专题6.4 数列求和(课时训练)(解析版)

专题6.4 数列求和课时训练

【基础巩固】

1、已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2019项和为( ) A ．5 B ．－4 C ．0 D ．－2

【答案】B

【解析】由“凸数列”的定义及b 1＝1，b 2＝－2，得b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，∴数列{b n }是周期为6的周期数列，且b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0,2019＝336×6＋3，于是数列{b n }的前2019项和为336×0＋b 1＋b 2＋b 3＝－4.

2、已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的图象经过点P (1，3)，Q (2，5)．当n ∈N *时，a n ＝f （n ）－1f （n ）·f （n ＋1），

记数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n ＝10

33时，n 的值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【答案】D.

【解析】：因为函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的图象经过点P (1，3)，Q (2，5)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，a 2＋b ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－1，

b ＝4(舍去)，所以f (x )＝2x ＋1， 所以a n ＝2n ＋1－1（2n ＋1）（2n ＋1

＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 所以S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛51-31＋⎪⎭⎫

⎝⎛91-51＋…＋⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++121121

1n n ＝13－12n ＋1＋1，

令S n ＝10

33

，得n ＝4.故选D.

3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 2＝10，则S 15＝( ) A ．20 B ．75 C ．300 D ．150

【答案 D

【解析】 解法一：设数列{a n }的公差为d ，由2a 5－a 2＝10，得2(a 1＋4d )－(a 1＋d )＝10，整理得a 1＋7d ＝10，S 15＝15a 1＋15×14

2

d ＝15(a 1＋7d )＝15×10＝150.故选D.

解法二：由题意知，a 2＋a 8＝2a 5，所以2a 5－a 2＝a 8＝10，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15×2a 8

2＝150.故选D.

4、等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8

【答案】C

【解析】 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. 5、在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10

10＝2，则S 2 018的值等于( )

A ．－2 018

B ．－2 016

C ．－2 019

D ．－2 017 【答案】A

【解析】 (1)由题意知，数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1. 所以S 2 018＝－2 018.

6、已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390 D ．540

【答案】A

【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，

又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.

7、在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则该数列的前100项之和是( ) A ．18 B ．8 C ．5 D ．2 【答案】C.

【解析】：因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，所以a 3＝3－1＝2，a 4＝2－3＝－1，a 5＝－1－2＝－3，a 6＝－3＋1＝－2，a 7＝－2＋3＝1，a 8＝1＋2＝3，a 9＝3－1＝2，…，所以{a n }是周期为6的周期数列，因为100＝16×6＋4，所以S 100＝16×(1＋3＋2－1－3－2)＋(1＋3＋2－1)＝5.故选C.

8、在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( ) A ．132 B ．299 C ．68 D ．99

【答案】B

【解析】因为在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，所以a n ＋3＝a n ，即数列{a n }中各项是以3为周期呈周期变化的．因为a 7＝2，a 9＝3，a 98＝a 3×30＋8＝a 8＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝2＋4＋3＝9，所以S 100＝33×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 100＝33×9＋a 7＝299，故选B.

9．(2020·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，12，13，14， (1)

.①

第二步：将数列①的各项乘以n

2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .

则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B.(n －1)2

4

C.n (n －1)4

D.n (n ＋1)4

【答案】C

【解析】由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝

n 2

4

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯n 1-n 1431321211＝n 24⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1-1-n 141-3131-2121-1＝n 24⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 11＝

n (n －1)

4

. 10、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

【答案】C

【解析】 法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．

法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .