福建省福州八中2020—2021学年第一学期期末考试高一数学(word版,无答案)
福建省2021-2022学年高一数学上学期期末模拟试卷汇编(含解析)
福建省高一数学上册期末模拟试卷（含答案）考试日期: 年 月 日 完卷时间：120分钟 满分：150分参考公式： 锥体体积公式：13V Sh =；球的体积公式：343V R π=；圆锥侧面积公式：S rl π=；球的表面积公式：24S R π=***** 祝 考 试 顺 利 *****第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项选是符合题意要求的）（1）设{3,}M a =，{1,2}N =，{}2=N M ,=N M （ ）（A ）{}2,1 （B ）{}3,1 （C ）{1,2,3} （D ）{1,2,3,}a （2）经过点),2(m P -和)4,(m Q 两点的直线与直线012=--y x l ：平行，则实数m 的值是（ ）（A ）2（B ）10 （C ）0 （D ）-8（3）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线．．与笔所在的直．线．（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）垂直（4）直线1l 与直线0122=+-y x l ：的交点在x 轴上，且21l l ⊥，则直线1l 在y 轴上的截距是（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 （5）设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ） （A ）,//m n m n αα⊥⇒⊥ （B ）,//m n m n αα⊥⊥⇒（C ）//,////m n m n αα⇒ （D ）//,m n m n αα⊥⇒⊥（6）已知直线0=-+m y x l ：与圆4)1()1(22=++-y x C ：交于A ，B 两点，若AB C ∆ 为直角三角形，则=m （ ）（A ）2 （B ）2± （C ）22 （D ）22± （7）已知奇函数)(x f 在R上是减函数，若)51(log 2f a -=，)6(log 2f b =，（A ）c b a << （B ） c a b << （C ）a b c << （D ）b a c <<（8）已知直线l 的方程为：0123)2(=++++m y x m ，圆622=+y x C ：，则直线l 与圆C 的位置关系一定是（ ）（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 （9）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）（A ）π6 （B ）π7 （C ）π12 （D ）π14（10）如图,在三棱柱111C B A ABC -中,底面ABC 是等边三角形,1AA ⊥底面ABC ,且1,21==AA AB ，则直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为（ ）（A ）515 （B ） 510 （C ） 552 （D ） 55 （11）已知函数()()log 21x a f x b =+-()0,1a a >≠的图象如图所示，则,a b 满足的关系是（ ） （A ）1101b a --<<< （B ）101b a -<<< （C ）101b a -<<< （D ）101a b -<<<（12）已知圆C ：9)2()3(22=++-y x ，点)0,2(-A ，)2,0(B ，设点P 是圆C 上一个动点，定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”，记作2D ，令（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）16第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置）13. 已知函数(),03,0xlnx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 ． 14．在如图所示的长方体1111D D C B A ABC -中，已知1B (1,0,3)，D (0,2,0)，则点1C 的坐标为_________________．15.长度为4的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,则线段AB 的中点的轨迹方程为 ________________________16.一个半径为2的实心木球加工（进行切割）成一个圆柱，那么加工后的圆柱侧面积．．．的最大值为____________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知1CC ⊥底面ABC ，AC⊥BC,四边形BB 1C 1C 为正方形。
福建省福州市第八中学高一数学上学期期末考试试题
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试高一数学 必修2考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.1.18A 卷（满分：100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确） 1、直线2x+y-2=0在x 轴上的截距为 A ．1-B ．-2C ．1D ．22、若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积的数值．．是它的体积的数值．．的12，则该圆锥的底面半径为AB ．C ．D ． 3、已知在空间坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -关于平面xOz 对称的点的坐标为 A ．(1,2,3) B ．(1,2,3)-- C ．(1,2,3)-- D ．(1,2,3)---4、过点P-且倾斜角为135°的直线方程为A ．3y x +=B ．y x =C ．x y +=D ．0x y ++=5、已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；②若m n ααβ=∥，，则m n ∥；③若m α⊥，αβ⊥，n β⊂，则m n ∥； ④若m α⊥，αβ∥，则m β⊥.其中正确命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．36、已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为 A ．12B ．1C ．2D ．47、空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、中点，若22,CD AB EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8、若直线l 经过点(2,1)a --和(2,1)a --，且与直线2x+3y+1=0垂直，则实数a 的值为A ．23-B ．32-C ．23D ．329、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且① 1AA MN ⊥；② 11//A C MN ；③MN//平面A 1B 1C 1D 1；④ 11B D MN ⊥中，正确命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．410、圆2220x y ax +++=过点)1,3(A ，则yx的取值范围是 A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞+∞C ．()()1,00,1-D ．[)(]1,00,1-二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填在横线上） 11、直线l 与直线3x ﹣y+2=0关于y 轴对称，则直线l 的方程为 ．12、在的等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=a ，且AD⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B ﹣AD ﹣C 后，2BC =，这时二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为 ．13、已知两圆的方程分别为2240x y x +-=和2240x y y +-=公共弦所在直线方程是__________.14、将边长为1正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下三个结论：(1)AC BD ⊥；(2)ACD ∆是等腰直角三角形；(3)四面体A BCD -的表面积为1；(4)直线AC 与平面BCD 所成角为60°.则正确结论的序号为 ． 三、解答题：（本大题有3个小题，共30分.请书写完整的解答过程）15、（本小题10分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A(-1，5)、B(-2，-1)、C(4，3)，M 是BC 边上的中点. （I ）求中线AM 的直线方程；（II ）求AB 边上的高所在的直线方程.16、（本小题10分）已知圆C ：04222=+--+m y x y x . （I ）求m 的取值范围；（II ）当m=-11时，若圆C 与直线04=-+ay x 交于M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求a 的值.17、（本小题10分）如图，已知F A ⊥平面CD AB ，四边形F ABE 为矩形，四边形CD AB 为直角梯形，D 90∠AB =，//CD AB ，D F CD 2A =A ==，4AB =．（I ）求证：F//A 平面C B E ； （II ）求证：C A ⊥平面C B E ；B 卷（满分：50分）一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确） 18、如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，该三棱锥的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ，则12:V VA ．B ．C ．4D ．219、若点()n m ,在直线430x y --=上,则22n m+的最小值是（ ） A ．2B ．22C ．4D ．1220、设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点00(,)P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使060OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是A ．1[,1]2-B ．[0,1]C ．6[0,]5D ．13[,]22二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分.请将正确的答案填在横线上）21、若直线m 被两平行线1:10l x +=与2:30l x +=所截得的线段的长为1，则直线m 的倾斜角的大小为 .22、如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个命题中正确是__________．（填序号即可）①||BM 是定值；②总有1CA ⊥平面1A DE 成立；③存在某个位置，使1DE A C ⊥；④存在某个位置，使MB //平面1A DE .三、解答题：（本大题有2个小题，共25分.请书写完整的解答过程） 23、（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，以AC 为直径的球面交PD 于M 点． （I ）求证：面ABM ⊥面PCD ； （II ）求点D 到平面ACM 的距离．24、（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴右侧，且与直线20x +=相切. （I ）求圆C 的方程；（II ）在圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B 且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.福州八中2016—2017学年第一学期期末考试 高一数学 必修2 试卷参考答案及评分标准A 卷（满分：100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确） 1、C 2、D 3、B 4、D 5、C 6、C 7、A 8、A 9、B10、A二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填在横线上） 11、3x+y ﹣2=0. 12、60° 13、x-y=0 14、（1）（3）三、解答题：（本大题有3个小题，共30分.请书写完整的解答过程） 15. （本小题10分）【解析】（I ）)231,242(+-+-M ，即)1,1(M ， ∴中线AM 的直线方程为:111151---=--x y ，……4分 即032=-+y x (或32+-=x y )………………5分 （II ）直线AB 的斜率6)2(1)1(5=-----=AB k ，∴直线AB 边的高所在的直线方程为:)4(613--=-x y ，………………9分即0226=-+y x (或1161+-=x y )……………………10分 16. （本小题10分）【解析】（I ）由04164422>-+=-+m F E D ， ∴5<m ……4分（II ）∵m=-11，，∴()()221216x y -+-=， 圆心C ：)2,1(，半径4r = ………………8分 ∵ 120MCN ∠=︒ ∴2rd =2=解得，512a =…………10分 17. （本小题10分）【解析】（I ）因为四边形ABEF 为矩形， 所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ．…………4分（每少一个条件扣１分）E（II ）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC 所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…………6分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，…8分 又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂所以⊥AC 平面BCE ．…………10分B 卷（满分：50分）一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确） 18、A 19、A 20、C二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分.请将正确的答案填在横线上） 21、120︒ 22、①④三、解答题：（本大题有2个小题，共25分.请书写完整的解答过程）23. （本小题12分）【解析】（I ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA AB ⊥，………………2分 又∵AB AD ⊥，PAAD A =，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，由题意得90BMD ∠=︒，∴PD BM ⊥，…………4分 又∵ABBM B =，∴PD ⊥平面ABM ，又PD ⊂平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD ．…………6分（每少一个条件扣１分） （II ）根据题意，12AMC S AM CM ∆=⋅=142ADC S AD CD ∆=⋅=，……8分 设h 为D 到面ACM 的距离，则 由M ACD D ACM V V --=，即114233⨯⨯=⨯，………………10分 得h ==D 到面ACM ……12分 24. （本小题13分）【解析】（I ）设圆心是()()00,00x x >，它到直线20x +=的距离是2d ==，解得02x =或06x =-(舍去)，………………3分所以所求圆C 的方程是()()22240x y x -+=≠.………………5分（没扣除0扣1分） （II ）存在，理由如下：因为点(),M m n 在圆C 上，所以()2224m n -+=，()222424n m m m =--=-且04m <≤.………………6分又因为原点到直线:1l mx ny +=的距离1h ==<，解得144m <≤，………………7分 而AB =所以2412OABS AB h h ∆==-==10分 因为111164m ≤<，所以当1142m =，即12m =时，OAB S ∆取得最大值12，……11分此时点M 的坐标是12⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭，OAB ∆的面积的最大值是12.……13分。
福州市2020-2021学年高一数学期末试卷答案
福州市2020—2021年第二学期质量检查数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．A 3．A 4．D 5．B6．B7．C8．C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．BCD10．BD11．CD12．AB三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．814．20π 15．13；5239,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或1252392525+e e 16．0.84612.【解答】因为()2c b a b bc =+>，所以c b >，故A 正确；由余弦定理得，2222cos 2222a c b a ab a b cB ac ac c b+-++====，所以2cos c b B =， 由正弦定理得，sin sin c C b B =，所以sin cos 2sin C B B=，即sin 2sin cos C B B =，所以sin sin 2C B =，所以2C B =或2C B +=π，因为A B C ++=π，若2C B +=π，可得A B =，所以a b =， 又()2c b a b =+，所以222c a b =+，此时2C π=，4A B π==，满足2C B =，故B 正确；当4A B π==，2C π=时，a c <，故C 错误；由B 选项可知2C B =，故)2)0A B C B B =π-(+=π-(+>，即3B π<，故D 错误. 15.【解答】因为()2,7=-a ，()4,3=b ，所以13⋅=a b ，向量a 在向量b 上的投影向量为5239,2525⋅⎛⎫⋅⋅= ⎪⋅⎝⎭a b b a a b b . 16.【解答】将A ，B ，C 型电子元件分别接入3号位，1号位，2号位，或者将A ，B ，C 型电子元件分别接入3号位，2号位，1号位时，该电路子模块能正常工作的概率最大，记事件E =“A 元件正常工作”，事件F =“B 元件正常工作”，记事件G =“C 元件正常工作”， 记事件H = “电路子模块能正常工作”，则()()[1()()]P H P E P F P G =-=0.9[1(10.8)(10.7)]0.846⨯--⨯-=.四、解答题：本大题共6小题，共70分．17. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查空间想象能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性. 【解答】（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD . ························································· 2分因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又AB AD ⊥，而AB BC B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC . ·················································· 4分又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.················································· 5分（2）存在点G ，满足2DG GB =时，使得平面EFG平面ABC . ················· 6分理由如下：在平面ABD 内，因为2DE EA =，2DG GB =，即DG DEGB EA=， 所以EGAB . ················································································· 7分 又因为EG ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EG 平面ABC ，同理可得FG平面ABC . ··································································· 9分BDC又EG FG G =，EG ⊂平面EFG ，又FG ⊂平面EFG ，故平面EFG 平面ABC .故存在点G ，满足2DG GB =时，使得平面EFG平面ABC . ···················· 10分18. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性.【解答】解法一：（1）由221sin cos ,5sin cos 1,αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩联立可得225sin 5sin 120αα--=， ······················································ 1分 解得4sin 5α=或3sin 5α=-， ······························································· 3分 又()0,α∈π，sin 0α>，故3sin 5α=-不合题意，舍去. ······························· 4分13cos sin 55αα=-=-, ········································································ 5分 于是4tan 3α=-. ··············································································· 6分（2）由sin β=0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos β=， ······························· 7分 所以()43sin sin cos cos sin 5105102αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. ············· 9分 又因为()0,α∈π，3cos 05α=-<，所以,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以3,22αβππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ······· ··································································································· 10分 所以34αβπ+=. ·············································································· 12分 解法二：（1）由1sin cos 5αα+=，可知21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=， 所以12sin cos 25αα=- ········································································ 2分 即222sin cos tan 1225sin cos tan 1αααααα==-++ ······················································· 3分解得4tan 3α=-或3tan 4α=-. ······························································ 4分又()0,α∈π，则sin 0α>，当4tan 3α=-时，4sin 5α=，3cos 5α=-，符合题意.当3tan 4α=-时，3sin 5α=，4cos 5α=-，不合题意，舍去. ························· 5分终上所述，4tan 3α=-. ······································································· 6分（2）同解法一. ··············································································· 12分 19. 【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、应用性. 【解答】解法一：（1）由频率分布直方图可得，()0.0050.02520.01101a +⨯++⨯=，解得0.035a =. ··································· 2分 样本数据的平均数为：500.05600.25700.35800.25900.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ···································································································· 5分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在[)75,85，[]85,95内的频率分别为0.25，0.1，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在[)75,85内的有5人，成绩在[]85,95的有2人. ············································································· 7分 从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件A =“2人中至少有1人成绩在[]85,95内”， 事件1A =“2人中恰有1人成绩在[]85,95内”， 事件2A =“2人成绩都在[]85,95内”，则12A A A = .因为1A 与2A 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得()()()12P A P A P A =+.将成绩在[)75,85内的5个人分别记为12345,,,,B B B B B ，将成绩在[]85,95内2个人分别记为12,C C ，设从这7人中第一次抽取的人记为1x ，第二次抽取的人记为2x ，则可用数组12(,)x x 表示样本点.可知样本空间{}121314151112(,),(,),(,),(,),(,),...,(,)B B B B B B B B B C C C Ω=，{}1111221223125(,),(,),(,),(,),(,),...,(,)A B C B C B C B C B C C B =，{}21221(,),(,)A C C C C =，因为样本空间包含的样本点个数为()42n Ω=， ········································ 8分 且每个样本点都是等可能的，又因为()120n A =，()22n A =， ···················· 10分 由古典概型公式可得()20211424221P A =+=. ·············································· 12分 解法二：（1）同解法一 ······································································· 5分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在[)75,85，[]85,95内的频率分别为0.25，0.1，所以采用分成抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在[)75,85内的有5人，成绩在[]85,95的有2人. ············································································· 7分 从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件A =“2人中至少有1人成绩在[]85,95内”， 事件1A =“2人中恰有1人成绩在[]85,95内”， 事件2A =“2人成绩都在[]85,95内”，则12A A A = .因为1A 与2A 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得()()()12P A P A P A =+.将成绩在[)75,85内的5个人分别记为1,2,3,4,5，将成绩在[]85,95内2个人分别记为6,7，设从这7人中抽取的2个人记为1x ，2x ，不妨设12x x <，则可用数组12(,)x x 表示样本点.可知样本空间{}121212(,)|,{1,2,3,4,5,6,7},x x x x x x Ω=∈<且，{}1(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),...,(5,7)A =，{}2(6,7)A =，因为样本空间包含的样本点个数为()21n Ω=， ········································ 8分 且每个样本点都是等可能的，又因为()110n A =，()21n A =， ····················· 10分 由古典概型公式可得()10111212121P A =+=. ·············································· 12分 20. 【命题意图】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综合性.【解答】解法一：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，对任意的x ，有()()e e x x f x f x --=+=，所以函数()e e x x f x -=+为偶函数.························· 1分 考虑()f x 在()0,+∞上的单调性： ()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()()112212e e e e x x x x f x f x ---=+-+ ················································ 2分 ()()1212e e e e x x x x --=-+- ()211212e e e e ex x x x x x +-=-+()()121212ee e 1e x x x x x x ++--=····················································· 4分由210x x >>，得12e e 0x x -<，12e 1x x +>，12e 0x x +>，于是()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. ·································· 5分 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递减.综上所述，()f x 在区间()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减. ············· 6分 （2）因为()()2112e e x x g x x x a --+=-++()()211=1e e 1x x x a ---⎡⎤-++-⎣⎦将()g x 的图像向左平移1个单位得到()()2e e 1x x h x x a -=++-， ················· 7分 对任意的x ，有()()h x h x -=，故()h x 是偶函数. ······································ 9分 要使()g x 有唯一零点，即()h x 有唯一零点，而()h x 的图像关于y 轴对称，故()00h =，求得12a =. ····················································································· 11分 由（1）可知，当12a =时，()h x 在区间()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减，又()00h =，故可知()h x 有唯一零点0，符合题意，故12a =. ····················· 12分 解法二：（1）同解法一. ··································································· 6分 （2）因为()()2112e e x x g x x x a --+=-++()()211=1e e 1x x x a ---⎡⎤-++-⎣⎦()()()()221212222e e x x g x x x a --+--⎡⎤-=---++⎣⎦()2114442e e x x x x x a --=-+-+++()211=2e e x x x x a --+-++，所以()()2g x g x -=，即1x =为()g x 的对称轴. ········································ 9分 要使函数()g x 有唯一零点，所以()g x 的零点只能为1x =， ························ 10分 即()()211111121e e 0g a --+=-⋅++=，解得12a =. ······································ 11分 由（1）可知，当12a =时，()g x 在区间()1,+∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减，又()10g =，故可知()g x 有唯一零点1，符合题意，故12a =. ························ 12分 21. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、创新性、应用性. 【解答】解法一：①作图如下······························································ 3分选择一条水平基线HG （如图），使得,,H G B 三点在同一条直线上. ··············· 4分 在,H G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为,αβ. ········································ 5分 用米尺测得HG a =，即CD a =，测得测角仪的高度是h .(若没有做出DH ，扣掉1分) ···································································································· 6分 ②在ACD ∆中，由正弦定理，可得()sin sin AC CD βαβ=-，即()sin sin a AC βαβ=-， ········ ···································································································· 8分 在Rt ACD ∆中，有()sin sin sin sin a AE AC αβααβ==-，····································· 10分所以建筑物的高度()sin sin sin a AB AE h h αβαβ=+=+-.(若漏掉h ，扣一分) ············ 12分 解法二：①同解法一. ········································································· 6分 ②在Rt ACE ∆，Rt ADC ∆中分别有tan AE DE β=，tan AECE α=， ····················· 8分所以(tan tan )tan tan tan tan AE AE AE CD DE CE αββααβ-=-=-=， 所以tan tan tan tan a AE αβαβ=-. ····································································· 10分所以建筑物的高度tan tan tan tan a AB AE h h αβαβ=+=+-.(若漏掉h ，扣一分) ··········· 12分22. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平面与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性和综合性.【解答】解法一：（1）连接DB 交AC 于O ，连接OM ， ····························· 1分 因为M ，O 分别为SB ，DB 的中点，所以SDMO . ································ 2分又因为SD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，所以SD平面MAC . ················ 4分（2）因为SC BC AB SA SB a =====，所以CM SB ⊥，AM SB ⊥，故AMC ∠为二面角A SB C --的平面角. ················································· 6分因为AC =，AM CM ==， 所以由余弦定理可得，2221cos 23AM CM AC AMC AM CM +-∠==-⋅. ······················· 7分 取S B ''的中点N ，连接A N '，C N '，因为S C B C B A S A a ''''''''====，所以A N S B '''⊥，C N S B '''⊥，故A NC ''∠为二面角A S B C ''''--的平面角. ·············································· 9分因为A N C N ''==， 由余弦定理可得，2221cos 23A N C N A C A NC A N C N ''''+-''∠==''⋅. ···························· 10分OBCSADM故180AMC A NC ''∠+∠=， 即二面角A SB C --的平面角与二面角A S B C ''''--的平面角互补.······················································································· 11分 故当S 与S '，B 与B '，C 与C '重合时，正四面体S A B C ''''-的侧面S A B '''与正四棱锥S ABCD -的侧面SAB 为同一平面，由对称性同理可得，正四面体S A B C ''''-的侧面S A C '''与正四棱锥S ABCD -的侧面SDC 为同一平面，故拼成的新的几何体由5个面组成. ····························· 12分解法二：（1）同解法一. ····································································· 4分（2）如图所示，由于S ∈平面SAB ，S ∈平面SCD ，故设平面SAB平面SCD l =，在直线l 上取一点A '，使其在S 点的右侧，并满足SA SB SC a '===，连接A C '与A B '，下证A SBC'-是棱长为a 的正四面体： 因为DCAB ，DC ⊄平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以DC 平面SAB . ······· 6分又因为平面SCD 平面SAB SA '=，DC ⊂平面SCD ，所以DC SA '，所以60A SC SCD '∠=∠=.········································································· 8分又SA SC a '==，故SA C '∆为边长为a 的正三角形，所以A C a '=. ················· 10分 同理可得A B a '=，所以A SBC '-是棱长为a 的正四面体，所以正四面体A SBC '-的侧面SA C '与正四棱锥S ABCD -的侧面SDC 为同一平面， 正四面体A SBC '-的侧面SA B '与正四棱锥S ABCD -的侧面SAB 为同一平面，故拼成N B'A’C'S'A’(S')(B')(C')B C S AD D ASCBlA’。
福建省福州市第八中学2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题
福建省福州市第八中学2021-2021 学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题(5分×10＝50分,请将答案填写在答卷上)1．在空间中，垂直于同一直线的两条直线的位置关系是A ．垂直B ．平行C ．异面D ．以上都有可能2．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线方程是A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x3. 点P(x,y)在直线x+y -4=0上，O 是坐标原点，那么│OP│的最小值是A ．7 B. 6 2 D. 54．直线06:1=++my x l 与直线()0232:2=++-m y x m l 互相平行，那么m 的值为A ．3B ．-1C ．-1或3D ．05．直线012=--y x 被圆2)1(22=+-y x 所截得的弦长为A 305B 355C 2305D 655 6．与圆0352:22=--+x y x C 关于直线x y -=对称的圆的方程为 A ．36)1(22=+-y x B ．36)1(22=++y xC ．36)1(22=++y xD ．36)1(22=-+y x 7．直线,a b 和平面α，以下四个说法①a ∥α，b ⊂α,那么a //b ；②a ∩α＝P ，b ⊂α，那么a 与b 不平行；③假设a ∥b ，b α⊥，那么a α⊥；④a //α，b //α，那么a //b ． 其中说法正确的选项是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三条交线的距离分别为2、5、7，那么OP 长为A.33B.22 C .23 D.329．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C BD C --的正切值为A.36B.22C.2D.3310．直线b kx y +=上两点P 、Q 的横坐标分别为21,x x ，那么|PQ|为A ．2211k x x +⋅- B ．k x x ⋅-21 C ．2211k x x +- D ．k x x 21-二、填空题〔共4题，每题4分，共16分〕11. 直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行， 那么它们之间的距离 是_________________.12. 母线长为6，底面半径为3的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，那么球的体积_____________.13. 假设)1,2(P 为圆25)1(22=++y x 的弦AB 的中点， 那么直线AB 的方程是__ ____14. 右图是一个几何体的三视图，那么该几何体的外表积为 ．三、解答题：〔共3题，共34分 ，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值10分〕过点)1,2(-M 的直线l 与y x 、轴正半轴分别交与A 、B 两点，且21=∆ABO S ，求直线l 的方程．〔结果用直线的一般方程表示〕16．〔此题总分值12分〕如图，三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且⊥A A 1底面ABC ，D 为1CC 的中点，〔Ⅰ〕求证：OD ∥ABC 平面〔Ⅱ〕求证：⊥1AB 平面BD A 1．17．〔本小题总分值12分〕圆22:(3)(4)4C x y -+-=， 〔Ⅰ〕假设直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 假设圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．B 卷〔共50分〕四、选择题〔共2题，每题5分，共10分〕18. 点04:,,)0(03),(22=-+>=++y y x C PB PA k y kx y x P 是圆上一动点是直线的两条切线，A ，B 是切点，假设四边形PACB 的最小面积是2，那么k 的值为A ．3B ．221C ．22D ．219. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别为BD 、BC 的中点， 且CA = CB = CD = BD，AB = AD = 1，那么异面直线AB 与CD 所成角的正切值为 。
福建省福州市第八中学2020-2021学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
22. （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) ln(x 1) ln(x 1), g(x) Asin(x ) ( A 0) 3
11. 已知函数 f（x）＝sin（2x+ ），将 f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的 1 （纵
3
2
坐标不变），得到函数 g（x）的图象，则（ ）
A. 当 x＝ 7 时，g（x）取最小值 24
B. g（x）在[ ， ]上单调递减 12 3
C. g（x）的图象向左平移 个单位后对应的函数是偶函数 24
是（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7. 已知奇函数 f (x) 的定义域为 R，若 f (x 2) 为偶函数，且 f (1) 1，则 f (8) f (9) 等
于（ ） A．－2
B．－1
C．0
D．1
8.
设函数
f
(
x
)
x(e { x2
x ex ), x 0 2x 4, x 0
16. 在三棱锥 S ABC 中， △ABC 是边长为 3 的等边三角形， SA 3, SB 2 3 ，二面角
S AB C 的大小为12Fra bibliotek ，则此三棱锥的外接球的表面积为_______________．
四、解答题（本小题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
4. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜
2020-2021福州市高中必修一数学上期末模拟试卷附答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．2C ．14，2 D ．14，4 6．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．函数21y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________． 14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．16．函数()()4log 5f x x =-+________.17．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．18．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 19．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是[]0,1时求函数()f x 的值域.23．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围. 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围.25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.26．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示； t0 10 20 30 ()f t 0270052007500阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题5．A解析：A试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x>就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()a g x x x =+的值域为(),22,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U ， 所以，此时有22a ≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()a g x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7. 16．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 521x f x x =-+-有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集. 17．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．18．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I .故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.19．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】函数()22x f x b =--有两个零点，和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ， cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【分析】【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设． ∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4； 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．22．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】【分析】【详解】（1）832,323,5b a ab a b a a----+=--⨯=∴=-=Q ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减， 所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当所以函数()f x 的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．23．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(2lg 1f x x x-=-++， 所以()()((22lg 1lg 1lg10x x x x f x f x =++-+=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，21u x x =+，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证21u x x =+在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.24．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解.【详解】 （1）由101x x ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-，∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1a t f t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.25．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++- =28012000t t -++=()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600．当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+ =213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =，所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．。
福建省福州市八县(市)一中高一数学上学期期中联考试题-人教版高一全册数学试题
某某省某某市八县（市）一中2020-2021学年高一数学上学期期中联考试题考试日期: 2020年11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A. A B ⊆B ．B A ⊆ C. {}=2AB D ．(){}1U AC B =2．存在量词命题:p “2,220x R x x ∃∈-+≤”的否定是( )A. 2,220x R x x ∃∈-+≥B ．2,220x R x x ∃∈-+>C. 2,220x R x x ∀∈-+> D ．2,220x R x x ∀∈-+≤3．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ）A. 1- B ．2- C. 6 D ．74．下列函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）A. ()f x x =与2()xg x x= B ．()11f x x x =+⋅-与 2()1g x x =-C.()f x x =与()||g x x = D ．()||f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩5. 某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()a b >， 再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）A. B ． C. D ．6. 已知函数2()=1f x x mx -+在区间(,2]-∞-上为减函数，则下列选项正确的是（ ）高一数学试卷 第 1页 共4页A. (1)6f < B ．(1)6f ≤ C. (1)2f ->- D ．(1)2f -≤-7. 若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值X 围为（ ）A. 1a ≤- B ．1a <- C. 2a ≤- D ．2a <-8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式S 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为( )A. 6B ．9 C. 12 D ．18二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若,a b c d ><，则a c b d ->- B ．若a b >,则11a b< C. 若0,0a b m >>>，则a a m b b m+>+ D ．若,a b c d >>，ac bd >10. 设全集{}{0,1,2,3,4,5}0,(){2,4}U U A B C A B ===，且，{}()1,3U C B A =，则下列判断正确的是（ ）A. {}1,3A = B ．{}0,2,4B =C. {}0,1,2,3,4A B = D ．{}()5U C A B =11. 若0,0m n >>，且11=1m n+，则下列说法正确的是（ ） A. mn 有最大值4 B ．2211m n+有最小值12C. 0,0m n ∀>>≤．0,0,m n ∃>>使得2m n +=12. 某同学在研究函数 2()=1xf x x+()x R ∈时，分别给出几个结论，其中错误．．的是（ ） A.,x R ∀∈都有 ()()=0f x f x -+B ．()f x 的值域为11()22-， C. 若12=1x x ，则12()=()f x f x D ．()f x 在区间[1,1]-上单调递减第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，22()=f x x x-，则(1)=f -________ 14. 已知正数．．,x y 满足11x y +=，则4y x+的最小值为____________ 15.已知函数()f x 满足()=()f x f x -,当12,(,0]x x ∈-∞时，总有1212()[()()]0x x f x f x -->， 若(21)(1)f m f ->，则实数m 的取值X 围是___________16.设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足(1)=1f ，对于任意1212,(0,)x x x x ∈+∞≠，，都有20202020211212()()0x f x x f x x x ->- 成立，则2020()1f x x ≥的解集为______________四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}2=60A x x x --≤ ，集合{}131B x a x a =-<≤+（1）当1a =时，求A B ，A B ；（2）若B A ⊆，某某数a 的取值X 围。
2020-2021学年福建省福州市八县(市、区)一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年福建省福州市八县（市、区）一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin315°的值为( )A. −√32B. √32C. √22D. −√222.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB3.角π5和角6π5有相同的( )A. 正弦线B. 余弦线C. 正切线D. 不能确定4.已知α是第一象限角，tanα=34，则sinα等于( )A. 45B. 35C. −45D. −355.如果函数f(x)=2sinx +acosx 的图象关于直线x =π6对称，那么a =( )A. −2√3B. 2C. 2√3D. √36.函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图象的函数解析式为( )A. y =3sin(3x −3)B. y =3sin(3x −9)C. y =13sin(13x −3)D. y =3sin(13x −3)7.若tanθ=−13，则cos2θ=( )A. −45B. −15C. 15D. 458.已知△ABC ，点G ，M 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 9.已知函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，其中n ∈N ，则f(8)=( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 已知函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=1，φ=B. ω=1，φ=−C. ω=2，φ=D. ω=2，φ=−11. 已知a 是实数，则函数f(x)=acosax −1的图象不可能是( )A.B.C.D.12. P 、Q 、R 是等腰直角△ABC(A 为直角)内的点，且满足∠APB =∠BPC =∠CPA ，∠ACQ =∠CBQ =∠BAQ ，AR 和BR 分别平分∠A 和∠B ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如下图所示，在平面直角坐标系xoy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，A 的纵坐标为，则cosα=________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．15. 若a ⃗ =(cosx,sinx),b ⃗ =(√3,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tan2x =______． 16. 已知α∈(0,π2)，且2cosα=cos(π2−α)，则sin2α的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数轴x 上，点A ，B 的坐标分别为a ，b ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为a −2． (1)求BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；(2)若b =5，求|2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.18. 已知函数f(x)=sinxcos(x −π2)−cosxsin(x +π2)，x ∈R ． (1)求f(π12)的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19. 已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(−3,−1)，D 在直线BC 上． (Ⅰ)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标； (Ⅱ)若AD ⊥BC ，求点D 的坐标．20. 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm ，上栏和下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a(cm)，b(cm)，铝合金的透光部分的面积为S(cm2).(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？21.已知函数f(x)=sin cos+sin2(其中ω>0，0<φ<).其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．(1)函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，S△ABC=2，角C为锐角．且满足f=，求c的值．22.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，x=R，|φ|<π)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，又f(2+x)=f(2−x)，f(0)<0．(1)求这个函数解析式；(2)设关于x的方程f(x)=k+1在[0,8]内有两个不同根a，β，求a+β的值及k的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：sin315°=sin(360°−45°)=−sin45°=−√22．故选：D ．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算、抛物线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．利用向量的三角形法则和数量积运算可得：CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值． 解：如图所示，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值， 只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值， 故选：B ．3.答案：C解析：本题给出两个角π5和6π5，求证它们有相同的正切线，着重考查了终边相同的角、三角函数线的作法等知识，属于基础题．根据角π5和角6π5的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案．解：∵6π5=π+π5，∴角π5和角6π5的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l，因此，过点A(1,0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得tanπ5=tan6π5，都等于有向线段AT的长，即两角有相同的正切线．故选C．4.答案：B解析：解：由因为α是第一象限角，所以α∈(0,π2)，而根据同角三角函数间的基本关系得：tanα=sinαcosα=34①；sin2α+cos2α=1②；由①得到sinα=34cosα，因为α为锐角，将其代入②，得sinα=35．故选：B．根据同角的三角函数间的基本关系得到：tanα=sinαcosα=34；sin2α+cos2α=1；由于α是第一象限角，联立求出sinα大于0的值即可．考查学生会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，以及会根据象限角判断其三角函数的取值．5.答案：C解析：解：∵函数f(x)=2sinx+acosx=√4+a2(√4+a2√4+a2=√4+a2sin(x+θ)，其中，cosθ=√4+a2，sinθ=√4+a2，由于的图象关于直线x=π6对称，则π6+θ=π2，即θ=π3，sinθ=√4+a2=sinπ3，解得a=2√3，故选：C．由题意利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：解：函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，得到：y =sin(x −3)， 再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，得到：y =3sin(13x −3)， 故解析式为：y =3sin(13x −3)． 故选：C ．直接利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数图象的平移和伸缩变换．7.答案：D解析：本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，属于基础题． 解：由tanθ=−13， 得cos2θ=cos 2θ−sin 2θ =cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−(−13)21+(−13)2=45，故选D ．8.答案：D解析：解：G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以G 为△ABC 的重心， 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −79AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．由已知可知G 为△ABC 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 本题主要考查了三角形的重心性质，还考查了向量的线性运算，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵函数函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，∴f(8)=f[f(13)]，则f(13)=13−3=10，∴f(8)=f[f(13)]=f(10)=10−3=7，故选：C．根据解析式先求出f(8)=f[f(13)]，依次再求出f(13)和f[f(13)]，即得到所求的函数值．本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．10.答案：D解析：试题分析：由图像知：函数的周期为，所以，又点在图像上，代入得φ=−。
福建省福州市第八中学高一数学上学期期末考试试题
福州八中2015—2016学年第一学期期末考试高一数学 必修2考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.1.26第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是 A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在 2.直线y-2=mx+m 经过一定点,则该点的坐标为 ( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)3.对于直线m,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( ) A. m ⊥n, m∥α,n∥β B. m⊥n, α∩β=m, n ⊂αC. m∥n, n⊥β,m ⊂αD . m∥n, m⊥α, n⊥β4．如图所示，直观图四边形A B C D ''''是一个底角为45°，腰和上底均为1的等 腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A ．22+ B ．21-C ．22D ．225．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶3 37．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面 ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM( ) A ．与AC ，MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC ，MN 均不垂直8．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x －ay －1＝0平行，则a 的值是________．10.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .11．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .12．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；.⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（本小题满分10分）如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形， 点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上． (1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．14．（本小题满分10分）下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ， 且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B —CEPD 的体积．15．（本小题满分10分）已知圆C 经过点(1,0)A -和(3,0)B ，且圆心在直线0x y -=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上任意一点，求点P 到直线240x y ++=的距离的最大值和最小值．16．（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，求证：QG //平面PBC ．第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是( ) A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内18．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ． (0,1)C ． (－1,0)D ．(1,2)19．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠φ，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－32，32] B ．[－3,3]C ．(－3,32]D ．[－32，3)20.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的范围为（ ）A ．)4,2(B ．)22,2(C ．(6,22)D ．(6,10)二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________22．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．（本小题满分12分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为E.(1)若圆E 与直线CD 相切,求实数a 的值.(2)设点P 在圆E 上,使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个,试问这样的圆E 是否存在?若存在,求出圆E 的标准方程;若不存在,说明理由.24．（本小题满分14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=o .（Ⅰ）求证：11A C ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.A BD 1 C 1D COA 1B 1福州八中2015—2016学年第一学期期末考试高一数学 必修2 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CACA BDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9. 0或1210. 1 11. 2π 12. ①②③三、解答题：本大题共有4个小题，共40分 13. 解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E(3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1 -----------2分∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. -----------4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C(4,3)，-----------6分∴|AC|＝|BC|＝2，AC ⊥BC ，-----------8分 ∴S △ABC ＝12|AC|·|BC|＝2. -----------10分14. 解 (1)该组合体的三视图如图所示．-----------3分(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD . ----------5分∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD . ∴BC ⊥平面PDCE . -----------7分 ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC . 又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积：S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC ∴四棱锥B —CEPD 的体积V B —CEPD ＝3S 梯形PDCE ·BC ＝3×3×2＝2. -------10分15. 解：(1) AB 的中点坐标为(1,0)，∴圆心在直线1x =上, ………… 1分 又知圆心在直线0x y -=上, ∴圆心坐标是(1,1),圆心半径是5r =,…………3分∴圆方程是22(1)(1)5x y -+-=;………… 5分 (2)设圆心到直线240x y ++=的距离12475555d ++==>，………7分 ∴直线240x y ++=与圆C 相离,∴点P 到直线240x y ++=的距离的最大值是71255555+=, ………9分 最小值是7255555-=.………… 10分 16. 证明：(1)AB 是圆O 的直径,得AC BC ⊥,… 1分由PA ⊥平面ABC ,BC 平面ABC ,得PA BC ⊥,………3分 又PA AC A =I , PA平面PAC ,AC平面PAC ,……… 4分所以BC ⊥平面PAC .……… 5分(2)连OG 并延长交AC 于M ,连接,QM QO ,由G 为AOC ∆的重心， 得M 为AC 中点．……… 6分 由Q 为PA 中点，得//QM PC ,又O 为AB 中点，得//OM BC ,……… 7分 因为,QM MO M =I QM平面QMO ,MO平面QMO ,,BC PC C =I BC 平面PBC ,PC 平面PBC所以平面//QMO 平面PBC .……… 9分 因为QG平面QMO ,所以//QG 平面PBC .……… 10分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 17-20 DBCD二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 21. 513 22. 1256π三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分23. 解：(1)直线CD 的方程为y=x+4,圆E 的圆心为E(错误!未找到引用源。
福建省福州市第八中学高一数学上学期期末考试新人教A版【会员独享】
福州八中2010—2011学年第一学期期末考试高一数学 必修Ⅱ考试时间：120分钟 试卷满分：150分本次考试不可使用计算器 第Ⅰ卷（共18题，100分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卷上) 1. 直线053=++y x 的倾斜角是 A. 30° B. 120° C. 60°D. 150°2. 如图，平面不能用（ ） 表示．A. 平面αB. 平面ABC. 平面ACD. 平面ABCD3. 若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交4. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O 是坐标原点，则│OP │的最小值是 A. 7 B. 6C. 2 2D. 55. 直线L 1:ax+3y+1=0, L 2:2x+(a+1)y+1=0, 若L 1∥L 2, 则a= A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或-26. 如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是 A ．垂直相交B ．相交但不垂直C ．异面但不垂直D ．异面且垂直7. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 3x-y-9=0D.4x-3y+7=08. 下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为 A. 0 B. 1C. 2D. 3 9. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为4ｃｍ，则球的表面积是A. 32Лｃｍ２B. 48Лｃｍ２C. 64Лｃｍ２D. 80Лｃｍ２10.圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是CDBACABDMA. 2B.21+C.221+D.221+二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）11．已知三点A （a,2） B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上， 则a= ．12．在边长为a 的等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D,沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=12a,这时二面角B-AD-C 的大小为13．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是 14．已知直线a 、b 及平面α，在下列命题： ①b a a b ⊥⇒⎭⎬⎫α⊥α⊂；②α⇒⎭⎬⎫α⊥⊥//b a b a ；③α⊥⇒⎭⎬⎫α⊥b a b //a ；④b //a b //a ⇒⎭⎬⎫α⊂α中，正确的有 （只填序号）.三、解答题(共4题,共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（8分）在长方体AC '中，已知底面两邻边AB 和BC 的长分别为3和4，对角线BD '与平面ABCD 所成的角为450，求： （1）长方体AC '的高； （2）长方体AC '的表面积； （3）几何体C 'D '-ABCD 的体积.16．（9分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.17.（9分）下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图． （1）若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD; （2）证明BD ∥面PEC;18. （8分）已知过A （0，1）和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程．第Ⅱ卷（共六题，50分）A 'B 'C 'D ' ABD (第15题图)C四、选择题和填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)19. 已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为A. ３００B. ４５０C. ６００D.９００20. 直线l :ax+by=0和圆C:x 2+y 2+a x +b y=0在同一坐标系的图形只能是A.B.C.D.21. 如右图所示，在三棱锥ABC—1A 1B 1C 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 设三棱柱ABC —1A 1B 1C 的体积为V ， 那么三棱台AEF —1A 1B 1C 的体积为 （用V表示）22. 已知点A （x,5）关于点（1，y ）的对称点（-2，-3），则点P （x ，y ）到原点的距离是 。
福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(可编辑PDF版)
数学试卷
（完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷 1 到 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页. 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A 1,0,1,2,3 ， B x | 3 x 1 ，则 A B
A． 3
B． 1, 0,1
C． 1, 0,1, 2
D． 1, 0,1, 2, 3
2. 命题“ x 0 ， sin x x ”的否定是
安全，在其四周都留有宽 2 米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地
的面积 S 最小，并求出该最小值? 22. （12 分）
已知函数 f (x) 2sin( x ) ． 36
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 f (x) 在[0,6] 上的图象；
（2）求 f (x) 图象的对称轴与单调递增区间； y
（2）若 B A ，求实数 a 的取值范围．
19. （12 分）
在① k 1 ， ② k 1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知函数 f (x) k kx ，且_______， x
（1）求 f (x) 的定义域，并判断 f (x) 的奇偶性；
（2）判断 f (x) 的单调性，并用定义给予证明．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13.
已知函数
2020-2021学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷1.已知集合M={x|−3≤x<4}，N={x|x2−2x−8≤0}，则()A. M∪N=RB. M∪N={x|−3≤x<4}C. M∩N={x|−2≤x≤4}D. M∩N={x|−2≤x<4}2.函数f(x)=e x+2x−3的零点所在区间是()A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (1,2)D. (0,1)3.设角α的终边上有一点P(4,−3)，则2sinα+cosα的值是()A. −25B. 25C. −25或25D. 14.已知p：x>1，q：|x|>1，那么p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a=log23−1，(12)b=5，c=log32，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a6.函数f(x)=(21+e x−1)⋅sinx的图象大致形状为()A. B.C. D.7.已知函数f(x)=ln(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则a的取值范围为()A. (−∞,4]B. [6,+∞)C. (103,4] D. [103,4]8.已知f(x)是定义域为的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则)A. −50B. 0C. 2D. 509.下列命题为真命题的是()A. 函数y=tanx的图象关于点(kπ+π2,0)(k∈Z)对称B. 函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数C. 若θ是第二象限角，则tanθ2>cosθ2，且sinθ2>cosθ2D. 函数y=cos2x+sinx的最小值为−110.若函数f(x)=1+4sinx−t在区间(π6,2π)上有2个零点，则t的可能取值为()A. −3B. 0C. 3D. 411.已知某扇形的半径为3，面积为3π2，那么扇形的弧长为______12.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ≤π)的图象如图所示，则φ=______ ．13.已知函数f(x)=√3sin(2x−φ)−cos(2x−φ)(|φ|<π2)的图象关于y轴对称，则f(x)在区[−π6,5π12]上的最大值为______．14.设函数f(x)=1e x+ae x(a为常数).若f(x)为偶函数，则实数a=______ ；若对∀x∈R，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是______ ．15.求下列各式的值：(1)lg25+23lg8−log227×log32+2log49；(2)cos(−143π)+sin(53π)⋅tan(203π)−sin(72π)．16.已知函数f(x)=sinx+3|sinx|．(1)用分段函数形式写出f(x)在x∈[0,2π]的解析式，并画出其图象；(2)直接写出f(x)(x∈R)的最小正周期及其单调递增区间．17. 已知函数f(x)=a x +a −x (a >0且a ≠1)．(Ⅰ)若a =10，求f(1−2lg √5)的值； (Ⅱ)用定义证明f(x)在[0,+∞)单调递增；(Ⅲ)若∀x ∈[−3,0]，f(2x +4)<f(x +m)成立，求m 的取值范围．18. 我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”：(1)对任意的x ∈[0,+∞)，总有f(x)≥0；(2)若x ≥0，y ≥0，则有f(x +y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是( ) A. 若f(x)为“Ω函数”，则f(0)=0B. 若f(x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞)上为增函数C. 函数g(x)={0,x ∈Q,1,x ∉Q 在[0,+∞)上是“Ω函数” D. 函数g(x)=x 2+x 在[0,+∞)上是“Ω函数”19. 已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x ≤212f(x −2),x >2.以下说法正确的是( )A. 当2<x ≤4时，f(x)=2|x−3|−1−12 B. f(2n +1)=−(12)n (n ∈N)C. 存在x 0∈(−∞,0)∪(0,+∞)，使得f(x 0)=2D. 函数g(x)=4f(x)−1的零点个数为1020. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为______． 21. [x]表示不超过x 的最大整数，如：[−2.3]=−3，[6.23]=6.设函数f(x)=2x −12x +1，则y =[f(x)]的值域是______ ．22. 已知函数f(x)=2cos 2ωx −1+2√3sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g(2α+π3)=65，α∈(0,π2)，求sinα的值．23.某种出口产品的关税税率t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p=2(1−kt)(x−b)2，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k、b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q=2−x.p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．24.若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(−x)=−k⋅f(x)，k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．(1)若函数f(x)=tanx−2sinx，判断f(x)是否为(0,π)上的“二阶局部奇函数”并说明理由；(2)若函数f(x)=lg(m−x)是[−2,2]上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；(3)对于任意的实数t∈(−∞,2]，函数f(x)=x2−2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质，考查运算求解能力，属于基础题． 先解不等式化简集合N ，由此能求出M ∪N 和M ∩N ． 【解答】解：∵集合M ={x|−3≤x <4}，N ={x|x 2−2x −8≤0}={x|−2≤x ≤4}， ∴M ∪N ={x|−3≤x ≤4}， M ∩N ={x|−2≤x <4}． 故选：D ． 2.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=e x +2x +2在R 上单调递增，∴f(0)=1+0−3=−2<0，f(1)=e +2−3=e −1>0， ∴f(0)f(1)<0．根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=e x +x2−3的零点所在的区间是(0,1)， 故选：D ．由函数的解析式求得f(0)f(1)<0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=e x +2x −2的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵角α的终边上有一点P(4,−3)， ∴x =4，y =−3，r =√x 2+y 2=5， ∴cosα=xr =45，sinα=y r =−35，∴2sinα+cosα=2×(−35)+45=−25， 故选：A ．由题意可得x =4，y =−3，r =√x 2+y 2=5，可得cosα=xr 和sinα=yr 的值，从而求得2sinα+cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A【解析】解： ∵|x|>1∴x >1或x <1．故x >1是x >1或x <1成立的充分不必要条件， 即p 是q 成立的充分不必要条件． 故选：A ．由|x|>1，得x >1或x <1.故x >1是x >1或x <1成立的充分不必要条件，即p 是q 成立的充分不必要条件．注意必要条件、充分条件与充要条件的判断． 5.【答案】A【解析】解：(12)b =5⇒b =log 512=−log 52>−log 55=−1且b <0；0<c =log 32<1；a =−log 23<−log 22=−1， 故a <b <c ， 故选：A ．利用指数运算与对数运算的互逆性求出b ，再根据对数函数的单调性判断a 、b 、c 的范围，可得答案．本题借助对数值大小的比较，考查了对数的性质及对数函数的单调性，关键是利用对数的单调性求出a 、b 、c 的范围． 6.【答案】A【解析】解：∵f(x)=(21+e x −1)⋅sinx ，∴f(−x)=(21+e −x −1)⋅sin(−x)=−(2e x1+e x −1)sinx =(21+e x −1)⋅sinx =f(x)， ∴函数f(x)为偶函数，故排除C ，D ，当x =2时，f(2)=(21+e 2−1)⋅sin2<0，故排除B ，故选：A先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：f(x)=ln(−x 2+ax −1)在[2,3]上单调递减， 则应满足y =−x 2+ax −1在[2,3]上要恒大于零且单调递减，所以{a2≤2−32+3a −1>0，解得103<a ≤4．故选：C ．依题意，结合复合函数的单调性法则可知，y =−x 2+ax −1在[2,3]上要恒大于零且单调递减，由此建立关于a 的不等式组，解出即可．本题主要考查复合函数的单调性，属于基础题． 8.【答案】C【解析】 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键． 【解答】解：∵f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)， ∴f(0)=0，f(1−x)=f(1+x)=−f(x −1)，则f(x +2)=−f(x)，则f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 即函数f(x)是周期为4的周期函数， ∵f(1)=2，∴f(2)=−f(0)=0，f(3)=−f(1)=−2，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2，故选：C．9.【答案】AD【解析】解：对于A，tan(2(kπ+π2)−x)=tan((2k+1)π−x)=tan(−x)=−tan(x)，所以函数y=tanx的图象关于点(kπ+π2,0)(k∈Z)对称，所以A对；对于B，取x=π2，sin|π+π2|=−1，sin|π2|=1，则π不是y=sin|x|的周期，所以B错；对于C，取θ=2π+2π3，是第二象限角，但sinθ2=−√32，cosθ2=−12，所以C错；对于D，y=cos2x+sinx=1−sin2x+sinx=−t2+t+1，t∈[−1,1]，当t=sinx=−1时取最小值−1，所以D对．故选：AD．A根据正切函数性质，检验中心对称条件；B举反例判断；C寻找特殊角判断；D二次函数在闭区间端点处取最值判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本概念，属基础题．10.【答案】BD【解析】解：若函数f(x)=1+4sinx−t在区间(π6,2π)上有2个零点，则直线y=t和函数y=1+4sinx的图象在区间(π6,2π)上有2个交点．在区间(π6,2π)上，sinx∈[−1,1]，y∈[−3,5]．再根据y不能取最值，且y≠1+4⋅12，sinx≠0，故有−3<y<1，或1<y<3，或3<y<5，故选：BD．由题意可得直线y=t和函数y=1+4sinx的图象在区间(π6,2π)上有2个交点，由此求得t的范围，可得结论．本题主要考查正弦函数的图象特征，属于中档题．11.【答案】π【解析】解：设扇形的弧长为l，则S=12×3×l=3π2，得l=π，故答案为：π根据扇形的面积公式直接进行求解即可．本题主要考查扇形面积公式的应用，结合扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】910π【解析】解：由图象得T2=2π−34π=54π，则周期T=52π=2πω，则ω=45，则y=sin(45x+φ)，当x=34π时，y=−1，则sin(45×34π+φ)=−1，即35π+φ=−π2+2kπ，即φ=2kπ−11π10，k∈Z，∵−π<φ≤π，∴当k=1时，φ=910π，故答案为：910π根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出ω和φ即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象求出ω和φ的值是解决本题的关键．13.【答案】√3【解析】解：∵函数f(x)=√3sin(2x−φ)−cos(2x−φ)=2sin[(2x−φ)−π6](|φ|<π2)的图象关于y轴对称，∴−φ−π6=−π2，∴φ=π3，f(x)=2sin[(2x−φ)−π6]=−2cos2x．则在区[−π6,5π12]上，2x∈[−π3,5π6]，故当2x=5π6时，f(x)取得最大值为√3，故答案为：√3．利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据三角函数的图象的对称性进一步确定f(x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得f(x)的最大值．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．14.【答案】1 [14,+∞)【解析】解：∵函数f(x)=1e x+ae x为偶函数，∴f(−x)=e x+ae x =1e x+ae x=f(x)，解得：a =1．对∀x ∈R ，f(x)≥1恒成立，即1e x +ae x ≥1恒成立，分离参数a 得：a ≥−e −2x +e −x =−(e −x −12)2+14恒成立，当e −x =12时，−(e −x −12)2+14取到组大值14， ∴a ≥14．故答案为：1；[14,+∞)．由f(−x)=e x +ae x =1e x +ae x =f(x)，即可求得a =1；对∀x ∈R ，f(x)≥1恒成立，分离参数a 可得：a ≥−e −2x +e −x =−(e −x −12)2+14恒成立，从而可得实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的判断，考查分离参数法与配方法的综合运用，属于中档题．15.【答案】解：(1)lg25+23lg8−log 227×log 32+2log 49=2lg5+2lg2−lg27lg2×lg2lg3+2log 23 =2−3+3=2．(2)cos(−143π)+sin(53π)⋅tan(203π)−sin(72π) =cos(−6π+4π3)+sin(2π−π3)⋅tan(6π+2π3)−sin(4π−π2) =−12+(−√32)×(−√3)−(−1)=2．【解析】(1)利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解． (2)利用指数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：(1)当x ∈[0,π]时，sinx ≥0，|sinx|=sinx ，f(x)=4sinx 当x ∈(π,2π]时，sinx ≤0，|sinx|=−sinx ，f(x)=−2sinx ， 所以f(x)={4sinxx ∈[0,π]−2sinxx ∈(π,2π],可得其图象如下图所示．(2)由f(x +2π)=sin(x +2π)+3|sin(x +2π)|=sinx +3|sinx|=f(x)， 可知2π为函数f(x)的一个周期，结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期， (直接写出答案也可以给满分)由图可得，x ∈[0,2π]时，函数f(x)的递增区间为[0,π2]，[π,3π2]，又f(x)的最小正周期为2π，故函数f(x)的递增区间为[kπ,π2+kπ](k ∈Z)．【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质分类讨论可求函数解析式为f(x)={4sinxx ∈[0,π]−2sinxx ∈(π,2π]，进而可求函数图象．(2)利用函数的图象和正弦函数的性质可求函数f(x)的最小正周期和递增区间．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了分类讨论思想和函数思想，属于基础题． 17.【答案】解：(Ⅰ)1−2lg √5=1−lg5=lg2，因为a =10，所以f(1−2lg √5)=f(lg2)=10lg2+10−lg2=2+12=52． (Ⅱ)设∀x 1，x 2∈[0,+∞)且x 2>x 1，那么f(x 2)−f(x 1)=a x 2+a −x 2−(a x 1+a −x 1)=a x 2−a x 1+(1a x 2−1a x 1)=(a x 2−a x 1)(a x 1+x 2−1)a x 1+x 2，当0<a <1时，a x 2<a x 1，则a x 2−a x 1<0，又x 2+x 1>0，0<a x 2+x 1<1，则a x 2+x 1−1<0， 所以f(x 2)−f(x 1)=(a x 2−a x 1)(a 1x 1x 2−1)a x 1+x 2>0，从而f(x 2)>f(x 1)；当a >1时，a x 2>a x 1，则a x 2−a x 1>0，又x 2+x 1>0，a x 2+x 1>1，则a x 2+x 1−1>0， 所以f(x 2)−f(x 1)=(a x 2−a x 1)(a x 1+x 2−1)a x 1+x 2>0，从而f(x 2)>f(x 1)，综上可知f(x)在[0,+∞)单调递增．(Ⅲ)由题意可知f(x)的定义域为R ，且f(−x)=a −x +a −(−x)=a −x +a x =f(x)， 所以f(x)为偶函数．所以f(2x +4)<f(x +m)等价于f(|2x +4|)<f(|x +m|)， 又因为f(x)在[0,+∞)单调递增，所以|2x +4|<|x +m|，即(2x +4)2<(x +m)2，所以有：∀x ∈[−3,0]，3x 2+(16−2m)x +16−m 2<0， 令g(x)=3x 2+(16−2m)x +16−m 2，则{g(−3)=27−3(16−2m)+16−m 2<0g(0)=16−m 2<0，所以m <−4或m >5， 即m 的取值范围是(−∞,−4)∪(5,+∞)．【解析】(Ⅰ)由对数运算性质化简1−2lg √5，再代入函数即可求值； (Ⅱ)利用定义法即可证明单调性； (Ⅲ)判断函数的奇偶性，结合函数的单调性将不等式转化为∀x ∈[−3,0]，3x 2+(16−2m)x +16−m 2<0成立，由二次函数的性质即可求解m 的取值范围．本题主要考查函数单调性的证明，函数奇偶性的判断，函数的求值，利用函数的性质解不等式，属于中档题．18.【答案】AD【解析】解：A ：∵对任意的x ∈[0,+∞)，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0， 又∵x ≥0，y ≥0，则有f(x +y)≥f(x)+f(y)成立，∴f(0)≥f(0)+f(0)，∴f(0)≤0，∴f(0)=0，故A 正确； B ：f(x)=0(x ≥0)，是Ω函数，但不单调，故B 错误；C ：显然g(x)满足条件(1)，如果x 、y ∈Q ，则g(x +y)=0， g(x)+g(y)=0+0=0，∴g(x +y)≥g(x)+g(y)；如果x 、y ∉Q ，设x =√2、y =√3，则g(x +y)=1，g(x)+g(y)=1+1=2， ∴g(x +y)<g(x)+g(y)，故C 错误；D ：显然g(x)min =g(0)=0≥0，∴满足条件(1)，g(x +y)−g(x)−g(y)=(x +y)2+x +y −x 2−x −y 2−y =2xy ≥0， ∴满足条件(2)，故D 正确． 故选：AD ．A ：对任意的x ∈[0,+∞)，总有f(x)≥0，令x =y =0，则f(0)≥f(0)+f(0)，进而求解；B ：f(x)=0(x ≥0)，是Ω函数，但不单调，故B 错误；C ：如果x 、y ∉Q ，设x =√2、y =√3，则g(x +y)=1，g(x)+g(y)=1+1=2，进而求解；D ：显然g(x)min =g(0)=0≥0，所以满足条件(1)，g(x +y)−g(x)−g(y)=(x +y)2+x +y −x 2−x −y 2−y =2xy ，进而求解；考查函数的单调性的证明和函数的性质，考查新定义的理解和应用，对新知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题； 19.【答案】AD【解析】解：对于A 选项，当2<x ≤4时，0<x −2≤2，所以f(x −2)=2|x−3|−1，所以f(x)=12f(x −2)=2|x−3|−1−12，即A 正确；对于B 选项，当n =0时，f(1)=−(12)0=−1 与f(1)=2|1−1|−1=0矛盾，即B 错误； 对于C 选项，由f(x)为偶函数，可作出正半轴的图象如下：观察图象，f(x)的值域为[0,1]，即C 错误；对于D 选项，函数g(x)的零点个数即为方程f(x)=14的根的个数，即f(x)与y =14的交点个数，观察图象，在x >0时，有5个交点，根据对称性可得x <0时，也有5个交点，共10个交点，即D 正确． 故选：AD ．A ：根据分段函数，求出2<x ≤4的解析式即可；B ：举反例，取一个特殊值验证选项的正误；C ：作出函数的图象，发现函数f(x)的值域为[0,1]，不可能存在f(x)=2；D ：数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解．本题考查了分段函数的图象与性质，函数与方程等，解题的关键是作出函数在x >0时的图象，采用了转化与化归的思想，属于中档题． 20.【答案】6【解析】解：由于x >0，y >0，x +3y +xy =9， 则9−(x +3y)=xy =13×x ×3y 13×x ×3y ≤13×(x+3y)24，当且仅当x =3y 时，取“=” 则此时{x +3y +xy =9x =3y ，由于x >0，y >0，解得{x =3y =1，故x +3y =6 故答案为6．由于要求x +3y 的最小值，故在解题时注意把x +3y 看为一个整体，需将已知方程中的xy 利用基本不等式转化为x +3y 的形式．本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力． 21.【答案】{−1,0}【解析】解：f(x)=2x −12x +1=2 x +1−22x +1=1−22x +1，∵2x >0，∴1+2x >1，0<11+2 x <1，0<22x +1<2， −2<−22x +1<0，则1−2<1−22x +1<1， 即−1<f(x)<1，则当−1<f(x)<0时，[f(x)]=−1， 当0≤f(x)<1时，[f(x)]=0，即函数y =[f(x)]的值域是{−1,0}， 故答案为：{−1,0}．利用分子常数化求出函数f(x)的取值范围，结合[x]的定义进行求解即可．本题主要考查函数值域的计算，结合分子常数化求出函数的取值范围是解决本题的关键，是中档题． 22.【答案】解：(1)函数f(x)=2cos 2ωx −1+2√3sinωxcosωx =cos2ωx +√3sin2ωx =2sin(2ωx +π6)(0<ω<1)，∴直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴，∴2ω⋅π3+π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴ω=12，故f(x)=2sin(x +π6). 令2kπ−π2≤x +π6≤2kπ+π2，求得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，可得函数的增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)已知函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象上 各点的横坐标伸长到原来的2倍， 可得y =2sin(12x +π6)的图象；然后再向左平移2π3个单位长度得到y =2sin[12(x +2π3)+π6]=2sin(12x +π2)=2cos x2=g(x)的图象，∵g(2α+π3)=2cos(α+π6)=65，α∈(0,π2)，∴cos(α+π6)=35，∴sin(α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=45， ∴sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)cos π6−cos(α+π6)sin π6=45⋅√32−35⋅12=4√3−310．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间．(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再由条件利用两角差的正弦公式，求得sinα=sin[(α+π6)−π6]的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，两角差的正弦公式，属于基础题．23.【答案】解：(1)由已知可得：{1=2(1−0.75k)(5−b)22=2(1−0.75k)(7−b)2，∴{(1−0.75k)(5−b)2=0(1−0.75k)(7−b)2=1， 解得：b =5，k =1(2)当p =q 时，2(1−t)(x−5)2=2−x∴(1−t)(x −5)2=−x ⇒t =1+x(x−5)2=1+1x+25x−10，而f(x)=x +25x在(0,4]上单调递减，∴当x =4时，f(x)有最小值414， 此时t =1+1x+25x−10取得最大值5；故当x =4时，关税税率的最大值为500%【解析】(1)根据“关系式：p =2(1−kt)(x−b)2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到{1=2(1−0.75k)(5−b)22=2(1−0.75k)(7−b)2从而求得结果． (2)当p =q 时，可得2(1−t)(x−5)2=2−x ，可求得t =1+x (x−5)2=1+1x+25x −10，由双勾函数f(x)=x +25x 在(0,4]上单调递减，可知当x =4时，f(x)有最小值．本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法． 24.【答案】解：(1)由题意得，f(x)是(0,π)上的“二阶局部奇函数”，证明：函数f(x)=tanx −2sinx ，若f(−x)=−2f(x)，即f(−x)+2f(x)=0， 即tan(−x)−2sin(−x)=−2tanx +4sinx ，变形可得：tanx =2sinx ，即sinxcosx =2sinx ，则cosx =12， 又由x ∈(0,π)，则有x =π3，故f(x)是(0,π)上的“二阶局部奇函数”，(2)由题意得，函数f(x)=lg(m −x)是[−2,2]上的“一阶局部奇函数”， 即f(−x)+f(x)=0在区间[−2,2]上有解，又由f(−x)+f(x)=0⇒lg(m +x)+lg(m −x)=lg(m 2−x 2)=0， 即{m 2=1+x 2,x ∈[−2,2]∀x ∈[−2,2],m +x >0∀x ∈[−2,2],m −x >0，⇒{m 2∈[1,5]m >(−x)max ,x ∈[−2,2]m >(x)max ,x ∈[−2,2]⇒m ∈(2,√5](3)由题意得，函数f(x)=x 2−2x +t 恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，即f(−x)+k ⋅f(x)=0在R 上有解，则有(−x)2−2(−x)+t +k(x 2−2x +t)=0即(k +1)x 2+(2−2k)x +(k +1)t =0有解， 当k =−1时，x =0∈R ，满足题意，当k ≠−1时，对于任意的实数t ∈(−∞,2]，△=(2−2k)2−4(k +1)2t ≥0， 变形可得4(k +1)2⋅2−(2−2k)2≤0，解可得：−3−2√2≤k ≤−3+2√2， 由k ∈Z ，故k ∈{−5,−4,−3,−2,−1}．【解析】(1)根据题意，由“二阶局部奇函数”可得f(−x)+2f(x)=0，即tan(−x)−2sin(−x)=−2tanx +4sinx ，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案，(2)根据题意，分析可得f(−x)+f(x)=0在区间[−2,2]上有解，变形可得lg(m +x)+lg(m −x)=lg(m 2−x 2)=0，据此分析可得答案；(3)根据题意，可得f(−x)+k ⋅f(x)=0在R 上有解，则有(−x)2−2(−x)+t +k(x 2−2x +t)=0即(k +1)x 2+(2−2k)x +(k +1)t =0有解，结合二次函数性质分析可得答案．本题考查函数与方程的关系，关键是理解“k 阶局部奇函数”的定义，属于综合题．。
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福州八中2020-2021学年第一学期期末考试高一数学
第I 卷
一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.每题有且只有一个选项是正确的,请把答案填在答卷相应位置上.)
1.已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则()
A.M ∪N=R
B.M ∪N={x|-3≤x<4}
C.M∩N={x|-2≤x≤4}
D.M∩N={x|-2≤x<4} 2.函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间为()
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
3.已知角α的终边经过点A(-4, 3),则2sinα+cosα=() 2.5A - 2.5B 2.5C -或25 D.1
4.已知p:x>1,|x|>1则p 是q 的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知1231log 3,()5,log 2,2
b a
c -===则a,b,c 的大小关系为() A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c
6.函数2()(1)sin 1x f x x e
=-⋅+的图象大致为()
7.已知函数2()ln(1)f x x ax =-+-在[2,3]上单调递减,则a 的取值范围为()
A.(-∞,4]
B.[6,+∞) 10.(,4]3C 10.[,4]3
D 8.已知f(x)是定义域为(-∞, +∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.-50
B.0
C.2
D.50
二.选择题(本题共2小题,每小题5分,共10分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对得5分,有选错得0分,部分选对得3分.)
9.下列命题为真命题的是()
A.函数y=tanx 的图象关于点(,0)(2)k k π
π+∈Z 对称
B.函数f(x)=sin |x|是最小正周期为π的周期函数
C.若θ是第二象限角,则tan cos ,22θθ>且sin cos 22θθ
> D.函数2cos sin y x x =+的最小值为-1
10.若函数f(x)=1+4sinx-t 在区间(
,2)6ππ上有2个零点,则t 的可能取值为( ) A.-3 B.0 C.3 D.4
三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
11.已知某扇形的半径为3,面积为3,2
π那么扇形的弧长为___. 12.已知函数y=sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图所示,则φ=___.
13.已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x ϕπϕϕ---<-的图象关于y 轴对称,则f(x)在区间5[,612
ππ-]上的最大值为___.
14.设函数1()(x x f x ae a e =
+为常数).若f(x)为偶函数,则实数a=___;若对∀x ∈R , f(x)≥1恒成立,则实数a 的取值范围是___. 四.解答题(本大题共有3个小题,共30分解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.)
15.(本小题满分10分)
求下列各式的值:
（1）4log 92322lg25lg8log log 2723
+-⨯+ （2）145207cos()sin()tan()sin()3332
ππππ-+⋅- 16.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=sinx+3|sinx|.
(1)用分段函数形式写出f(x)在x ∈[0, 2π]的解析式,并画出其图象;
(2)直接写出f(x) (x ∈R )的最小正周期及其单调递增区间.
17.(本小题满分10分)
已知函数()(0,x x f x a a a -=+>且a≠1)
(1)若a=10,
求(1f -)的值:
(2)用定义证明f(x)在[0, +∞)单调递增;
(3)若[]()()3,0, 24x f x f x m ∀∈-+<+成立,求m 的取值范围.
第II 卷
五.选择题(本题共2小题,每小题4分,共8分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对得4分,有选错得0分,部分选对得2分.)
18.将定义域为[0, +∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:
(1)对任意的x ∈[0,+∞),总有f(x)≥0;
(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立, 下列判断正确的是()
A.若f(x)为“Q 函数”,则f(0)=0
B.若f(x)为“Q 函数”,则f(x)在[0, +∞)上为增函数
C.函数0,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
在[0,+∞)上是“Q 函数” D.函数2()g x x x =+在[0,+∞)上是“Q 函数”
19.已知函数f(x)是定义在(-∞, 0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,|1|2,02()1(2),22
x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩.下说法正确的是() A.当2<x≤4时,|3|11()22x f x --=- 1.(21)()()2
n B f n n N +=-∈ C.存在x 0∈(-∞,0)∪(0,+∞), 使得f(x 0)=2 D.函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为10
六.填空题(本大题共2小题,每小题4分,共8分.)
20.已知x>0,y>0, x+3y+xy=9,则x+3y 的最小值为___.
21.[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[-23]=-3,[6.32]=6. 设函数21(),21
x x f x -=+则函数y=[f(x)]的值域是___.
七.解答题(本大题共有3个小题,共34分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.)
22.(本小题满分10分)
已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<,直线3x π=
是函数f(x)的图象的一条对称轴. (1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移23
π个单位长度得到的,若6(2),(0,),352
g ππαα+=∈求sinα的值.
23.(本小题满分12分)
某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:2
(1)()2,kt x b p --=其中k,b 均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量均为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k ､b 的值;
(2)市场需求量q(万件)与市场价格x 近似满足关系式:2.x q p q -==时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
24.(本小题满分12分)
若函数f(x)在定义域内存在实数x 满足()()·,f x k f x k -=-∈Z , 则称函数f(x)为定义域上的“k 阶局部奇函数” (1)若函数f(x)=tanx-2sinx, 判断f(x)是否为(0,π)上的“二阶局部奇函数”并说明理由;
(2)若函数f(x)=lg(m-x)是[-2, 2]上的“一阶局部奇函数”,求实数m 的取值范围;
(3)对于任意的实数t ∈(-∞,2],函数2()2f x x x t =-+恒为R 上的“k 阶局部奇函数”,求k 的取值集合.。