工程力学第九章
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工程力学-第9章

第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴,当轴的横截面 上仅有扭矩( Mx)作用时,与扭矩相对应的分布内力,其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度,即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法,基 本相同,就是:根据表面变形作出平面假定;由平面假定得到 应变分布,亦即得到变形协调方程;再由变形协调方程与应力 -应变关系得到应力分布,也就是含有待定常数的应力表达式; 最后利用静力方程确定待定常数,从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律,式中G为比例常数,称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d -对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明,横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比,即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能,需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢,采用薄壁圆管或圆筒进行试验, 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布,这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形,所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴,当轴的横截面 上仅有扭矩( Mx)作用时,与扭矩相对应的分布内力,其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度,即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法,基 本相同,就是:根据表面变形作出平面假定;由平面假定得到 应变分布,亦即得到变形协调方程;再由变形协调方程与应力 -应变关系得到应力分布,也就是含有待定常数的应力表达式; 最后利用静力方程确定待定常数,从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律,式中G为比例常数,称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d -对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明,横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比,即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
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扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能,需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢,采用薄壁圆管或圆筒进行试验, 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布,这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形,所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程力学第九章

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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移, 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正,向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度,用θ 表
示。
一般规定,逆时针方向的转角为正,顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁,横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上,计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作,必须使梁具备足够 的强度。也就是说,梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ],即 M max max ≤[σ ] (9.10) Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是, 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料),为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作,应该按拉伸式
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(9.4)
工程力学第九章chapter09精品PPT课件

FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 3) 0x<aF: N=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F;FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解:1)求约束反力:
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN;FE=32kN
2) 截面法求内力
3) AB段: 0x1<4m
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13
工程力学最新版教学课件第9章

B
C
1 DE
2
A
F
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系,可以采用以下方法:
5. 先确定一部分为刚片,连续几次使用二刚片或三刚片规则,逐步扩大到整个体系。如 下图所示,从下往上看,下层是按三刚片规则组成的几何不变的三铰刚架 ABH,上 层两个刚片CDE与EFG和下层(刚片)按三刚片规则组成为几何不变体系。
【解】 首先以地基及杆AB为二刚片,由铰A和链杆1联结,链杆l延长线不通过铰A,组成几何不变 部分。以此部分作为一刚片,杆CD作为另一刚片,用链杆2、3及BC链杆(联结两刚片的链 杆约束,必须是两端分别连接在所研究的两刚片上)连接。三链杆不交于一点也不全平行, 符合两刚片规则,故整个体系是无多余约束的几何不变体系。 思考:是否有其他分析方法? 结论:分析同一体系的几何组成可以采用不同的组成规则;一根链杆可视为一个约束,也可 视为一个刚片。
思考:如何理解“多余约束并非真的是多余”?
9.2 平面几何不变体系的组成规则
9.2.1 二元体概念及二元体规则
规则1(二元体规则):一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连,则组成无多余约束的 几何不变体系。 由两根不共线的链杆连接一个结点的构造,称为二元体(如图中的BAC)。 推论1:在一个体系上增加或减少任意一个二元体,都不会改变原体系的几何组成性质。
1
2
3
4
A
B
图12-13
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系,可以采用以下方法:
2. 从一个刚片(例如地基或铰结三角形等)开始,依次增加二元体,尽量扩大刚片范围, 使体系中的刚片个数尽量少,便于应用规则。以下图为例,将地基视为一个刚片,依 次增加二元体,结点4处有一个二元体,增加在地基上,地基刚片扩大,以此扩充结 点3处二元体,结点2处二元体,结点1处二元体。即体系为几何不变。
工程力学第九章ppt

② 式中:T—横截面上的扭矩,由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩。
Ip A 2dA
单位:mm4,m4。
24
③ 尽管由实心圆截面杆推出,但同样适用于空心圆截面 杆,只是Ip值不同。
对于实心圆截面:
d
I p A 2dA
D
02
2
2
d
O
D
D4
32
0.1D4
25
对于空心圆截面:
l与1
以l 及直径 2
与d1 。d已2 知轴总
长为 ,许l 用切应力为
33
§4 圆轴扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形
由公式
d
dx
T GI p
知:长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl
GI p
34
二、单位扭转角 :
或
d
dx
T GIp
(rad/m)
d
dx
T GI p
① 校核强度:
T max
[ ]
max
W
P
② 设计截面尺寸:W Tmax
P [ ]
W P
实空::1DD63(3 116
4)
③ 计算许可载荷:T W [ ]
max
P
29
例题
30
☆工程上采用空心截面构件:节约材料,重量轻, 结构轻31便。
[例4-2] 某传动轴设计要求转速n = 300 r / min,1为主动轮,输 入功率p1 = 50千瓦,输出功率分别 p2 = 10千瓦及 p3、4 = 20千 瓦。M1=1591.5,m2=318.3,m3=m4=636.6n.m
工程力学第九章扭转PPT课件

.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max,但有 2,max<[ ] = 80MPa,故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是,阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象,在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示,试问为什么它们的断口形式不同?
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂,但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系,故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求:
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
工程力学第九章

(3) 根据剪力方程逐段画剪力图;
(4) 根据弯矩方程逐段画弯矩图。
例9-5 作如图9-13所示梁的剪力图和弯矩图。 已知 AC CD a ,DB 2a 。
解: (1) 求约束力。 Fx 0
FAx 0
F 0 M 0
y A
FAy FB 2qa
m FB 4a q 2a 3a
由
F
y
0 得
ql qx (0 x l ) 2
Q FAy qx
即剪力方程
由
M
O
0 ( O 为截面形心)得
即弯矩方程
x ql qx 2 M ( x) FAy x qx x (0 x l ) 2 2 4
(3) 画剪力图和弯矩图。 Q ql 2 ; 由剪力方程可知,剪力图为一斜直线,在 x 0 处, Q ql 2 ,剪力图如图9-12(d)所示。由图可知, 在 x l 处, 在靠近梁支座的横截面上,有最大剪力,而梁中间横截面上的剪 力为零。且有 ql Qmax 2
§9-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩,一般随横截面的位置而变化。 剪力和弯矩,都可表示为位置坐标x的函数,即 Q f1 ( x) M f 2 ( x) 此二式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了全面了解剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况,可根据 剪力方程和弯矩方程用曲线把它们表示出来。x坐标表示横截 面位置,剪力 Q 值或弯矩 M 值为纵坐标,所得的图形,分别 称为剪力图和弯矩图。 根据剪力图和弯矩图,很容易找出梁内最大剪力和最大弯矩 (包括最大正弯矩和最大负弯矩)所在的横截面及数值,得到 了这些数值之后,可以进行梁的强度分析。
13 9 dM ( x) 2 x a 0 ,得 令 时,有最大弯矩 M max qa , 4 32 dx 1 当 x 2a , M qa 2 2
工程力学(材料力学部分第九章)

Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数,它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 , 2, ;
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆,中柔度杆, 小柔度杆) ;
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P; 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题; 4) P Pcr / nst 。
其中,A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时,
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 (简称为两端固支)
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力, 所以,应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
工程力学第9章(扭转)

解:⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1:
所以BD的直径
d 4.47 102 m
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 T T 180 180 max max AB 0.43o /m GI P GI P 80 109 3.0 105 1012 所以轴的刚度满足要求
TBA 468N m TAC 700N m TCD 350N m Tmax 700N m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得: T1 76.4N m 2-2:
M
x
解得: T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
§9-3
切应力互等定理与剪 切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
各圆周绕轴线相对转动,形状、大小、距离不 变;各纵向线倾斜相同的角度,仍为直线,表面矩 形变为平行四边形。
圆轴扭转横截面上的应力
各圆周绕轴线相对转动,形状、大小、距离不变; 各纵向线倾斜相同的角度,仍为直线,表面矩形变为平 行四边形。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的 横截面,变形后仍为平面,形状、 大小不变,半径仍为直线,两相 邻截面间的距离不变。 ·切应变在横截面上的分布
第九章 工程力学 拉伸与压缩

截面杆,其边长a=60mm,P=10KN,试求AB和BC横截
面上的正应力。
d A
解:
FNAB sin 300 F FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
B
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
FNBC a
F
BC
FNBC ABC
4.8MPa
3
许用应力.强度条件
关于 形后仍然保持为平面, 且仍垂直与轴线,称 为平面假设。
(b) 变形和受力关系
F
A
FN
S ——轴向拉伸或压缩时 横截面上应力计算式
是垂直于横截面的应力-
正应力
轴力为拉力时为拉应力
轴力为压力时为压应力 (可用负号表示)
例题9-3
图示支架,AB杆为圆截面杆,d=30mm,BC杆为正方形
❖ 材料所能承受的应力都是有限度的,超过这一限 度,材料就会发生破坏;
❖ 极限应力:材料所能承受的最大应力; ❖ 工作应力:正常工作时由载荷引起的应力; ❖ 许用应力:为保证构件安全正常工作,应使其工
作应力小于材料的极限应力,因此有必要低于极 限应力若干来确定构件所允许承受的最大应力, 此最大应力称为许用应力,符号[σ]。
第九章 拉伸与压缩
❖轴力 ❖轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 ❖ 许用应力.强度条件 ❖轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 ❖ 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律 ❖材料在拉伸时的力学性能 ❖材料在压缩时的力学性能 ❖应力集中的概念 ❖安全系数和许用应力的确定 ❖简单拉压静不定问题
受力特点:作用在杆件上的外力的作用线或外力合 力的作用线与杆件轴线重合。
σα α pα
τα
5 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析

第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件,当其横截面上仅有 扭矩(Mx)或剪力(FQy 或 FQz)时,与这些内力分量相对应的分布 内力,其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度,即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形,依然借助于平衡、变形协调与物性关系,其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形,在一定的前提下,则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
9-1-1 圆轴扭转变形特征 -反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 9-1-2 变形协调方程 9-1-3 物性关系-剪切胡克定律 9-1-4 静力学方程 9-1-5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9-8 例 9-2 图
解: 1.各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 =14 kw , P 2 = P3 =P 1 /2=7 kw 转速分别为 n1 = 120 r/min
n 3=n1 ×
据此,算得各轴承受的扭矩:
z1 36 =120 × r/min =360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2.计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
《工程力学》课件——第九章 弯曲应力1

第9章弯曲应力
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施
F Fa F F A
C D B
横力弯曲:既有弯矩又有剪力。
如AC 段和DB 段
纯弯曲:只有弯矩,没有剪力。
如CD 段
实验现象: 1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线,且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线,且仍与弯曲了的纵向线正交,但两条横向线间相对转动了一个角度。
变形前原本为平面的横截面变形后仍保持为平面。
且仍垂直于变形后的轴线,只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
必有一层变形前后长度不变的纤维
中性层:梁内一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此层纤维称为中性层。
(阴影面)
中性轴:中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴与纵向对称面垂直。
•具有纵向对称面
•外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
对称弯曲 纵向对称面
将梁的轴线取为 x 轴,
横截面的对称轴取为 y 轴,(向下为正) 中性轴取为 z 轴。
z
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施。
工程力学第9章圆轴的扭转

τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上, 在相互垂直的两个面上,切 应力总是成对出现,并且大小相 应力总是成对出现,并且大小相 等,方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系:由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1)实验: 实验:
2)观察变形规律: 观察变形规律:
圆周线——形状、大小、间距不变,各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变, 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度,小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度,小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设:变形前的横截面,变形后仍为平面, 扭转平面假设 变形前的横截面,变形后仍为平面,且形状 、大 小 以及间距不变,半径仍为直线。 以及间距不变,半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取: d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论: 结论:
横截面上
工程力学第九章

I p 32
D4 d4
D4 (14 ) ( d )
32
D
W p I R pD 1 4 D d 6 41 D 3(6 1 4)
三、薄壁圆截面
IpA2 d A R 0 2A d A 2R 0 3
WpR Ip0 2R R0032R02
T T 92
2R02 2A0
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
侧面上的剪力为dydz
由于剪切变形,右侧 面向下错动的距离为
dx。假设切应力 有一增
d 量 ,切应变的相
应 d增量为 ,
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dyddzdx
在应力从零开场逐渐增加的过程中,
右侧面上剪力 dydz共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
应力分布 工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料, 构造轻便,应用广泛。
R 0 不宜过大,否那么容易产生扭转的局部失稳〔褶 皱现象〕
为减缓应力集中,对阶梯轴,在粗细交接处,应配置 适当的过渡圆角.
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
扭转变形的标志为扭转角, 由公式 d T 97
约束扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲受到限制,相邻 截面的翘曲程度不同,纵向纤维长度改变,横截面上 既有切应力也有正应力。
约束扭转的实体杆件:正应力很小,与自由扭转差异不大。
约束扭转的薄壁杆件:正应力相当大。
2.自由扭转时横截面上应力分布特点
〔1〕横截面上边缘各点的切应力与截面边界相切。 〔2〕横截面上凸角处的切应力与等于零。
三、 矩形截面轴的自由扭转
1〕边缘各点的切应力与周边 相切,形成剪力流。
D4 d4
D4 (14 ) ( d )
32
D
W p I R pD 1 4 D d 6 41 D 3(6 1 4)
三、薄壁圆截面
IpA2 d A R 0 2A d A 2R 0 3
WpR Ip0 2R R0032R02
T T 92
2R02 2A0
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
侧面上的剪力为dydz
由于剪切变形,右侧 面向下错动的距离为
dx。假设切应力 有一增
d 量 ,切应变的相
应 d增量为 ,
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dyddzdx
在应力从零开场逐渐增加的过程中,
右侧面上剪力 dydz共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
应力分布 工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料, 构造轻便,应用广泛。
R 0 不宜过大,否那么容易产生扭转的局部失稳〔褶 皱现象〕
为减缓应力集中,对阶梯轴,在粗细交接处,应配置 适当的过渡圆角.
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
扭转变形的标志为扭转角, 由公式 d T 97
约束扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲受到限制,相邻 截面的翘曲程度不同,纵向纤维长度改变,横截面上 既有切应力也有正应力。
约束扭转的实体杆件:正应力很小,与自由扭转差异不大。
约束扭转的薄壁杆件:正应力相当大。
2.自由扭转时横截面上应力分布特点
〔1〕横截面上边缘各点的切应力与截面边界相切。 〔2〕横截面上凸角处的切应力与等于零。
三、 矩形截面轴的自由扭转
1〕边缘各点的切应力与周边 相切,形成剪力流。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算

由结果知,梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁:
矩形截面剪应力计算公式: τ沿截面高度按抛物线规律变化:
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解:(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm, h1=3cm,q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解:1.求剪力:QA=3kN
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9.1.3
应力状态的分类
围绕一点所取单元体的方向不同时,单元体各
面上的应力也不同。可以证明,对于受力构件 内任一点,总可以找到三个互相垂直的平面, 在这些面上只有正应力而没有切应力,这些切 应力为零的平面称为主平面。作用在主平面上 的正应力称为主应力。三个主应力分别用σ1、 σ2、σ3表示,并按代数值大小排序,即 σ1≥σ2≥σ3。围绕一点按三个主平面取出的单元 体称为主单元体。
为了研究一点处的应力状态,可围绕该点截
取一微小的正六面体,称为单元体。由于单 元体各边边长均为无穷小,故可以认为单元 体各面上的应力是均匀分布的,并且每对互 相平行的平面上的应力大小相等,方向相反。 如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的 应力,其他任意截面上的应力都可以通过截 面法求得,则该点处的应力状态就可以确定 了。因此,可用单元体的三个互相垂直平面 上的应力来表示一点处的应力状态。
大量观察与研究表明,尽管强度失效现象比
较复杂,但强度失效的形式可以归纳为两种 类型:一种是脆性断裂;另一种是塑性屈服。 强度理论认为,不论材料处于何种应力状态, 只要强度失效的类型相同,材料的强度失效 就是由同一因素引起的。这样就可以将复杂 应力状态和简单应力状态联系起来,利用轴 向拉伸(压缩)的试验结果,建立复杂应力状 态下的强度条件。 根据材料强度失效的两种形式,强度理论可 分为两类:一类是关于脆性断裂的强度理论; 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
9.3.2
广义胡克定律
单元体在σ1、σ2和σ3三个主应力方向的线应
变称为主应变,用ε1、ε2、ε3表示。当 应力未超过材料的比例极限时
此式称为广义胡克定律。式中μ、E分别为材
料的泊松比和弹性模量。
9.4
强度理论
9.4.1 强度理论的概念
强度理论的提出,是为了解决构件在复杂应力状
态下的强度计算问题。 长期以来,人们不断地观察材料强度失效的现象, 研究影响强度失效的因素,根据积累的资料与经 验,假定某一因素或某几种因素是材料强度失效 的原因,提出了一些关于材料强度失效的假说, 这些假说以及基于假说所建立的强度计算准则, 称为强度理论。
第9章
应力状态分析和强度理论
9.1
应力状态的概念
9.1.1 一点处的应力状态
一般而言,受力构件内不同截面上的应力分
布不同;同一截面上不同点的应力不同;同 一点不同方位截面的应力不同。受力构件内 一点处各个不同方位截面上应力的大小和方 向情况,称为一点处的应力状态。
9.1.2
应力状态的表示方法
9.4.2
常用的四种强度理论
9.4.2.1 最大拉应力理论(第一强度理论)
该理论认为,引起材料脆性断裂的主要因素是
最大拉应力。
9.4.2.2 最大拉应变理论(第二强度理论)
该理论认为,引起材料脆性断裂的主要因素是
最大拉应变。
9.4.2.3 最大切应力理论(第三强度理论)
该理论认为,引起材料塑性屈服的主要因素是
如果某点主单元体上的三个主应力均不为零,
就称这点的应力状态为三向或空间应力状态; 如果有两个主应力不为零,则称为二向或平 面应力状态;如果只有一个主应力不为零, 则称为单向或简单应力状态。前两种应力状 态也统称为复杂应力状态。
9.2
ห้องสมุดไป่ตู้平面应力状态分析
9.2.1 斜截面上的应力
平面应力状态下任意斜截面上应力的计算公
式
9.2.2 主平面方位及主应力值
正应力为极值的平面,就是切应力等于零的
平面,即主平面。 主应力的值为
9.3
最大切应力和广义胡克定律
9.3.1 最大切应力
经理论分析证明,不管何种应力状态,最大
切应力的值为
其作用面与第一(σ1)和第三(σ3)主平面均成
45°夹角,并与第二(σ2)主平面垂直。
9.4.3
强度理论的选用原则
9.4.3.1 强度条件的统一形式
式中,σr称为相当应力,它由三个主应力按
一定的方式组合而成。对于上述四个强度理 论,其相当应力分别为
9.4.3.2
强度理论的选用原则
在常温、静载条件下,脆性材料多发生脆性断
裂,宜采用最大拉应力理论或最大拉应变理论; 塑性材料多发生塑性屈服,宜采用最大切应力 理论或形状改变比能理论。但材料的强度失效 形式,不仅取决于材料的性质,而且与其所处 的应力状态、温度和加载速度等都有一定关系。 试验表明,塑性材料在一定的条件下(如低温 或三向拉伸时),也会表现出脆性断裂。此时 也应该选用最大拉应力理论或最大拉应变理论; 脆性材料在一定的应力状态(如三向压缩)下, 也会表现出塑性屈服,此时应选用最大切应力 理论或形状改变比能理论。
最大切应力。
9.4.2.4形状改变比能理论(第四强度理论)
构件在变形过程中,假定外力所做的功全
部转化为构件的弹性变形能。单元体的变 形能包括体积改变能和形状改变能两部分。 对应于单元体的形状改变而积蓄的变形能 称为形状改变能,单位体积内的形状改变 能称为形状改变比能。 该理论认为,引起材料塑性屈服的主要因 素是形状改变比能。