3.4-1生活中的优化问题举例

3.4-1 生活中的优化问题举例

【学习目标】

1、求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；

2、理解0)(/

x f 仅解到一个根时，若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

【学习过程】

模块一 教材助读

1、 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常

称为

2、用导数解决优化问题的实质是

3、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1)与几何有关的最值问题；

2)与物理学有关的最值问题；

3)与利润及其成本有关的最值问题；

4)效率最值问题。

利用导数解决优化问题的基本思路：

模块二 优化问题举例

例1、海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计

一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两

边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周

空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值.

小结 利用导数解优化问题的步骤：

【思考】在课本例1中，“16x =是函数()S x 的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

结论：在实际问题中，由于()'f x =0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

例2、 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 2

0.8r π分，

其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.

D E

A

B C

模块三 课后作业

1、以长为20的线段AB 为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为（ ）

A 、15

B 、25

C 、50

D 、200

2、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.152

x 和L 2=2x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）

A 、45.606

B 、45.6

C 、45.56

D 、45.51

3、路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min

的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直

线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）/m s A 、72 B 、720 C 、2120 D 、21 4、将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A 、2和6 B 、4和4 C 、3和5 D 、以上都不对

5、某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝⎛

⎭⎫60－x 2(0

A 、30

B 、40

C 、50

D 、以上都不正确

6、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为

A 、6

B 、8

C 、10

D 、12 ( )

7、内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )

A 、R

B 、2R

C 、43R

D 、34R

8、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )

A 、

33cm B 、1033cm C 、1633cm D 、2033cm

9、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )

A 、h ＝2R

B 、h ＝R

C 、h ＝2R

D 、h ＝2R

10、以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )

A 、10

B 、15

C 、25

D 、50

11、设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )

A 、3V

B 、3V π

C 、34V

D 、23V 2π

12、若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )

A 、2πr 2

B 、πr 2

C 、4πr 2

D 、12πr 2

12、把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．

14、将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2：1及3：2的矩形，则面积之和的最小值为________．

15、做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．

16、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．

【课后反思】