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一元二次方程的解法

（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）

一元二次方程定义:

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形ax2+bx+c=0 （a，b，c为常数，x为未知数，且a^0）o

顶点式：y=a（x-h）2+k（a 工0,a h、k 为常数）

交点式：y=a（x-x?）（x-x?）（a 丰 0）

[有交点A （x?，0）和B （x?，0）的抛物线，即b2-4ac> 0].

直接开平方法:

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n》0）的方程，其解为x=n± 配方法：

1. 将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）

2. 将

7.整理即可得到原方程的根

公式法：

1. 化方程为一般式：ax2+bx+c=0 （a^ 0）

2. 确定判别式，计算△（=b2-4ac）;

3. 若△ >0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若△ =0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x ?=x?= 若△ <0,该方程在实数域内无实数根

因式分解法:

因式分解法又分提公因式法”；而公式法”（又分平方差公式”和完全平方公式两种），另外还有十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤

1•将方程右边化为0;

2•将方程左边分解为两个一次式的积;

3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

用待定系数法求二次函数的解析式

(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a工0)。

(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时，可设解析式

为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a 工0)。

⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a(x- x0(x- x0(a 丰 0)。

增减性

当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。

当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。

常用公式总结：

±』辽_ 4«彳

Y —_____________________

b

珂+可二__ 丿；

两可二—

a

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1:已知关于卞的方程（1） 「一 I • ■ ■- 有两个不相等的实数根，

且关于X 的方程（2） 二 - 没有实数根，问口取什么整数时，方程

（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1）,（ 2）条件的主的取值范围中筛选符合条件的■＜的整 数值。

解：•••方程（1）有两个不相等的实数根，

...4严一巧『一口3-习〉0，解得 4 ；

•••方程（2）没有实数根 —

于是，同时满足方程（1）,（ 2）条件的；的取值范围是

其中，玄的整数值有■* = 2或山二三

当J = 1时，方程（1）为--■■■■

1

I ,无整数根；

当7 _ -时，方程（1）为 ，有整数根。

解得：工--

所以，使方程（1）有整数根的&的整数值是 心。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定 4的取值范 围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 Li = 5

，这也正

是解答本题的基本技巧。

解得二

13

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1:不解方程，判别方程-八-:二■1两根的符号。

分析：对于:来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定；」或I的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定匚兀或I亠二的正负情况。

解：•••」■_=•4X 2X ( —7) = 65> 0

•••方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为 '，

•••原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进

行确定，另外由于本题中匸也v 0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若门> 0, 仍需考虑’-+，的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程叮雹；1「的一个根为2,求另一个根及w的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把-‘二；代入原方程，先求出：?;

的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及W的值。解法一：把?=-代入原方程，得: 2’一6水戈十战° 一2沟+ 5二0

即揺2_2闿_3 = 0, 解得牌叫=°】当：二•时，原方程均可化为：

工"一弘十8二0 , 解得：& = 2 ,氐=4

•••方程J I —- ■'- 「的另一个根为4, w的值为3或一1。

解法二：设方程的另一个根为门，

根据题意，利用韦达定理得：

画+ %二一(_ 6〕二6 两，工卫二阳工_ 2豹十5

' " >

...A = 2 ,...把首=2代入可+毛二-(-Q二6，可得：心=日

.•.把再=4代入珂，屯二」丹-询+」可得：趴2_2熬+亍=£ 即尚2_2堀_3 = 0 解得口“汽

•方程二‘雷：二-、的另一个根为4,"的值为3或一1。

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

2 . g

例3：已知方程'■''■ ■.■■■'■ ■ 1 1-'有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求咗的值。

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化

为关于叫的方程，即可求得円的值。

解：.•方程有两个实数根，' ■'',解得小<0设方程两根为厂；则-：”「.，’•「—

.〔可+也丫一％「冷二戈1 .［一2(胡一2)］，—3(«?+4) = 21

整理得：，」解得：--i --