“尺棰命题”的悖论何在

“尺棰命题”的悖论何在郭龙先;刘秀【摘要】＂A foot-long stick, which is taken half each day, will be never exhausted eternally ＂ is the famous proposition of ＂debaters＂pre-Qin Dynasty. The infinite partition and the inverse process of＂a foot -long stick＂ make people the first time realize that the ＂ many a little makes a mickle ＂is a correct principle in a limited range, and the limitations and contradictions when it is applied to an infinite field. The ＂ foot-long stick proposition＂ of ＂debaters＂ had irrefutably proofed infinite number of non-zero volumes, whose sum is not all infinitely great. The genius discovery , was a strong evidence of convergence problem of infinite series which were touched by Chinese scholars in pre- Qin Dynasty, played an important role. in the history of mathematic thought .%“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是先秦“辩者”提出的著名命题．“一尺之棰”的无限分割及其逆过程，使人们第一次认识到了“积少成多”这一在有限范围内正确的原则，应用于无限领域时产生的局限和矛盾．“辩者”所构造的“尺棰命题”无可辩驳地证明了无穷多个不为零的量，其和并非都是无穷大．这一天才的发现，是中国学者早在先秦时期就已接触到无穷级数敛散性问题的有力证据．【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)002【总页数】6页(P7-11,68)【关键词】先秦;辩者;尺棰命题;“积少成多”;悖论【作者】郭龙先;刘秀【作者单位】云南昭通学院数学系,云南昭通657000;云南昭通学院数学系,云南昭通657000【正文语种】中文【中图分类】O11“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是《庄子·天下篇》中的一个非常著名的辩题，在现代极限理论中常常引用它作为例证.在战国时以辩论名实问题为主，被后世称为“名家学派”的一批思想家，他们常提出一些违反常规的“琦辞”、“怪论”，如：“白狗黑；马有卵；火不热；轮不辗地；矩不方，规不可以为圆；飞鸟之影未尝动也”；“镞矢之疾，而若不行不止之时”等，即所谓“辩者二十一事”.据说他们对所提出的论题均给出过具体的论述，但由于这些资料没有被完整地保留下来，因此，后人对该学派产生了诸多误解，并称其为“诡辩学派”.对“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题(以下简称“尺棰命题”)，我们多数人都会觉得是理所当然的正确命题，并认为这是物质无限可分的科学思想，是揭示有限与无穷“辩证统一”关系的精辟论断.当然，今天我们可以这样理解，但并不能保证古人当时的想法就果真如此.如上所述，“辩者”的论题无一不是异中求同，同中求异，时时别出心裁，处处标新立异，其惊人之举就在于务求与人们熟悉的普通常识背道而驰，或者直接以悖论的形式出现，否则就不成其为“辩者”的论题了.先秦时期的“名家者流”不可能摇身一变就成了辩证法大师.那么，“尺棰”命题的悖论究竟何在呢？1 中国古代的无限观念有限和无限一直是人们必须面对的矛盾，对有限的理解原则上没有不可克服的困难，但对无限的把握仅凭经验是无能为力的.对没有掌握集合论和现代高等数学的古人来说，其无限的观念只能是建立在对有限不断超越的直觉之上.人们是通过“积少成多”这一有限的经验引申和外推来理解无穷大这一概念的.我国历史上有许多著名的格言，对“积少成多”作过生动的阐述.诸如“天下之势，积渐成之也”；“九层之台，起于垒土”；“不积跬步，无以至千里；不积细流，无以成江海”等等.这种种说法都蕴含了任何微小的事物，经过无数次的积累，必将成为庞然大物的意思.正如民谚所说：“小数可成大数，零数可成整数”.《山海经》中“精卫衔微木，将以填沧海”的神话，堪称古人“积微成著”观念的绝佳事例.对此，东晋学者张湛在注释《列子》时曾作过总结性的论述，他写道：世咸知积小可以高大，而不悟损多可以至少.夫九层起于垒土，高岸遂为幽谷.苟功无废舍，不期朝夕，则无微而不积，无大而不亏矣.今砥砺之与刀剑相磨不已，则知其将尽.二物如此，则丘壑消盈无所致疑.若以大小、迟速为惑者，未能推类也.[1] 张湛的上述言论包含了无限过程与无限小量的思想萌芽.所谓“不期朝夕”即不限于一朝一夕，这其中就明显暗含着一个无限的过程.“无微而不积”中的“微”与“积少成多”中的“少”都意味着“有”(大于零)而非“无”(等于零)，否则，空无一物的累积将是毫无意义的.就近现代数学的观点看，“积少成多”只是一个笼统的说法，是一般人的经验常识.古代的人们对“多”与“少”这一对概念的认识是粗浅和模糊的.尽管他们没有关于无穷大和无穷小的现代知识，也没有无穷集合的数学意识，但是中国古代学者仍然讨论过无穷大量与无穷小量的问题.《庄子·天下篇》中，惠施的“历物十事”的第一个命题为“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一.”根据《说文解字义证》的解释：“一”的意思是事物的极限.“大一”即无穷大；“小一”，从量上说可以小到零.“至大无外，至小无内.”无穷这一概念朝大的方向和小的方向分别引出了宇宙论和逻辑学、数学等方面的问题.当“有”变为越来越小的“微”与“少”时，就不可避免地涉及无穷小量的问题.中国古人对于零与非零无穷小量的区分是用“无”与“有”来表达的，零是无穷小量中最简单和最小的.惠施还有一个命题：“无厚不可积也，其大千里”就说明这层意思.所谓“无厚”就是几何上的一个平面(其厚度为零).无限个厚度为零的平面加在一起，其厚度的总和仍然是零.“无厚不可积”这一命题可理解为无穷级数：0+0+0+…+0+…=0也就是无穷多个“无”(等于零的无穷小量)累加在一起，其结果仍然是“无”(零).如果在“积微成著”的无限过程中，所“积”的“微”并非“无”而是“有”(非零无穷小)，那么，古人认为这样的累积增长将是永无止境的，必然导致无穷大的结果.用现代数学语言表达就是：无穷多个大于零的量，其和等于或大于任一给定的量.2 东西遥相呼应——“尺棰命题”与“芝诺悖论”在早期希腊人的理性数学活动中，对长度、面积、体积等度量问题也同样倍感兴趣.正是在这些问题的探索中，他们做出了许多关于无限性、连续性等方面具有重大意义的发现.约公元前450年，伊利亚学派的芝诺提出了四个悖论，将无限性概念所遭遇的困难揭示无遗.根据亚里士多德《物理学》记载，这4个悖论的内容是：1)两分法.运动不存在，因为位移的事物在到达目的地之前必先抵达一半处；在抵达一半处之前又必先抵达四分之一处，……，依此类推可至无穷.2)阿基里斯.阿基里斯永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷.3)飞箭.飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一“瞬间”都是如此.4)运动场.空间和时间不能由不可分割的单元组成.假设不然，运动场跑道上三排队列A，B，C，令C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言都是每瞬间移动一个空间单元的位置.这样一来，A上的点就在每瞬间离开C两个空间单元的距离，因而产生了“一倍的时间等于一半的时间”的悖论，说明必定存在更小的时间单元.[2]历史往往有惊人的相似之处，中国先秦“辩者”所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“飞鸟之影未尝动也”；“镞矢之疾，而若不行不止之时”等命题，与“芝诺悖论”中的“运动不存在”、“阿基里斯永远追不上乌龟”、“飞着的箭是静止的”等问题，可谓东西遥相呼应，英雄所见略同，各有异曲同工之妙.由于文字简略，史料缺乏，“辩者”的立论根据究竟何在，学者们至今仍有不同的看法，但对于这些命题同样涉及有限与无限的分别，揭示了连续和间断的矛盾的观点，却是学术界一致公认的.同样，关于“芝诺悖论”的真实意图，也是历来争论不休，数学史家认为其主要论证了以下两个问题：如果点有大小，那么由无穷多个点构成的线段就不可能是有限的.如果点没有大小，无穷多个点就不会构成一个有一定长度的线段.也有人认为：“芝诺悖论”的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无限小量的思想.要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答.此外，还有人将“芝诺悖论”理解为：要通过有限长度，必须通过无穷多的点，这即意味着必须到达没有终点的某种东西的终点.罗素说：事实上，芝诺关心的是三个问题.每一个都用运动来表达，但每一个都比运动更抽象，而适合于纯粹的算术处理.这就是无穷小、无穷大和连续的问题.清楚地描述出所涉及的困难也许就完成了哲学家的任务中最困难的部分.[3]哲学史家认为“芝诺悖论”，一是从论证单一否定众多；二是论证静止反对运动，使用的方法都属“归谬法”.赵敦华说：“虽然数学计算的结果也可以显示这些悖论的错误，但是它们却不是简单诡辩，它们饱含着相当深刻的哲学意义.”[4]“芝诺悖论”如此尖锐地与人们的常识相违背，因为它与无限问题密切相连，导致古希腊数学家对无穷望而却步，不得已而将其排斥在数学推理之外.M·克莱因说：“在希腊科学中，无穷的概念几乎不被人们理解，并且人们都很自然地避免使用它.……无限过程这一概念使他们困惑，因此，他们在‘宁静的无限空间’面前退缩了.”[5]自1647年格雷戈里提出，可以用无穷几何级数求和的办法解决阿基利斯追乌龟的悖论之后，得到了许多数学家的赞同.但至今仍然有一些人反对这种简单的解释，并且拒绝承认这个问题已被解决.赵敦华在其所著《西方哲学简史》一书中便写道：我们之所以可以用“极限”概念说明芝诺悖论的错误，那只是因为“极限”已经预先设定了与之相反的前提.再说，“极限”概念的基础本身就是一个问题，按当代数学哲学中逻辑主义的解释，“极限”概念可被还原为符号逻辑公式.如果我们用深层的逻辑语言代替描述芝诺悖论，那么芝诺悖论的形式和解答将复杂得多.[6]正当数学家以收敛无穷级数求和的观点，给出芝诺悖论的逻辑和数学解释尚未完全得到公认之时，又产生了比芝诺悖论更加棘手的“抛球奇论”：设一小球在A，B两人之间传递，规定球从A传到B手中用二分之一分钟，从B抛回A处用四分之一分钟，依此类推，球在A，B之间来回传递的时间依次为那么当时间恰到一分钟时，该球究竟会落在谁的手中？小球传递到第n次时所耗费的时间总和是：从上式看，当n取奇数时，落在B处，取偶数时落在A处.虽然小球越抛越快，但双方抛球时间的总和要达到1分钟，必须经过无限个来回.即无穷大是没有奇偶之分的.恰到一分钟时，说球落在A处或B处都有“理由”，但又与球在任何时候都应该具有确定的位置这一固有的观念产生了矛盾.潜无穷论者因为不承认无穷过程会有尽头，他们认为球可以无休止地往复下去，故而对该问题可以避而不答.而实无穷论者由于主张无穷过程也有终结的时候，所以必须回答球究竟落在谁手中这一问题，但却无法给出一个明确的解决方案.徐利治根据他所提出的“双相无限”理论，认为当时间恰到一分钟时，球落在A、B手中各无限多次.这一答案虽然有些奇怪，但是按照现代非标准分析的思想并不难理解.[7]芝诺提出的四个悖论迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题，也是推动17世纪以来变量数学发展的动力之一.丹齐克指出：“这四论在历史上的重要性，是怎样估计也不为过分的. 其理由之一是，他们促使希腊人对时间概念采取了新的态度.” 数学史家F·卡约里说：“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史.”3 “尺棰命题”揭示了朴素无穷观的局限与矛盾芝诺悖论的提出，说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾.罗素说：“这种形式或那种形式的爱利亚的芝诺论证，引起了几乎整个关于时间、空间和无限的理论，这些理论从他那时起到今天，一直在被人们发展着.”辛普里丘在《〈物理学〉注释》中记述了他所理解的芝诺悖论的大意：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大.[8] 与此类似，“积微成著”、“积少成多”也是中国人根深蒂固的观念.如果将“积少成多”这一朴素思想推之于无限领域，中国古人同样认为无穷多项不为零的量，不断累积的结果将是没有止境的.先秦名家学派提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的命题，与芝诺悖论有异曲同工之妙.但其目的却在于指出“积少成多”这一原则运用于无穷领域时，并非总是得到无穷大的结果.这似乎与芝诺“二分悖论”所强调的“若分割结果不是零，则无限总和是无限大”的结论正好相反.有一种观点认为，芝诺是要证明无穷分割为运动的不可能，所以他运用归谬法，先设其可能，因而假定善走者终不能追过前行的龟走.但事实上善走者却可追过龟，所以说距离的无穷分割是虚伪的，不可能的.惠施则不然，他是由无穷分割出发，而承认其可能的.[9]中国古代的学者对于无限过程有着清晰的表达，但却缺乏对无穷大量和无穷小量精确分析的思想方法和技术手段.刘徽的“割圆术”中“割之又割”是一个无限分割的过程；而“不可割”和“无所失”则表示已经到了分割的误差为零的程度，其思想正是实无限的观点.它与先秦辩者“日取其半，万世不竭”的潜无限观正好相反. 就先秦时代而言，“积少成多”这一原则不仅在有限范围内正确，而且在人们心目中它同样适用于无限领域，即只要累积的次数无限多，那么其数量势必会超过任何有限量.对此，同时代的古希腊学者也持有相同的观点.伊莱·马奥尔指出：“希腊人拒绝接受这样一个事实：无穷和能累积达到一个有限值，也就是说可以收敛于一个极限.”[10]明白这一点，对完整理解“尺棰”命题所蕴含的“怪论”“琦辞”至关重要.辩者对一尺之棰的无限分割，实际上构造了一个无穷递缩等比数列，其通项为1/2n：该数列中各项的值，可看成是由“一尺之棰”经过不断的“日取其半”而得到的，但这却是一个“万世不竭”的过程.因此，下面的等式是显然成立的，即(1)通过“尺棰命题”，上述等式获得了一定的直观性.因此，不难被人们理解和接受.反之，若求(2)的和，就超出了人们对有限项求和的知识范围，如果仅凭直观和经验常识，就无法得出精确的结果.但若认为(1)式正确，那么就有：有趣的是一百多年前，钱穆的小学老师就曾以此为题考查学生们的聪明程度.钱穆在《八十忆双亲师友杂忆》一书中写道：一日，逢月考，先生在黑板上出四题，诸同学皆瞠然不知所答.一题为余意此即庄子一尺之棰，日取其半，万世不竭也.因以0……1为答，幸得之.余三题皆类此，恨不复忆.一同学亦答其中之一题.全班惟余等两人各中一题，各得七十五分.余皆全不中，各得六十分.先生笑曰：聊以试诸生之聪明耳.答不中，尽无妨.[11] 现代级数理论告诉我们，要求一个无穷级数之和，必先考虑其敛散性.若要计算下列级数之和：(3)则不惟古人，即使对现代人来说也并非易事.当然，今天我们知道这是一个发散的调和级数，但如果按照古代“积少成多”的这一认识原则，那么可以认为级数(3)式与无穷级数：1+1+1+…+1+…(4)有完全相同的特征，所以一定是发散的.由此推之，无穷级数(2)式也自然被认为是与(3)式、(4)式两个级数有相同的性质，其无限多项之和都是无穷大.辩者提出“尺棰命题”，正是要对这一想当然的“公理”进行质疑和否定.就“一尺之棰”可以不断分割而言，如果将分割下来的小截段又重新连接起来也是可行的.因为分割与连接的操作过程完全对称，并且是相互可逆的，两者之间具有一一对应的关系.那么相对于一尺之棰，“日取其半”的可逆过程，就是将分割结果又重新“日续其半”，不断地累加起来.也就是把长度为尺，尺的尺的的将所有这些小截段依次连接起来，最终必然得到与分割之前完全相同的“一尺之棰”，这一不断累加的过程，可用数列表示如下：该数列的极限为1，这在直观上也是一目了然的.亦即下面的等式是严格成立的：等式左边无穷级数的和为1.若去掉某些项，其和必将小于1.无穷多项的和居然是一个有限量，的确令人难以置信！辩者的这一发现，否定了“积少成多”总可以导致无穷大这一公认的常识.“尺棰命题”涉及有限与无穷的问题，不仅古人不理解，就是现代学者也是众说纷纭.徐利治在《论自然数列的二重性与双相无限性及其对数学发展的影响》一文中写道：在P.J.Davis和R.Hersh合著的《数学经验》一书中考察了方程并认为“方程左边似乎是一种不完全的东西，一种无限的努力.右边则是有限和完全.两边之间的张力就是力量和悖论的源泉.”[12]针对这一玄妙的说法，徐利治认为“级数等式正好表明了一个有限量的一种真无限分解形式，恰恰是项数的真无限性质保证了等式的精确成立，因而不可能产生悖论.”4 结语：“尺棰命题”是对古代无限观的一次超越先秦名家学派所提出的“尺棰命题”，是以构造直观的几何模型作为反例，无可辩驳地证明了“积少成多”这一源自有限经验的原则并非永远成立，无穷多个不为零的量，其和并不都是无穷大，也可以是有限量.表示“尺棰命题”的无穷级数其和等于1，这一收敛无穷级数的发现，无疑是与当时公认的“积少成多”这一朴素无限观相矛盾的，这就是该命题的“悖论”之所在，也是名家学派对人类科学进步所作出的重要贡献.其意义和影响正如著名数学家丹齐克所言：这序列的和的项有无限之多，但是其值表示有限数1.收敛和极限这两个概念的采用，固然可以根据各种理由加以反对，不过一旦接受了之后，芝诺所说的无穷级数之和一定是无限的，就完全失去依据了.[13]“尺棰命题”虽然深刻地揭示了经验常识与理性思维的矛盾，但也是那个时代的人们难以解决的问题.直到19世纪，无穷级数的敛散性都还是困扰许多大数学家的问题，在对无穷级数的研究过程中，产生了很多以其奠基者命名的级数判敛法则，如“达朗贝尔比值判别法”、“柯西根值判别法”、“阿贝尔判别法”、“狄利克雷判敛法”等.而令人惊叹的是，中国学者早在先秦时期就已接触到了无穷级数敛散性问题.中国“辩者”提出的“尺棰命题”与古希腊著名的“芝诺悖论”遥相呼应，两者的认识水平与思辨深度堪称伯仲，都对当时的思想界引起了极大的震动，在世界数学思想史上均占有重要地位，而它们的遭遇也有着惊人的相似之处.在西方，直到19世纪中叶，学者们依然普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩.罗素曾感慨道：在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了.死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了.他虽然发明了四个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩.遭到两千多年的连续驳斥之后，这些诡辩才得以正名.[14] “一尺之棰”的无限分割及其逆过程表明，虽然“一尺之棰”是一个有限的物体，但它却可由无穷多个不为零的部分所组成.“一尺之棰”的无限分割及其逆过程，使人们第一次认识到了“积少成多”这一在有限范围内正确的原则，应用于无限领域时产生的局限和矛盾.这一天才的发现，是中国学者早在先秦时期就已接触到无穷级数敛散性问题的有力证据，在数学思想史上占有重要地位.可见，早在先秦时代名家学派对有限与无限关系的认识就已经达到了一个新的高度，厘清了无限性概念中存在的错误观念，使人类对无限的认识由此产生了一次质的飞跃.遗憾的是，“尺棰命题”如此清楚明白的例证背后所蕴藏的精湛而卓越的思想，虽然在当时曾引起过注意，并被记录在案，但却后继乏人，长期以来既受冷落，又遭误解，以致两千多年中几成绝响！[参考文献]【相关文献】[1]张湛.列子注[G].//诸子集成(3).上海：上海书店出版社，1986：55-56.[2]苗力田.亚里士多德全集(第二卷)[M].北京：中国人民大学出版社，1997：184-186.[3][美]戴维斯·福斯特·华莱士.跳跃的无穷——无穷大简史[M]. 长沙：湖南科学技术出版社，2009：41.[4]赵敦华.西方哲学简史[M].北京：北京大学出版社，2000：30-31.[5][美]M.克莱因.西方文化中的数学[M].上海：复旦大学出版社，2004：56.[6]徐利治.数学方法选讲[M].武汉：华中理工大学出版社，2000：113-114.[7]苗力田.古希腊哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1996年：100-101.[8]陈鼓应.庄子今注今译(下)[M].北京：中华书局(最新修订重排版)，2009：956.[9][以色列]伊莱·马奥尔.无穷之旅——关于无穷大的文化史[M].上海：上海教育出版社，2000：26.[10]钱穆.八十忆双亲师友杂忆[M].北京：生活·读书·新知三联书店，1998：64.[11]徐利治.论数学方法学[M].济南：山东教育出版社，2003：497.[12][美]丹齐克.数科学的语言[M].北京：商务印书馆，1985：121.[13]周焕山.世界著名数学家传记上集[M].北京：科学出版社，1997：28.。