第五章 运输问题(运筹学讲义)

1.最小元素法
最小元素法是就近供应，即对单位运价最小的变量分配运输量。 假定运价表中cij 最小, 则分配运量xij ,使xij取尽可能大的值 xij=Min{ai, bj} 。即如果ai＞bj ，则取xij＝ bj，删除运价表中第j列， 修改剩余产量为ai－ bj 。 否则若bj ＞ai ，则取xij ＝ ai, 删除运价表中第i行，修改剩余需求 量bj － ai
盐湖城
萨克拉门 托仓库
WAREHOUSE 4 Albuquerque
澳尔巴古 奥尔巴古
P&T公司问题中的仓库和加工厂位置图
相关数据 Shipping Data
罐头厂 Output产量 75 车 125车 100车
仓库
萨克拉门托 盐湖城 赖皮特
分配量Allocation 80 车 65车 70车
贝林翰 尤基尼
B3 12 7
B4
ai
60
1
3
6
1
0
A2
5 A3
(42)
1 3 4
(30)
8 0
(18)
25 45
18
0
bj
b3＝25＞ a3 ＝18
7
最小元素法（续）
B1 A1 6 9 B2 B3 12 7 B4
ai
60
(8)
1 3 6
(7)
1
(45)
A2 5 A3
(42)
1 3 4
0
(30)wenku.baidu.com
8 0 7
(18)
差值法基于这种考虑，先计算所有行和列次小运费和最小运 费的差值（称为行差值和列差值），找出最大的差值，然 后根据其所在的行或列的最小运费来确定运量的分配。
差值法例 P58
增加行差值和列差值
B1
A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
60
行差值 1
1 A2 5 A3
3
6
1
(42)
1 3 4
42 0
0
48 50 30 25 45
(45)
A2 5 A3
(42)
1 3 4
42
(23)
50 30
(25)
25 45
48
bj
由此可以得到初始可行解为：
x11=8; x12=7； x14=45; x21=42; x32=23; x33=25;
初始方案的运输费用为： f1=6×8+9×7+7×45+1×42+1×23+3×25=566

物流中的一个普遍问题是如何以尽可能小的成本把
货物从一系列起始地（sources）（如工厂、仓库
）运输到一系列终点地（destinations）（如仓库 、顾客）
想想看！
如何分析这类问题
§1 运输问题模型实例 The P&T Company
分配网络 P189
例1 P&T公司是一家主要生产豌豆罐头的公司。它收购豌豆 并在食品罐头厂把它们加工成为罐头，然后再把这些罐头 食品分销到各地卖出去。豌豆罐头在三个食品罐头厂（靠 近华盛顿的贝林翰；俄勒冈州的尤基尼；明尼苏达州的艾 尔贝· 李）加工，然后用卡车把它们运送到美国西部的四 个分销仓库(加利福尼亚州的萨克拉门托；犹他州盐湖城； 南达科他州赖皮特城；新墨西哥州澳尔巴古)
Chapter 5 运输问题与指派问题
Transportation and Assignment Problem
§1运 输 模 型The Transportation model §2运输问题表上作业法 §3运输问题网络模型 Transportation Network §4 应用实例
运输问题 The Transportation Problem
艾尔贝.李
总数
300车
澳尔巴古
总数
85车
300车
总产量=总的需求量=300车，产销平衡 运输成本 每卡车
From
仓库 Warehouse
盐湖城 赖皮特 澳尔巴古
产量
\ To
萨克拉门托
罐头厂 贝林翰 $464 x11 $513 x12 $654 x13 $867 x14
75
尤基尼
艾尔贝.李 需求量
352 x 21 995 x
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0? 否 bj’ = 0
划去第i行
是
否所 均有 被行 划列 去是
是 找到初始基 本可行解
划去第j列
求运输问题的初始基本可行解过程
当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的需求量都改 为零的情况，这时应同时划去Ai行与Bj列。既在划去xij对应 一行（列），填上一个数时，也应划去xij对应列（行），在 任意被划去除xij 以外任一格内填上 0，这时出现退化解。
min f cij xij
i 1 j 1
m
n
s.t.
m
x
j 1
n
ij
ai i 1,2,, m
x
i 1
ij
b j j 1,2, , n
xij 0 i 1 , 2 ,, m
B1 A1 c11 [x11] B2
j 1 , 2 ,, n
…… ……
Bn c1n [x1n]
一般运输问题的提法：
假设 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地；B1、B2、…、 Bn 表示某物资的n个销地；ai 表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的需求量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。 如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ， 则称该运输问题为产 销平衡问题；否则，称产销不平衡。
45
0
bj
由此可以得到初始可行解为：
x21=42; x32=30; x33=18; x11=8; x14=45; x13=7
初始方案的运输费用为： f1=6×8+12×7+7×45+1×42+1×30+3×18=573
2 差值法Vogel’s 法
计算运价表各行各列中最小两个运价之差值
最小元素法可能导致其他供销点以更高的运费分配运量。次 小运费和最小运费的差额越大，说明在该处如果不能以最 小运费运送，按次小运费运送的费用将很大，因此次小运 费和最小运费的差额为该供应地和需求地的罚数。若罚数 的值不大，当不能以最小运费安排运输量时造成的运费损 失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运费安排运 输量时造成的运费损失很大。
§2 运输问题求解——表上作业法
基本步骤 初始方案的确定 （1）－ 寻找初始方案的方法最小元素法 （2）－ 寻找初始方案的方法最大差值法 最优解判定 －位势法 非最优方案的改进－闭回路调整法 多最优解的判断及处理方法
一、初始基本可行解的确定
初始基本可行解的取值要满足下面条件： ① 所得的变量均为非负，且变量总数恰好为m + n – 1 个； 得到了一个初始基本可行解。否则，在剩下的运输平衡表中 选下一个变量， ② 所有的约束条件均得到满足；
ai
(42)
5 1 3 4
b1＝50＞ a2 ＝42
A3
0
48
bj
50
8
30
25
45
最小元素法（续）
B1 A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
60
1
3
6
1
A2
5 A3
(42)
1 3 4
0
(30)
8 30 25 45
48
18
bj
0
a3 ＝48 ＞ b2＝30
最小元素法（续）
B1 A1 6 9
B2
80
31
416 x22 682 x
32
65
690 x23 388 x33
70
791 x24
685 x34
85
125
100
线性规划模型
设Let xij = 从罐头厂i 运往仓库j卡车数 the number of truckloads to ship from cannery i to warehouse j (i = 1, 2, 3分别表示贝林翰罐头厂，尤基尼罐头厂，艾 尔贝.李罐头厂； j = 1, 2, 3, 4分别表示萨克拉门托仓库，盐湖城仓库，赖皮特 仓库和澳尔巴古仓库) 则线性规划模型为
ai a1
c12 [x12]
A2
……
c21 [x21]
……
c12 [x22]
……
……
…… …… ……
c1n [x2n]
……
a2
……
Am bj
cm1 [xm1] b1
cm2 [xm2] b2
cmn [xmn] bn
am ∑ai =∑bj
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n)个约
束方程。其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。 x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
P&T Company Distribution Problem
贝林翰罐 头工厂 尤基尼 工厂
CANNERY 1 Bellingham
赖皮特
WAREHOUSE 3 Rapid City
艾尔贝.李工厂
CANNERY 3 Albert Lea
CANNERY 2 Eugene
WAREHOUSE 2 Salt Lake City WAREHOUSE 1 Sacramento
u1 1 u2 um v1 1 v2 vn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
例 2(19) 设有三座铁矿山 Ai（i＝1，2，3），生产矿石，另 有四个炼铁厂 Bj（j＝1，2，3，4）需要矿石，各矿日产量为 ai，各厂日需量为 bj，以及对应的运价（单位物资的运输费 用）为 cij， cij由下面产销运价表给出，问：应怎样调运矿石 才能使运费最小？ P58 解
A1 6 B1 9 B2 B3 12 7 60 1 A2 3 6 1 42 B4
3、成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所 配送的数量成线性比例关系，因此这个成本就等于配送的单位成本乘 以所配送的数量
4、整数解性质：当供应量和需求量都是整数，必存在决策变量均为整数 的最优解
运输问题解中非零变量的个数不超过m+n-1个，因为m+n个约束中只有 m+n-1个是独立的。基变量在迭代过程中保持为m+n-1个。 用单纯形来求解运输问题，需要加m+n个人工变量，产生一个变量数 为mn +m+n的线性规划，求解比较复杂，需要寻求更简便的解法。
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 需求量 B1 c11 c21 ┇ cm1 b1 B2 … Bn c1n c2n ┇ cmn bn 产量 a1 a2 ┇ am
c12 … c22 … ┇ cm2 b2 ┇ … …
解：设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量
对于产销平衡问题，可得到下列运输问题的模型：
2
bj
列差值
4
2
3
3
8
b1 ＝50 ＞ a2 ＝48
差值法例 P58
增加行差值和列差值
B1
A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
60
行差值 1
1 A2 5 A3
3
6
1
(42)
1 3 4
0
(25)
8 30 25 45
48
23
2
bj
列差值
1
8
9
3
0
a3 ＝48 ＞ b3 ＝25
差值法例 P58
增加行差值和列差值
Minimize Cost = 464x11 +513x12 + 654x13 +867x14 +352x21 + 416x22 +690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34 subject to 罐头厂 1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75 罐头厂 2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125 罐头厂 3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100 仓库 1: x11 + x21 + x31 = 80 仓库 2: x12 + x22 + x32 = 65 仓库 3: x13 + x23 + x33 = 70 仓库 4: x14 + x24 + x34 = 85 xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
B1
A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
(45)
60
行差值 1
(8)
1 3
(7)
6 1
A2 5 A3
(42)
1 3 4
0
(23)
8 30 0
(25)
45
23
0
3
bj
列差值
1
8
3
7
b2 ＝30 ＞ a3＝23
差值法例 P58
B1 A1 6 9 B2 B3 12 7 B4
ai
60
(8)
1 3
(7)
6 1
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和第m+j个为1以
外，其余的都为零。即Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T= ei+em+j
运输问题的特征Characteristics of Transportation Problems
运输问题的假定数学模型为： 1、需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必 须配送到目的地。与之相类似，每一个目的地都有一个固定的需求量， 整个需求量都必须由出发地满足 2、 可行解假定：当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解，且有最优解