函数与方程 高考真题复习 高考复习

h(2) 0, 2 b 0, 7 h(x)=x -5x+8-b,需 5 即 25 解得 <b<2. h 0, 4 8 b 0, 2 4 7 综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故选D. 4
2
x 2 2ax a, x 0, 5.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)= 2 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异 x 2ax 2a, x 0.


7
C. 0, 4

7
D. ,2
7 4

答案 D 由已知条件可得g(x)=
b 2 | 2 x |, x 0, 函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示: 2 b x , x 0.
要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x<0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则


x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
B组 自主命题· 省（区、市）卷题组
考点 函数的零点与方程的根
) B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x 答案 A
y=cos x是偶函数,且存在零点;y=sin x是奇函数;y=ln x既不是奇函数又不是偶函数;y
2 t -t
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0, 所以a= = ,故选C. 方法总结 (1)函数f(x)零点个数的问题可等价转化为方程f(x)=0解的个数的问题.
1 0 1 2 2
(2)求参数范围的方法主要是分离参变量法和构造函数法.
x 1 解后反思 本题也可转化为函数y=1-(x-1)2的图象与y=a e
)
B.[0,+∞) D.[1,+∞)
答案 C 本题主要考查函数的零点及函数的图象.
e x , x 0, g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图, ln x, x 0
当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故 选C.
要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去), ∴m≥3. 综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).
方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数 的值或取值范围. ②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决. ③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.

1 的图象只有一个交点,分a= e x1
0,a<0,a>0三种情况,结合函数单调性求解.
3.(2018课标全国Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos 3x 在[0,π]的零点个数为 6



.
答案 3 解析 本题考查函数与方程.
k 4 7 令f(x)=0,得cos + (k∈Z).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x= ,又 3x =0,解得x= 3 9 9 9 9 6
答案 B
f(x)=
x 1, x 2, 1 如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= . 3 x , x 2. 2
要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,
2 <k<1.
1
3.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y= x +m的图象有且只有一个交
设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0, 则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)· m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点, 则h(x)在(0,1)上有零点. 因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
高考理数
(课标Ⅱ专用)
§ 2.6 函数与方程
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点 函数的零点与方程的根
e x , x 0, 1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取 ln x, x 0,
值范围是 ( A.[-1,0) C.[-1,+∞)
1 ,即x = 得ln x0=- 0 e 2 ,则a=
1
2
1
2(e )
1 2 2
e. = 2
当a= 时,x0= e 2 满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,
因此,a的值为 . (3)f '(x)=-2x,g'(x)=
2 0
3 2 x0 be x ( x 1) x0 , x ≠ 0, f '( x )= g '( x ) ⇒ b =>0⇒x0∈(0,1), e 0 0 x2 x0 1
1 2 1 C. 2
)
A.-
B. D.1
1 3
答案 C 由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,
1 t2 令t=x-1,则上式可化为t -1+a(e +e )=0,即a= . et e t 1 t2 令h(t)= ,易得h(t)为偶函数, et e t
Δ1 a 2 4a 0, 则 ∴4<a<8. 2 Δ2 a 8a 0,
情况二:
Δ1 a 2 4a 0, 则 不等式组无解. 2 Δ a 8 a 0, 2
综上,满足条件的a的取值范围是(4,8). 解题策略 解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点
4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=
恰有4个零点,则b的取值范围是 ( A. ,
wenku.baidu.com 4
2 | x |, x 2, 函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x) 2 ( x 2) , x 2,
)

B. , 4
=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k
的取值范围是 ( A. 0, 2
1
) C.(1,2) D.(2,+∞)
B. ,1 1 2
1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.
C组 教师专用题组
考点 函数的零点与方程的根
) 1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分,0.526)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 ( A.∃x0∈R, f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
e 2

1
e 2
2 2 x0 2 x0 2 x0 b e 2 f(x0)=g(x0)⇒- x +a= =⇒a= , x0x0 1 x0 1 x0 2 x 2 -a= x3 3 x 2 ax a ,x∈(0,1),a>0, 令h(x)=x2- x 1 1 x
思路分析 本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决
2 2 x0 问题,第三问中先利用f '(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a= x ,从而转化为 x0 1
2 0
x3 3 x 2 ax a 研究h(x)= ,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0, 1 x
方法总结 已知函数零点的个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数 问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
2.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (
的实数解,则a的取值范围是 答案 (4,8) 解析 本题主要考查函数零点的应用.
x 2 ax a, x 0, 设g(x)=f(x)-ax= 2 x ax 2a, x 0,
.
方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点, 满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况: 情况一:
点,则正实数m的取值范围是 ( A.(0,1]∪[2 3 ,+∞) C.(0, 2 ]∪[2 3 ,+∞) )
B.(0,1]∪[3,+∞) D.(0, 2 ]∪[3,+∞)
答案 B ①当0<m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= x +m的图象,如图.
易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点; ②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= x +m的图象,如图.
y 2 x, 2 y b x
Δ 1 4(2 b) 0, 7 解得 <b<2; 4 2 b 0,
y ( x 2) 2 , 同时要满足 在x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令 y b 2 x 2
问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.
6.(2018江苏,19,16分)记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f '
(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”; (2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值; (3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)= .对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞) 内存在“S点”,并说明理由.
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0 答案 C 由三次函数值域为R知f(x)=0有解,所以A项正确;因为y=x3的图象为中心对称图形, 而f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可以由y=x3的图象平移得到,故B项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0 有两个不等实根x1,x2(不妨设x1<x2), f '(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),则f(x)在(-∞,x1)上为增函数,在 (x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,故C项错误;D项正确.故选C. 思路分析 利用导数的求导法则得出f '(x),求方程f '(x)=0的两实根,由此得到函数f(x)的增减 性,进而得到正确答案.
因此, f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”. (2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,
1 则f '(x)=2ax,g'(x)= , x
2 ax0 1 ln x0 , 2 ax0 1 ln x0 , 设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),得 即 (*) 1 2 2 ax , 2 ax 1, 0 0 x 0
be x x
解析 本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题的能力以及逻辑推理能力. (1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2, 则f '(x)=1,g'(x)=2x+2, 由f(x)=g(x)且f '(x)=g'(x),
x x 2 2 x 2, 得 此方程组无解. 1 2 x 2,