函数可积与存在原函数的关系

函数可积与存在原函数的关系

本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。

一、 存在定积分但不存在原函数的例子

定义函数如下：

⎩⎨⎧=⋃∈=2

/1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(1

0=⎰x x f 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用

导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。

可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得

0d )()(0≡=⎰x

t t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。

二、 存在原函数但不存在定积分的例子。

定义函数如下：

⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=0

,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：

⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0

,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0

++→→-==-，这表明)0('F 存在，并且)0()0('f F =，这就证明了)(x F 是)(x f 在原函数，即)(x f 在原函数存在。

现在来考虑)(x f 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0,1]无界，因为任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，在这个区间上，21sin 2x

x 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但21cos 2x

x -这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取πn x x n 21

==，则其值为πn 22

1-，但若取π)12(1

+==n y x n ，则其值为π)12(2

1+n ，只要n 充分大，便可使),0(,δ∈n n y x ，同时)(,)(n n y f x f 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，从而在闭区间[0,1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以)(x f 的定积分不存在。

综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。

下面是关于导函数连续性定理的资料：

导函数连续性定理：若函数)(x f 在0x 的邻域)(0x U 内连续，在0x 的空心邻域)(00x U 内可导，并且导函数)('0x f 在0x 处存在极限a ，a x f x x =→)('lim 00，那么函数)(x f 在0x 处存在导数，并且a x f =)('0。

证明：设0x x <，)(0x U x ∈，则)(x f 在闭区间],[0x x 上连续，开区间),(0x x 内可导，于是由拉格朗日中值定理得

)(')()(0

0ξf x x x f x f =--，其中),(0x x ∈ξ 在上式中令-→0x x （即x 从左侧趋向0x ，此时ξ也从左侧趋向0x ），得到

a f x x x f x f x x x x ==----→→)('lim )()(lim 000

0ξ，即a x f =-)('0 这表明)(x f 在0x x =处左导数存在，且等于a ，同理可证明右导数存在，也等于a ，从而)(x f 在0x x =处存在导数，且等于a 。

注：条件中)(x f 在0x 处的连续性不可缺，因为拉格朗日中值定理要求闭区间连续，那么在证明左导数存在的时候必须要求)(x f 在0x 处左连续，证明右导数存在的时候要求)(x f 在0x 处右连续，合起来就是)(x f 在0x 处连续。

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