水力学 第11章渗流

2
Q r z −h = ln πk r0
2 2 0
r = R时z = H
( H 2 − h02 ) Q = πk R ln r0
11.5.2承压完整井
dz A = 2πrt J = dr dz Q = vA = 2πrtk dr
z=
Q ln r + C 2πkt
Q ln r0 2πkt
当r = r0时，z = h0得C = h0 −
若令η ′ =
′ h0 η ′ ds = − ( )dη ′ i′ 1 + η ′ ′ ′ h0 1 +η2 ′ − η 2 + ln ′ l = (η1 ) ′ i′ 1 + η1
′ h0 dη ′ 1 = −i′(1 + ) ds η′
h ′ h0
dh 1 ′(1+ ) = −i ds η′
η1′ =
经验公式图表法
11.4恒定无压渗流
无压渗流的自由表面称为浸润面，浸润面与顺流向所取的铅垂平面的交线称为浸润线。
11.4.1无压恒定均匀渗流
无压均匀渗流的特点：
水深h0沿程不变，断面平均流 速v沿程也不变，并且 J = i.
v = kJ = ki
Q = kA i 0
Q = kbh0i
q = kh0i
11.2.2土壤的渗透特性
1.均质土壤和非均质土壤
各点处同一方向透水性能相同的土壤称为均质土壤，反之为非均质土壤。
2.各向同性与各向异性土壤
同一点处各个方向透水性能相同的土壤称为各向同性土壤，反之为各向异性土壤。
3.层状土壤
在渗流区域中，存在若干透水能力各不相同的土层，称为层状土壤。
4.土壤的孔隙率
由于引入了渗流模型的概念，把渗流也视为一种连续介质运动， 这样把分析地上水的运动要素的各种概念和方法，都可引入到渗流中。
渗流运动的特点：
1.流 v较 ， 可 而 计 速 小 略 不 。 2g
αv2
p 2.渗 流之总 能量 = z + E ρg
3.渗流的测压管水头E沿程总是减少的。
11.3渗流的基本定律
1 m
Re < Rec为层流
Rec = 7 ~ 9
对于非线性渗流：v = kJ
当m =1 时为层渗流；
当m = 2时为粗糙区的渗流；
当m =1 ~ 2时为层流到紊流的过渡区渗流。
11 .3 .3渗透系数及其确定方法
现场测定
k/(m/d) 土壤名称 粘 土 亚 粘 土 轻 亚 粘土 黄 土 粉 砂 细 砂 中 砂 均 质 中 砂 粗 砂 均 质 粗 砂 圆 砾 卵 石 无 填充 物 卵石 稍 有裂 隙 岩石 裂隙 多 的 岩石 <0.005 0.005～0.1 0.1～0.5 0.25～0.5 0.5～0.1 1.0～5.0 5.0～20.0 35～50 20～50 60～75 50～100 100～500 500～10000 20～60 ＞60 <6×10-6 6×10-6～1×10-4 k/(cm/s)
h1 h ′= 2 ,η 2 ′ ′ h0 h0
11.5井的渗流
11.5.1普通完整井
A = 2πrz
Q = vA = 2πrzk
J=
dz dr
dz dr
Q dr zdz = 2πk r
Q 当r = r0 , z = h0 代入式中可得 C = h − ln r0 πk
2 0
Q z = ln r + C πk
m q = m∆q = kh n
3.渗流压强的计算
E =H = z+
p ρg
p = ρg(H − z)
h H i = H − (i − 1) n
4.渗流压力的计算
P =
∫ pds
s
P = ρg (Ω1 + Ω 2 )
11.2渗流的几个基本概念
11.2.1水在土壤中的形态
1.气态水
气态水是以水蒸气的形式悬浮在土壤孔隙之中，其数量极少。
2.附着水与薄膜水
两种水都是由于土壤颗粒分子和水分子之间相互吸引作用而包围在土壤四周 的水分，也称为结合水，很难移动数量少。
3.毛管水
由于毛细管作用保持在土壤孔隙中。
wenku.baidu.com
4.重力水
重力水存在在土壤的大孔隙中，其运动受重力支配。
∫
s2
s1
ds = ∫ dη + ∫
η1
η2
η2
η1
dη η -1
h0 η2 −1 s2 − s1 = l = (η2 −η1 + ln ) i η1 −1
例11.1 已知i = 0.02, k = 0.003cm/s, l = 250m, h1 = 2.5m, h2 = 4.5m.
试求渠道向河道渗透的单宽流量q，并计算浸润线。
dh kh0i = kh(i − ) ds
令η =
h h0
dh 1 =i(1− ) ds η
浸润线方程：
dh 1 =i(1− ) ds η
h0 d η 1 = i (1 − ) ds η
h = h0η
dh = h0 dη
η i ds = dη h0 η −1
i h0
ids dη = dη + h0 η −1
1.手描法
2.水电比拟法
等电位V
等水头H
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
电流密度σ
∂2H ∂2H ∂2H + 2 + 2 =0 ∂x 2 ∂y ∂z
渗流速度u 渗透系数k
dH ds dH 渗流流量Q = − kA ds 达西定律u = − k
电导系数λ
dV ds dV 电流强度I = −λA ds 欧姆定律σ = −λ
H n = H1 + d
11.6.2后段的计算
dq1 = udζ = kJdζ = k
C
ζ
m2ζ
dζ =
ζ
1
dζ
k dζ m2
ζ
a0
dζ
H2
q1 = ∫ dq1 = ∫
0
a0
a0
0
2
ka0 k dζ = m2 m2
α2
J
E
a0 dq2 = udζ = kJdζ = k dζ m2ζ
q2 = ∫
a0 + H 2 a0
k
a0 ka a + H2 dζ = 0 ln 0 m2ζ m2 a0
ka0 a + H2 (1+ ln 0 ) m2 a0
q = q1 + q2 =
11.6.3计算浸润线
k x= ( H12 − z 2 ) 2q
11.7渗流的基本微分方程
11.7.1渗流的连续性方程
∂ux ∂uy ∂uz + + =0 ∂x ∂y ∂z
11.8.2应用流网进行渗流计算
h ∆h = −∆H = n
∆H = H i +1 − H i
h ∆ψ = ∆ϕ = −k∆H = k∆h = k n
1.渗流流速的计算
∆H h J =− = ∆s n∆s
∆H kh = u = kJ = −k ∆s n∆s
2.单宽渗流量的计算
∆q = ∆ψ = ∆ϕ = −k∆H = kh n
（2）数值解。采用某种近似解法，求出渗流场内有限个点上的渗流运动要素值。
（3）图解法。图解法即绘制流网来求解恒定平面渗流问题。
（4）实验法。实验法是按一定的比例将渗流区域缩制成模型来模拟真实的渗流场， 采用实验手段对模型流场加以观测，然后换算到实际流场。
11.8恒定平面渗流的流网解法
11.8.1恒定平面渗流流网解法
∫
s2
s1
k h2 ds = − ∫ hdh q h1
k 2 2 l= (h1 − h2 ) 2q
3.负坡（逆坡）（i < 0)
i′ = i
Q = −kA(i′ +
dh ) ds
′ Q = k A0 i ′
′ h0 dh i′ = −i′ − h ds
dh ′ kbh0i′ = −kbh(i′ + ) ds
同理可得ω y = ω z = 0
ϕ = − kH
∂2H ∂2H ∂2H + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
11.7.4渗流问题解法概述
（1 ）解析法。根据给定的微分方程，结合具体边界条件，用数学方法求解渗流的水头函数H的解析解。
11.7.2渗流的运动方程
r dH u = −k ds
ux = −k ∂H ∂(−kH) = ∂x ∂x ∂H ∂(−kH) uy = −k = ∂y ∂y ∂H ∂(−kH) uz = −k = ∂z ∂z
11.7.3渗流的流速势函数
1 ∂u z ∂u y k ∂2H ∂2H ωx = ( − )=− ( − )=0 2 ∂y ∂z 2 ∂z∂y ∂y∂z
4.5 − h0 = 0.02 × 250 − 4.5 + 2.5 = 3 2.5 − h0
q = kh0i = 0.003 ×195.3 × 0.02 = 1.17 ×10 −2 (cm 2 / s) 经试算h0 = 1.953m
2.平坡（i = 0)
dh Q =− ds kA
k ds = − hdh q
2 n 2 0n
z2 =
Q1 r1 Q2 r2 Q r ln + ln + L + n ln n + C πk r01 πk r02 πk r0 n
11.6土坝渗流
∆s = λH1
m1 λ= 1 + 2m1
11.6.1前段的计算
q H 12 − ( a0 + H 2 ) 2 = k 2l ′
l ′ = λH1 + m1d + b + m2 ( H n − a0 − H 2 )
11.3.1达西试验和达西定律
1852 ~1855年 国 程 达 （ 法 工 师 西 H.Darcy)
Q∝ A hw l
Q = kA
hw = kAJ l
v = kJ
u = v = kJ = −k dH ds
Q=
V t
hw = H1 − H 2
11.3.2达西定律的适用范围
Re = 1 vd10 0.75n + 0.23 ν
将上式对流程 s求导数，则有
dz0 dh dH = + ds ds ds
由于不透水层的坡度i = −
dz0 ds
则J = i−
dh ds
Q = kAJ = kA(i −
dh ) ds
11.4.4渐变渗流浸润线的分析 和计算
1.正坡（i > 0)
Q = kA0i
dh kA0i = kA(i − ) ds
11.4.2无压恒定渐变渗流
J=
H1 − H 2 dH =− ds ds
u = v = −k
dH ds
无压渐变渗流公式是由法国学者杜比（J.Dupuit)1857推出.
渐变渗流的特点：同一 断面上流速分布为矩形 ，而矩形大小沿程变化 。
11.4.3无压渐变渗流的微分方 程
对无压渐变渗流任一断 面可写出H = z0 + h
第11章渗流
11.1概述
多孔介质： 由颗粒状、碎块状材料组成，并含有大量的随机分布的孔隙或裂隙的物质。
流体在孔隙介质中的运动称为渗流。
渗流在国民经济的各个部门都有应用： 如水利、地质、采矿、石油、环境、医学等
水利工程中的渗流问题 ：
1.确定渗流量
2.确定渗流浸润线的位置
3.确定渗流压力
4.确定渗流速度
实验室测定
1×10-4～6×10-4 3×10-4～6×10-4 6×10-4～1×10-3 1×10-3～6×10-3 6×10-3～2×10-2 4×10-2～6×10-2 2×10-2～6×10-2 7×10-2～8×10-2 6×10-2～1×10-1 1×10-1～6×10-1 6×10-1～1×10-1 2×10-2～7×10-2 ＞7×10-2
解：（1）计算单宽渗流量
q = kh0i
由于η 2 =
l=
h0 η −1 (η2 −η1 + ln 2 ) i η1 −1
h2 h ,η1 = 1 , 将其代入上式可写为 h0 h0
il − h2 + h1 = h0 ln
将已知数据代入后得
f (h0 ) = h0 ln
h2 − h0 h1 − h0
z − h0 =
Q r ln 2πkt r0
当r = R时，z = H
Q = 2πkt
( H − h0 ) 2πkts = R R ln ln r0 r0
11.5.3井群
Q1 r1 z −h = ln πk r01
2 1 2 01
Q2 r2 z −h = ln πk r02
2 2 2 02
M
Qn rn z −h = ln πk r0 n
渗流模型
实际渗流
渗流模型必须满足以下条件：
1.对于同一过水断面，Q模型 = Q真实
2.作用模型中某一作用面上的P 型 = P 实 模 真
3.模型中任意体积内所受的T模型 = T真实
这 存 ∆Q = ∆Av = v′∆A′ 样 在
即v = ∆A′ v′ = nv′ ∆A
由 孔 率 <1.0,∴v < v′ 于 隙 n
孔隙率n = 孔隙体积 V′ = 土壤总体积 V
5.土壤的不均匀系数
η=
d60 d10
11.2.3渗流模型
渗流模型：不考虑渗流在土壤孔隙中流动路径的迂廻曲折，只考虑渗流的主要流 不考虑渗流在土壤孔隙中流动路径的迂廻曲折， 不考虑渗流在土壤孔隙中流动路径的迂 并认为全部的渗流空间均被水所充满。 向，并认为全部的渗流空间均被水所充满。