因式分解 方法归纳

式分解最全方法归纳

水散人整理于2015.09

一、因式分解的概念与原则

1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：

（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；

（2）结果最后只留下小括号；

（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；

（）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；

（）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；

（）相同因式的乘积写成幂的形式；

（）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。

3、因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；

（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

二、因式分解的方法

1、提取公因式

公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。

意事项：

（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；

（）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；

（）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。

例1、分解因式： –9a c+3

解：原式=-3c+1)

2、分解因式：–12+4

解：原式=–4–y)

结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

2、公式法

分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

平方2b2b)b

平方b)22b22a b+b+c)22b2+2a b+2c+2ca

方3b3b)2b2b

方和3b3b)2b2b)

项立方和3b333a bc b+)2b22b–bc)

方b)3a b²+3a²b b³b)3a b²-3a²b-b³

次方和–b–b)[–1)+a–2)+…+b–2)+b–1)

次方差+b+b)[–1)-a–2)+…-b–2)+b–1)为奇数)

部分公式的推导：

+a+a)+b)+b)+b)+b))

b b-b+b b)b b)b)b b)b)

b)b b)b)b+b)

b b+b-b b)b b)b)b b)b)

b)b b)b)b+b)

、分解因式：-6

解一：原式=))+8))

+2)+4))+2+4)

解二：-6)–)–4)+8+16–4)

+2)–2)[+4)–)

+2)–2)+2+4)–2+4)

意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。

、分组分解法

多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。

、分解因式： a+bm bn

解：原式=)bm+bn)b b

、分解因式：+b–c–2

解：原式=–2+b)–c–b)–c–b+c)–b–c)

、十字相乘法

（1）形如+b+c的二次三项式，如果有，q=c，且q+n则可把该式分解为+b+c=+p)+q)。

意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ=b24ac，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。

、分解因式：–11x+10

解：原式1)+[1×-5)+3-2)+–2)–5)

-2)-5)

、分解因式：–x–15

解：原式+[–5)+3+3–5)

+3)-5)

、已知为正整数，+3+k能够在整数范围内分解因式，求。

解：–49–8，9，且为正整数

1

9、（州）要是二次三项式+p在整数范围内能进行因式分解，那么整

数的取值可以有（）。

、个、个、个、无数个

解：（–5）–4–4，即

只要能分解为和为的两个数，这样的数有无数组，故选

（）二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化。

++q)+p q=+p)+q)

10、分解因式：x+6

解：原式+[–2)+–3)+–2)–3)–2)–3)

11、分解因式：–3

解：原式+[+–7)+5–7)+5)–7)

（）对齐次多项式+b+cy，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。

12、分解因式：15+7-4

解：原式+4))

13、分解因式：–6+8

解：原式))

（）对次多项式形如+b+c或+b+cy的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。

14、分解因式：–5+3

解：原式–1)–3)+1)–1)–3)

15、分解因式：12–19m–18

解：原式–9n)+2)+3)–3)+2)

、拆项法（包含添项法）

把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。

16、分解因式：–3+4

解一：原式+1–3+3+1)–x+1)–3+1)–1)

+1)–x+1–3+3)+1)–4+4)+1)–2)

解二：原式–3–4)+4+4-3)+4+1)

+1)–4)+4+1)+1)–4+4)+1)–2)

17、分解因式：c+c)+ca c)+b)

解：原式c c-a+a+b)+ca c)+b)

c c)+ca c)+b c+b)+b)

c c)+a)+b+b)c)c+b)c)+b)

18、分解因式：9+x+x

解：原式9–1+x–1+x–1

–1)+x+1)+–1)+1)+–1)

–1)+x+1+x+1+1)-1)+x+1)+2+3)