多元函数积分学期末复习(考点)

y
g y 2 ( x)
f (x, y)dxdy
b
dx
2(x) f (x,
y)dy
a
1 ( x)
D
D
g y 1( x)
.定限步骤：
oa
b
x
(1) 确定积分区域D在x轴上的投影[a , b]
(2)过任一x∈[ a , b ],作垂直于 x轴的直线 穿过D的内部
从D的下边界曲线 y 1( x) 穿入 —内层积分的下限 从D的上边界曲线 y 2( x) 穿出 —内层积分的上限
D
y)d
lim
0
i 1
f
(i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
顶 : z f ( x, y) 底 : D
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
性质：线性性质； 可加性； D dxdy; 单调性； D
估值性质：若 m f ( x, y) M , 则 m D f ( x, y)d M D . D
1
dx
1
1 x2
dy
1 x2
2 x2
x22 y2 f ( x, y, z)dz.
x2 y2 1
2．利用柱面坐标计算
f (x, y, z)dxdydz
d
2( ) rdr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z) dz
1( )
z1(r , )
计算方法： 三重积分的投影方法结合二重积分的极坐 标运算
1、二重积分的概念、性质、及其几何意义
2、计算： 熟练掌握二重积分的计算
直角坐标系中
x y
型区域 型区域
选择适当的积分次序
在极坐标系中：一种积分次序 先r后
3、三重积分的概念及计算：直 柱角 面坐 坐标 标系 系中 中 只需掌握坐标面投影法
一、二重积分的概念和性质
n
1．定义 ：
f (x,
例.计算I
(x y
x2 y2 )dxdy
0
x2 y2 1
1 y2
,
解： I D
x dxdy
D
y x2 y2 1 y2 dxdy
关于x为奇函数，
D关于y轴对称，
关于y为奇函数，
D关于x轴对称，
例、设 f (u)是连续函数，区域 D : 1 x 1, 2 y 2，
D1 : 0 x 1,0 y 2，则 I f ( x2 y2 )dxdy与 D
1
1
A． dx
f ( x, y)dy B． dx f ( x, y)xdy
0
0
0
0
1
1
C． dx f ( x, y)dy
0
0
1
x x2
D． dx
f ( x, y)dy
0
0
5. 其它
例、计算I x2 y2 4 dxdy ，其中 D ： x2 y2 9
D
分析 由于被积函数中含有绝对值, 所以应首先
例2. 计算三重积分
其中为由
柱面 x2 y2 2x ( y 0)及平面 z 0, z a (a 0), y 0
z
所围 成半圆柱体.
a
解: Dxy： x2 y2 2x,
a
原式 D rdrd 0 z r d z
2
d 0
2cos
r2 dr
0
a
zdz
0
4a2
2 cos3 d
32 x2 y2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
柱面坐标系：
2
1
3r2 (1cos2 )
I d dr
f (r cos , r sin , z)rdz
0
0
r 2 (1sin2 )
四、几何应用
1、 体积
（1）以曲面 z f (x, y)为顶、平面区域D为底的直
D
D
5、设区域 ( x, y, z) x 1, y 1, z 1 ，则下列不等式正
确的是（ ）
A. xdv 0
B. ( x y)dv 0
C. ( x y z)dv 0 D. ( x y z 3)dv 0
二、二重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
（1）X-型区域：
柱体的体积为 V f ( x, y)dxdy. D
若立体是由曲面 z 2 (x, y)与 z 1(x, y)所围成，立体 在 xoy面上的投影区域为D，且2 (x, y) 1(x, y)，则
V [2 (x, y) 1(x, y)]dxdy D
f ( x, y)dxdy
A
。
积分中值定理
4、设D {(x, y) x 0, y 0, x y 1}，则（ ）。
A. (x y)2d (x y)3d
D
D
B. (x y)2d (x y)3d
D
D
C. (x y)2d (x y)3d D. 无法确定这两个积分的大小
n 1
|1y
dy
o
1
对积分变量
x来说是常数
x
1 1 f ( y)(1 y)n1dy 右边 n 1 0
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
z
“坐标面投影”法
f ( x, y, z)dxdydz
dxdy z2( x, y) f ( x, y, z)dz
D
z1( x, y)
o
定限步骤：
围成
D
解
原式＝
dy
y sin y2dx
0
0
yx
sin y2 ydy 1 0
x
例、计算 sin xdxdy , 其中 D 由 y x2 , y x所围. y Dx
解：I
1
dx
0
x sin x
1 sin x
dy
x x2
0x
y
x x2
dx
1
0 (1 x)sin xdx 1 sin1
步骤：
(1) 投影 求积分域 在xOy 面上的投影区域 Dxy;
(2) 定限 (穿越法)
z z2 S2
过点 ( x, y) D 作垂直于Dxy的直线,
从曲面 z z1( x, y) 穿入，
O
z1 S1
y
从曲面z z2( x, y) 穿出．
x
Dxy (x, y)
f (x, y, z)dv
I1 f ( x2 y2 )dxdy的关系为 I 4I1 D1
4. 极坐标系下二重积分的定限
例 . 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
y
1）
2
x2 y2 4
D
2）
2
2
x2 y2 4
D
o 12x
o
2x
2
2
0
d 0
f (r cos ,
y
r sin ) r dr.
A 2 3
则f ( x, y) 1 ( x2 y2 2),
3
例、设函数f ( x)在[0,1]上连续，
证明：1dx
x
(x
y)n2
f
(
y)dy
1
1
(1
y)n1
f
(
y)dy
0
0
n1 0
证明：左边交换积分次序
y
yx
左边
1
dy
1
(x
y)n2
f
( y)dx
1
0
y
1 0
f
(x y)n1 ( y)
[
z2(
x,
y)
f
(
x,
y,
z
)
d
z
]d
x
d
y
Dxy z1( x, y)
例. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
解: x d x d y d z
＝
1 x2 y
(
xdz)dxdy
0
Dxy
1x2 y
0 d z
z 1
1 2
y x1
o
y x2 yx
x
2. 交换积分顺序 根据给出的积分上下限定出积分区域
例、计算
1
dy
1
sin x3dx
0
y
y
x y
解：先确定积分区域
0 y 1
D:
y x 1
原
1
dx
x2 sin x3dy
0
0
1•
•
o
x
x 1
1
sin
x3
0
x2dx
1 3
[cos
x3
]10
1 (1 cos1) 3
3. 利用对称性简化计算
f
(
x )d
y
其中：D由x2 y2 4x, x2 y2 8x, x y, y 2x围成
D
f
(
x y
)d
arctan 2
d
4
8cos 4cos
f (cos )rdr sin
o
y
y 2x yx
x
cos
例． 2 d
f (r cos , r sin )rdr （
0
0
）。
1
y y2
y
（2）Y-型区域：
d
f ( x, y)dxdy
d
dy
2( y) f ( x,
y)dx.
D
c
1( y)
x 1( y)
c
D
o
x 2( y)
x
2．利用极坐标计算
f ( x, y)dxdy
D
d
2( ) f (r cos , r sin ) r dr
1( )
D r 2 ( )
r 1( )
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
例、化 I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分，其
中由曲面z x2 2 y2及z 2 x2围成.
解: 1º投影 z x2 2y2 z 2 x2
消去z x2 y2 1
得在 xOy 面上的投影区域 D： x2 y2 1.
x
z z2( x, y)
z z1( x, y)
y
( xD, y)
(1) 确定 在xoy面上的投影区域D
(2) ( x, y) D作垂直于 xoy面的直线，从曲面 z z1( x, y) 穿入， 从曲面 z z2 ( x, y) 穿出，
三、三重积分的计算方法（坐标面投影法）
1．利用直角坐标计算
2
例、设f ( x, y) 1 ( x2 y2 f ( x, y)dxdy), ，
D
D : y 1 x2及y 0围成,求 f ( x, y)。
解： 设 f ( x, y)dxdy A, D
则：
A
1
D
x2 y2dxdy 1 Adxdy
D
1
d
1 r 2dr A
0
0
2
1 A 32
2 、 设 D : x2 y2 4 的 第 一 象 限 部 分 ， 估 计
(4 x2 4 y2 1)dxdy的值在（ ）之间。 D
A. 1,17 B. 0,16 C. 0,16 D. ,17
3、设 f ( x, y)是连续函数，且 f (0,0) A，
则
lim
t 0
1
t
2
x2 y2t2
ห้องสมุดไป่ตู้
o
定限步骤： (1) 确定D夹在哪两条射线之间，定出 [ , ] (2) ( , ), 过极点作一极角为 的射线
从D的边界曲线r 1( ) 穿入, 从 r 2 ( ) 穿出
常见计算类型
1. 选择积分顺序 原则：①能积分，②少分块
例、计算
sin
y2dxdy,
其中D由y
x、x
0、y
y
8 a2
30
9
o y
2 x x2 y2 2x ( y 0)
y
r 2cos
D
O
x
例、设是由曲面 z x2 2y2及 z 3 2x2 y2所
围成的有界闭区域。试将 f (x, y, z)dv分别化成
直角坐标与柱面坐标下的三次积分。
解： D : x2 y2 1
直角坐标系：
1
1 x2
中值定理： 设函数 f ( x, y) 在闭区域 D上连续,
则至少存在一点 ( , ) D , 使得 f ( x, y)d f ( , ) D . D
1、二重积分 f ( x, y)dxdy的值与（ ） D
A. 函数 f 及变量 x、y有关
B. 函数 f 及区域 D 有关，与 x、y无关。
要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用
I f ( x, y)dxdy
D
（1）若D关于 x 轴对称，则
当f ( x , y )关于 y 为奇函数，I 0
当f ( x , y )关于 y 为偶函数， I 2 f ( x, y)dxdy D1
（2）若D关于 y 轴对称，则
当f ( x , y )关于 x 为奇函数，I 0
2º定限
下顶： z x2 2 y2 ( 或由(0,0)点处函数值的大小确定) 上顶：z 2 x2
2º定限
下顶： z x2 2 y2
上顶：z 2 x2
I f ( x, y, z)dxdydz
y
2 x2
dxdy f ( x, y, z)dz
D
x22 y2
D
–1
O 1x
3）
4
2
2
2
0 d 1 f (r cos , r sin ) r dr.
y
x2 y2 4x
x2 y2 4y
D
4）
o
D 4x
o
x
4 sin
0 d 0 f (r cos , r sin ) r dr
2
4 cos
d f (r cos , r sin ) r dr
2
0
例、化成极坐标系下的二次积分： D
y
在给定的积分区域内,求出 x2 y2 4 D2
的解析表达式，即去掉绝对值。
x2 y2 4 dxdy
D
D1
D2
D1
2 3x
(4 x2 y2 )dxdy ( x2 y2 4)dxdy
D1
D2
2
d
2 (4 r 2 ) rdr
2
d
3
(r
2
4)
rdr
0
0
0
2
41
多元函数积分学
一、 二重积分 f ( x, y)d D
二、三重积分 f ( x, y, z)dv L f ( x, y)ds
三、曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
四、曲面积分
P
(
x
,
y,
z
)dydz
Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)d x d y
第十章：重积分