(word完整版)一元二次方程的解法总结,推荐文档
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程解法知识点总结
一元二次方程解法知识点总结一元二次方程是高中数学中重要的概念之一，解一元二次方程是解决实际问题中的关键步骤。
在本文中，我将总结一元二次方程解法的主要知识点。
以下是详细介绍：一、一元二次方程的定义和一般形式一元二次方程指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。
二、求一元二次方程的解的三种方法1. 因式分解法因式分解法是解一元二次方程的一种简单方法，适用于方程可以因式分解的情况。
2. 完全平方式当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用完全平方式解方程。
公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
3. 直接法（配方法）当一元二次方程无法因式分解且也不适用完全平方式时，我们可以使用配方法解方程。
通过变形将一元二次方程转化为一个平方的求解问题。
三、一元二次方程解的判别式判别式用于判断一元二次方程的解的性质。
判别式的公式为：Δ = b² - 4ac，其中Δ≥0且Δ<0代表不同的解的情况。
四、一元二次方程解的特殊情况1. 重根情况：当判别式Δ = 0时，方程仅有一个解，此时方程的两个解重合。
2. 无解情况：当判别式Δ < 0时，方程无实数解。
五、一元二次方程解法的应用一元二次方程解法的应用非常广泛，例如可以用来解决关于运动、生活中的数学题目，比如求解物体下落时间、销售利润最大化等。
六、例题与解析为了更好地理解一元二次方程解法，以下是两个例题的详细解析：例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。
解析：首先计算判别式Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1。
由于判别式Δ > 0，方程有两个不相等的实数解。
接下来使用公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 计算解，得到：x₁ = (5 + √1) / 2 = 3x₂ = (5 - √1) / 2 = 2所以，方程的解为x₁ = 3和x₂ = 2。
(word完整版)一元二次不等式及分式不等式的解法
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ＞0）的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－错误!没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a＞0)的解集｛x |x ＞x 2或x ＜x 1}错误! Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a＞0)的解集｛x |x 1＜x ＜x 2｝ ∅ ∅2．简单分式不等式的解法:0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； ()0()f x g x ≤⇔________________1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ）． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞） B ．(－2，－1) C ．（－∞，1)∪（2，＋∞)D ．（1,2）2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ）．A 。
错误!B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪（2,＋∞）D 。
错误!∪（1，＋∞） 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ）． A.错误! B 。
错误! C 。
错误! D ．R4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为错误!，则ab ＝（ ）． A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．265．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 例题选讲：例2：求不等式12x 2－ax ＞a 2（a ∈R )的解集．例3:已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．例4：已知f (x )＝x 2－2ax ＋2（a ∈R ），当x ∈［－1,＋∞）时，f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．例5：不等式102x x -<+ 的解集是为（ ） （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（—2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 例6:不等式的解集是___________.A 组：1．(5）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ (C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜2.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程及其解法
一元二次方程及其解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、公式法和完成平方法等。
本文将逐一介绍这些解法，并通过例子加深理解。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解的形式将方程解出。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式；2. 根据分解得到的(x + m)(x + n) = 0，可得到两个线性方程x + m = 0和x + n = 0；3. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -m和x = -n。
例如，解方程2x^2 + 5x + 3 = 0：1. 将方程因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0；2. 得到两个线性方程2x + 1 = 0和x + 3 = 0；3. 解得x = -1/2和x = -3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以利用配方法将其转化为可因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程ax^2 + bx + c = 0，将b项的系数b拆分成两个数p和q，使得p + q = b且pq = ac；2. 将方程重写为ax^2 + px + qx + c = 0，并进行合并得到ax^2 +(p+q)x + c = 0；3. 将方程的前两项进行因式分解，并重写为a[x^2 + (p+q)x] + c = 0；4. 提取公因式，得到a[x(x + (p+q))] + c = 0；5. 将方程重新整理为a(x + p)(x + q) = 0的形式；6. 根据分解得到的(x + p)(x + q) = 0，可得到两个线性方程x + p = 0和x + q = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -p和x = -q。
例如，解方程2x^2 + 7x + 3 = 0：1. 将方程配成2x^2 + 6x + x + 3 = 0；2. 可以选择p = 3和q = 1，满足p + q = 7且pq = 6；3. 将方程重写为2x(x + 3) + (x + 3) = 0，并合并得到2x(x + 3) + (x +3) = 0；4. 提取公因式，得到(x + 3)(2x + 1) = 0；5. 因式分解后得到(x + 3)(2x + 1) = 0；6. 得到两个线性方程x + 3 = 0和2x + 1 = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -3和x = -1/2。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
-一元二次方程的解法(全)
2
此方程无解。
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
2
c a0 x a ;
1当
c a
0时，方程的根是 x ;
c a
2当
c a
0时，原方程无实数根。
2 2
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
2
可见，上面的 2 x 4 实际 上就是求4的平 方根。
x 4 x 2 x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒
用直接开平方法解下列方程：
（1） y 121 0 ;
2
将方程化成
（2） x 2 0 (3)
2
x b
2
(b≥0）的形 式,再求解
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x b b 0 或
2
x a
2
b b 0 .
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x b b 0 或
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
(完整版)一元二次方程复习知识点梳理,推荐文档
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
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第十六期：一元二次方程元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的,关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在知识点1 :一元二次方程及其解法A . x-i1 , x2 2配方法；三是求根公式法•此题可以用此三种方法求解,x 2 x (x 2 x)2 1-的值等于（；32、3 A . 3练习:答案：I.D.(1)2 b( 1) 30 .解方程得 b 2.原方程为x 2 2x 3C . x-i 1 , x 22D . x 11 , X2 2思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元 次方程的解法有:是因式分解法；二是以分解为（x — 1）(x — 2)=0,所以 x — 1=0 或 x —2 =0,解得 x i = 1,x 2 = 2 .故此题选A.元二次方程根与系数的 6 — 9分左右。
例1 ：方程x 2 3x 20的解是（此题以因式分解法较简单，此式可例2:若x 2思路点拨：本题考查整体思想, 即由题意知x 2 — x=2,所以原式=22 1爲U ，选 A.1•关于x 的一元二次方程 22x —3x — a 2+1=0 的一个根为2,则a 的值是（C .2•如果 1是一元二次方程 x 2 bx 3 0的一个根，求它的另一根.3•用配方法解一元二次方程:x 2 — 2x — 2=0 .2.解：Q 1 是 x 2 bx 30的一个根,分解因式，得（x 1）（x 3） 0 x 1 1 , x 2 3. 3. 移项，得 x 2 — 2x=2 . 配方 x 2 — 2x+1 2 =2+1 2 ,2 (x — 1) 2=3.由此可得x —仁土 3 ,x 1 =1+ .3 , x 2 =1 — . 3 . 最新考题个根是2ax bx c 0的根与系数关系即韦达定理，两根b c 之和是 ，两根之积是一，易求出两根之和是 2。
答案：Baa例2：设一元二次方程 x 2 7x 3 0的两个实数根分别为 x 1和x 2,则 x-1 x 2思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，X 1、X 2是一元二次方程1. （2009威海）若关于x 的一元二次方程x 2（k 3）x k 0的一个根是 2, 则另2. （2009年山西省）请你写出一个有一根为 的一元二次方程:3.（ 2009山西省太原市）用配方法解方程2x 50时, 原方程应变形为（答案: 1.1; 知识点C .2•答案不唯一，女口 x 2 1 3. B元二次方程的根与系数的关系例1：如果x 1, x 2是方程x 2 2x1 0的两个根，那么 X 1 X 2的值为:(A)- 1(B) 2(C ) 1 、2 (D) 1 思路点拨：本题考查一兀二次方程,X 1、X 2-aX 2+bX+c=0(a 工的两根，贝U x 仆 +X 2=cX 2= •要特别注意的是方程必须有实数根才 a能用这一结论，即△ =b 2— 4ac > 0.答案：7, 3 练习:(1)求实数m 的取值范围;22(2)当X 1 X 2 0时，求m 的值.(友情提示：若X -I , X 2是一元二次方程ax 2bx , x 2, x , x 2a这两个实数根是多少?1即实数m 的取值范围是m w 丄. 42•解：由题意，△ =( — 4)2— 4(m — 2)=0 即 16— 4m+2=0 , m =| .当m=^时，方程有两个相等的实数根 X 1=X 2=2 .最新考题1. (2009年兰州)阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c = 0(a 工0的两根为 X 1, X 2,则b c 两根与方程系数之 间有如下关系：X 1+X 2=— — , X 1 X 2= •根据该材料填空：已知X 1、aaX 2是方程 x 2+6x+3 = 0的两实数根，则 竺+ △的值为 ______________ •X I 、1•已知关于X 的一元二次方程X 2(2 m 1)x2 -m 0有两个实数根X i 和X 2.bx c 0(a0)两根，则有2•当m 为何值时, 关于x 的一元二次方程x 2 4x m2 0有两个相等的实数根？此时答案：1•解：(1) 由题意有(2 m 1)2(2) 2X 2 0 得(X 1 X 2)(X 1 X 2) 若X 1 X 20 ,即(2 m 1)0 ,解得 mQ1m 1不合题意，舍去.2右X 1 X 2 0 , 即 卩 x 1 x 2 0 ,由(1)知m故当 2 X12 X2x1 x222. ________________________________________________________________________ ( 2009年崇左)一元二次方程x mx 3 0的一个根为1,则另一个根为___________________________ .答案：1. 10 2. 3知识点3: 一元二次方程的应用例1 :某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元•设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是( )A • 55 (1+ X)2=35B • 35(1+ X)2=55C. 55 (1 —X)2=35 D • 35(1 —X)2=55思路点拨：列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。
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一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c = 0（a工0）,化成以=--,当乳亡异号时"两边同时开平方得x = 土J--*这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1. 9X2-25= 0;2. （3X+2）2-4= 0;4. (2X+3)2= 3(4X+3).解：1 . 9X2-25= 09X2= 25立259-3* _ 55・-X]—万・-亍2. (3X+2)2-4= 0(3X+2)2= 43x+2 = ± 23x = -2 土2-2±2H3= 0,X2気G+V3）鸟=吗岳i" + 2^3+ $=4 辰」2岳+片QX I = X2= 3 .4. (2x+3) 2= 3(4x+3)4X2+12X+9=12x+94X2= 0• X i = x =0.【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c = 0（a丰0）;把常数项移到方程的右边，如ax2+bx = -c;方程的两边都加上一次项系数一半的平方,以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+ '+ 3=--+〔= 把方程的左边变形为一次二项式的完za a Za方程的两边都除ati b — 4 0.0全平方，右边合并或一个常数，如心斗丁尸-=二_；方程的两边同2a4酋时开平方.得到两个一元一欢方程.如1；= ±塔竺分别解这za 2a两个一元一次方程，求岀两个根，即竺。
2a例：用配方法解下列方程：1. x2-4x-3 = 0; 2 . 6x2+x = 35;3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3= 0.解：1 . x2-4x-3= 0x2-4x = 3x2-4x+4 = 3+4(x-2)2= 7耳_2= ± 7?耳=2 士V?j2. 6x2+x=351 35X *产石工】 『「 艾 1x 十一范十(—)=一 ■+—— 6 f 6 144 伍+A _ 841144129X + — + 12 ' 121 29蛊 十12 - 12. 7 5* - H i _ ~t 匕 =——2 '3. 4X 2+4X +1= 74=—6X 3+K +〔壬）3 6 1=―十—— a+打3 _ 72 4J 貯 呂+ —二土——2 2—产冷十孚4. 2X 2-3X -3= 0卫一二直二匸 2 2,3 3.39S 一尹十（可）"2-K163 753旨一一二 I --- 4 43侮【公式法解一元二次方程】元二次方程 ax 2+bx+c = 0(a丹）-用配方法所求出的两个根孔二 土史土和心二-b + -4 遑亡2 a.广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将 a , b , c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 例：用公式法解一元二次方程:1. J+2=2屁2. 2X 2+7X -4=0;4. x 2-a(3x -2a+b)-b 2 = 0(a -2b > 0,求 x).解小J + 2=2屈2 屈富 + 2 = 0i a = 1 j b = — ： 1 c = 2 xb a -4ac= (-2V2)3-4XlX2 = 0•/ a = 2, b = 7, c = -4.b 2-4ac = 72-4X 2 X (-4) = 49+32= 813. J + 2 (柘+1) K +2^3 = 0T a~ 11 b = 2 1) * 匚=2V3・b 2-4ac= (2 (73+1) ) 2—国浓 M2费.=4(4+273)—8柘=16 + 8,^-873=16称为公式法’而把敢==0（a 丰0）的求根公式。
一元二次方程详细解法大全
判别式法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0a=7;b=−4;c=−3确定各项系数∆=b2−4ac=(−4)2−4×7×(−3)=16+84=100x1=−b+√∆2a x2=−b−√∆2a必背公式代入数值：x1=4+√1002×7=4+1014=1414=1x2=4−√1002×7=4−1014=−614=−37若∆<0，则方程无解。
此方法为解一元二次方程的万能方法。
配方法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0x2−47x−37=0 除以7，二次项系数化1x2−2×27×x−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0绿色部分为完全平方公式(x−27)2−(27)2−37=0(x−27)2=2549①x−27=±57x1=57+27=1 x2=−57+27=−37此方法为解一元二次方程的万能方法若上面①式中等号右边为负数，方程无解。
十字相乘法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0二次项系数：7一次项系数：-4常数项：-3对二次项系数和常数项进行拆分7= 7 × 1−3=3 × −1交叉相乘之和等于中间一次项系数7×(−1)+3×1=−7+3=−4则该方程可写为：(7x+3)(x−1)=0则方程的解为：7x+3=0 或 x−1=0x1=−37x2=1此方程为解一元二次方程最快速的方法但仅适用于有解且解为整数或分数的方程当解为根式时不能用。
上面讲的都是普通一元二次方程的解法对于一些特殊的一元二次方程，则还有一些特殊的解法，下面为同学们一一列举1.无常数项型ax2+bx=0例如：5x2+3x=0把一个x提到“( )”外面得到：x(5x+3)=0x=0 或5x+3=0x1=0 x2=−3 52.无一次项型ax2+c=0例如：5x2−7=05x2=7x2=75x=±√7 53.完全平方型(ax+b)2=c例如：(5x+3)2=95x+3=±35x=3 或 5x=−3x1=35 x2=−35。
一元二次方程解法(全)
x 4x 1
2
移项
x 4x 2 1 2
2 2
两边加上22,使左边配 成完全平方式
2
左边写成完全平方的形式
变成了(x+h)2=k 的 形式
( x 2) 5
2
开平方
x2 5
得 : x1 2 5, x2 2 5
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用直接开平方法求 解,这种解一元二次方程的方法叫做 配方法.
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
AB=0A=0或Ｂ＝０
9 x 25 0
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
运用直接开平方法解形如 ax c 0 （a≠0）的一元二次方程的解法： 2 移项ax c
2
c 二次项系数化为 x a
2
c c 当ac<0时 ， x1 , x2 a a
当ac>0时 ，此方程无实数解
2
2
它们之间有什么关系?
x
2
p 2 p ( ) 2 px ____ ( x ____) 2 2
2
对于x +px,再添上一次项系数一 半的平方,就能配出一个含未知数的 一次式的完全平方式. 体现了从特殊到一般的数学思想方法
体 现 了 转 化 的 数 学 思 想
x 4x 1 0
（ 5）
3 x 12 x 12 __ 3 x 2 _
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配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项 系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一 般方法。
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，
程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两 根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
c a
。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：
1、关于 x 的一元二次方程 x2 kx 4k 2 3 0 的两个实数根分别是 x1, x2 ，
且满足 x1 x2 x1x2 ，则 k 的值为：
（）
（A） 1或 3 4
（B） 1
3
（C）
4
（D）不存在
2、已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2 2m 3x m2 0 的两个不相
12、当 x =
时，代数式 x2 3x 比代数式 2x2 x 1的值大 2 ．
13、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16
A．2 B．3 C．－2 或 3 D．2 或－3
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 一元二次方程综合复习
10、若（m+1） xm(m2)1 +2mx－1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是代数学中非常重要的一种方程形式，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
解一元二次方程主要有四种方法：因式分解法、配方法、求根公式法和完成平方法。
本文将详细介绍这四种解法，并给出解题示例。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法求解。
即将方程两边进行因式分解，使得等式左右两边之积等于零，从而得到方程的解。
例如，我们有一个一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0。
通过因式分解，我们可以将该方程转化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由于两个因式的乘积等于零，所以可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0。
进一步求解可得x = -2或x = -3，这就是方程的解。
二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，此时可以利用配方法将方程转化为可进行因式分解的形式。
配方法的具体步骤如下：1. 将方程的常数项c进行负号提取：ax^2 + bx - c = 0；2. 将方程中的b项进行二次项的一半的平方操作，得到(b/2)^2，然后加减到方程的两边；3. 将方程进行因式分解。
例如，我们有一个一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
按照配方法进行求解：1. 提取常数项的负号，得到2x^2 + 5x + 3 = 0；2. 二次项的一半是5/2，其平方是(5/2)^2 = 6.25。
加减到方程两边得到2x^2 + 5x + 6.25 - 6.25 + 3 = 0；3. 将方程进行因式分解，得到(2x + 3.5)^2 - 2.25 = 0。
再进行开方，得到2x + 3.5 = ±√2.25。
最后解得x = -3.5 ± √2.25的解。
三、求根公式法求根公式法也是一元二次方程解法的一种常用方法，它是利用一元二次方程的根与方程系数之间的关系来求解方程。
根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)例如，我们有一个一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
《一元二次方程》知识点总结范文
《一元二次方程》知识点总结范文
合理的总结，合理的归纳，对于考试成绩会有很大的帮助，下文为大
家推荐了一元二次方程知识点总结，祝大家期末考试顺利。
1、一元二次方程的一般形式:a≠0时，a2+b+c=0叫一元二次方程的`
一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数，也可能
是含待定字母或特定式子的代数式。
2、一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其
中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，
但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，
是首选方法;配方法使用较少。
3、一元二次方程根的判别式:当a2+b+c=0(a≠0)时，Δ=b2-4ac叫一
元二次方程根的判别式。
请注意以下等价命题：
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;
Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等)。
4、一元二次方程的根系关系：当a2+b+c=0(a≠0)时，如Δ≥0，有
下列公式：。
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一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形ax2+bx+c=0 （a，b，c为常数，x为未知数，且a^0）o顶点式：y=a（x-h）2+k（a 工0,a h、k 为常数）交点式：y=a（x-x?）（x-x?）（a 丰 0）[有交点A （x?，0）和B （x?，0）的抛物线，即b2-4ac> 0].直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n》0）的方程，其解为x=n± 配方法：1. 将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2. 将7.整理即可得到原方程的根公式法：1. 化方程为一般式：ax2+bx+c=0 （a^ 0）2. 确定判别式，计算△（=b2-4ac）;3. 若△ >0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若△ =0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x ?=x?= 若△ <0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分提公因式法”；而公式法”（又分平方差公式”和完全平方公式两种），另外还有十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1•将方程右边化为0;2•将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a工0)。
(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a 工0)。
⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x- x0(x- x0(a 丰 0)。
增减性当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。
当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。
常用公式总结：±』辽_ 4«彳Y —_____________________b珂+可二__ 丿；两可二—a一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1:已知关于卞的方程（1） 「一 I • ■ ■- 有两个不相等的实数根，且关于X 的方程（2） 二 - 没有实数根，问口取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1）,（ 2）条件的主的取值范围中筛选符合条件的■＜的整 数值。
解：•••方程（1）有两个不相等的实数根，...4严一巧『一口3-习〉0，解得 4 ；•••方程（2）没有实数根 —于是，同时满足方程（1）,（ 2）条件的；的取值范围是其中，玄的整数值有■* = 2或山二三当J = 1时，方程（1）为--■■■■1I ,无整数根；当7 _ -时，方程（1）为 ，有整数根。
解得：工--所以，使方程（1）有整数根的&的整数值是 心。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定 4的取值范 围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 Li = 5，这也正是解答本题的基本技巧。
解得二13二、判别一元二次方程两根的符号。
例1:不解方程，判别方程-八-:二■1两根的符号。
分析：对于:来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定；」或I的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定匚兀或I亠二的正负情况。
解：•••」■_=•4X 2X ( —7) = 65> 0•••方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为 '，•••原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中匸也v 0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若门> 0, 仍需考虑’-+，的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程叮雹；1「的一个根为2,求另一个根及w的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把-‘二；代入原方程，先求出：?;的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及W的值。
解法一：把?=-代入原方程，得: 2’一6水戈十战° 一2沟+ 5二0即揺2_2闿_3 = 0, 解得牌叫=°】当：二•时，原方程均可化为：工"一弘十8二0 , 解得：& = 2 ,氐=4•••方程J I —- ■'- 「的另一个根为4, w的值为3或一1。
解法二：设方程的另一个根为门，根据题意，利用韦达定理得：画+ %二一(_ 6〕二6 两，工卫二阳工_ 2豹十5' " >...A = 2 ,...把首=2代入可+毛二-(-Q二6，可得：心=日.•.把再=4代入珂，屯二」丹-询+」可得：趴2_2熬+亍=£ 即尚2_2堀_3 = 0 解得口“汽•方程二‘雷：二-、的另一个根为4,"的值为3或一1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
2 . g例3：已知方程'■''■ ■.■■■'■ ■ 1 1-'有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求咗的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于叫的方程，即可求得円的值。
解：.•方程有两个实数根，' ■'',解得小<0设方程两根为厂；则-：”「.，’•「—.〔可+也丫一％「冷二戈1 .［一2(胡一2)］，—3(«?+4) = 21整理得：，」解得：--i --又-说明：当求出■■■■■--后，还需注意隐含条件;■-;,应舍去不合题意的--17四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知匕是关于*的一元二次方程k ； 1 ' ■■■1■ -的两个非零实数根，问=和匕能否同号？若能同号，请求出相应的 喇的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于*的一元二次方程有两个非零实数根，•则有_ L ■.1 |/:" - 一： _又•••带、匕是方程- - 的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：Aj += —（/>? — I ） ” X L - ^3 =丄沪假设 n R 同号，则有两种可能：（1） '■- ■- —（嗨—1） < 0]3农>014 ,解不等式组得廉>;l-时方程才有实树根，•此种情况不成立。
卿旦一/92 < —又T：,•当 ：时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系， 是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体， 在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
c.二 L （2）■-■ 一 J若〔「一「则有:耳十毛< 0;即有:若则有: —> 0吕,解不等式组，得枕；六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知口、：是方程叮I -丁 - ■的两个实数根，求• ■ 1 - ■1 -的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于二是方程的实数根，所以,■■ 1'■设应2Q+加，，亠如4 2d与炉+20」相加，得：r - . . ,.i I :: : : I 1)=(a2+ Q?) + 2(af+ E + eQ-b-■ '' - - - ” -■ ■■：』(变形目的是构造：1 :，和“)根据根与系数的关系，有：口+讣得：M = (-2)a + 2(-2) - (-5)-5 = 4 - 4 + 5 - 5= 0.£ + 如丰2a=o解法二：由于」是方程八」- '的实数根'.■.'. :' ■. - | • ■: | ：.： -.：■ . j I -说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8 已知两方程「「I八J和■ !'"'I -:'- 至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为门时，根据根的意义，可以构成关于没和喇的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为门,根据根的意义，有二■人、「［和厂:I J - 1 -(6^ +1)圧=2(6^ 4-1)两式相减，得I-，方程的判别式L 二（一附尸一也朋十5）二（一丄尸-4（-1+5） = —- — <0方程无实数解代入原方程，得-，所以七=?于是，两方程至少有一个相同的实数根， 4个实数根的相乘积为(5 + ^X13w + 7) = 14x124 = 1736 说明：（1）本题的易错点为忽略对 「•’-一 -的讨论和判别式的作用，常常除了犯有 默认的错误，甚至还会得出并不存在的解:W2当5： --_'-=：时，；，两方程相同，方程的另一根也相同，所以 4个根的相乘积为： ^ - - ；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题， 就应首先确定方程有实根的条件:A t -(一艸O' —4脚 + 5) = W22 - 4>« - 20 > 0且■ -_ ■ I .-丨：: - <■：；， ■： .- 另外还应注意：求得的代的值必须满足这两个不等式才有意义。
一、 填空题：1、 如果关于盂的方程护+ 6冥+世二0的两根之差为2，那么^= 02、 已知关于盂的一元二次方程 3-1）"—仪+ 1）赛+1 = °两根互为倒数，则 *_。