (−∞,0)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调区间，涉及到一次函数和二次函数的单调性．【解答】解：由题意可知：当x ≥0时，函数f(x)=x 为单调增函数；当x <0时，函数f(x)=x 2在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)={x,x ≥0,x 2,x <0的单调递增区间是(0,+∞), 单调递减区间是(−∞,0),故答案为(0,+∞),(−∞,0).13.答案：2√2解析：解：由题意知2x +4y ≥2√2x ⋅22y=2√2x+2y =2√2．∴2x +4y 的最小值是2√2．14.答案：f(−3)>f(−π)解析：由(x 1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0得f(x)是R 上的单调递增函数，又−3>−π，∴f(−3)>f(−π)．15.答案：√22；(1,52]解析：【分析】本题主要考查了分段函数模型和函数的最值，属于中档题．【解答】解：f (132)=f(12)=√22， 若f(x)有最小值，无最大值，则{−2+a ≤12a >1， 解得1<a ≤52，故答案为√22；(1,52]． 16.答案：解：(1)当a =1时，集合A ={x|0<2x +1≤3}={x|−12<x ≤1}，∵B ={x|−12<x <2}，∴∁R B ={x|x ≤−12或x ≥2}，∴(∁R B)∪A ={x|x ≤1或x ≥2}；(2)若A ∩B =A ，则A ⊆B ，∵A ={x|0<2x +a ≤3}={x|−a 2<x ≤3−a2}，易知A ≠⌀，∴{−a 2≥−123−a 2<2, 解得−1<a ≤1，∴实数a 的取值范围是(−1,1]．解析：本题考查了集合的混合运算，考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题．(1)求出当a =1时集合A ，根据并集和补集的定义写出(∁R B)∪A ；(2)根据A ∩B =A 可得A ⊆B ，由此列出不等式组求出a 的取值范围．17.答案：解：(1)∵∀x ∈R ，f(x)>0恒成立，∴△=(m −1)2−4<0∴m 2−2m −3<0解得−1<m ，3…(5分)(2)∵f(x)=0在区间[0,2]上有解，又f(0)=1≠0∴f(x)=0在区间(0,2]上有解由x 2+(m −1)x +1=0得m =1−(x +1x )…(8分)当0<x ≤2时，x +1x ≥2由(1)m ≤1−2=−1因此实数m 的取值范围是：(−∞,−1]…(12分)解析：(1)由题意可得△=(m −1)2−4<0，解不等式可求(2)由f(0)=1≠0可知f(x)=0在区间(0,2]上有解，由x 2+(m −1)x +1=0得m =1−(x +1x )，结合基本不等式可求m 的范围本题主要考查了二次函数的恒成立与基本不等式在函数的最值求解中的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识 18.答案：解：(1)当c =b 时，由 f(x)>1得，所以当时，原不等式的解集为；当b =2时，原不等式的解集为(−∞,−1)⋃(−1,+∞)；当b >2时，原不等式的解集为(−∞,1−b)⋃(−1,+∞)．(2)由f(x)的值域为[1,+∞)，得4c−b 24=1，又关于x 的不等式f(x)<a 的解集为(m,m +4)，所以m ，m +4是方程f(x)=a 的两个根，即x 2+bx +c −a =0的两根之差为4.所以4=√b 2−4(c −a)，则{b 2−4(c −a)=16,4c −b 2=4,解得a =5．解析：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，韦达定理；(1)根据b =c 解出不等式的两根，然后根据b 的范围写出原不等式的解集；(2)利用不等式的值域为[1,+∞)，得4c−b 24=1，找到b ，c 的关系，再解不等式f(x)<a ，利用韦达定理解得a 的值． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2+ax +b 的两个零点分别是2和−4；∴f(x)=x 2+ax +b =(x −2)(x +4)=x 2+2x −8，(2)由(1)得：f(x)=(x +1)2−9，对称轴x =−1，∴f(x)在[−2,−1)单调递减，在(−1,2]单调递增，f(−1)=−9，f(−2)=−8，f(2)=0，∴f(x)min =−9，f(x)max =0，∴函数f(x)的值域是：[−9,0]．解析：(1)根据函数的零点，即f(x)=0的根，从而求出函数的解析式；(2)根据函数的解析式求出函数的单调区间，从而得到函数的最值，进而求出函数的值域； 本题考查了二次函数的解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道基础题．。