举例说明化归三个方法
《数学方法论》数学中的化归方法
第五章 数学中的化归方法就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。
对于上述问题、匈牙利着名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名着《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。
她所给出的事例是这样的：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答。
但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。
但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。
”罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。
这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。
”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。
本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。
§5.1 化归方法的基本思想与原则人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。
例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。
这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。
“化归”是转化和归结的简称。
化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。
立体几何中的化归方法
立体几何中的化归方法立体几何中的化归方法: 一种利用几何图形关系对复杂问题进行归类和解决的有效方法。
立体几何学是一门涉及几何图形、几何性质和几何结构的学科，它主要讨论几何关系和几何图形之间的关系，也就是所谓的立体几何结构或几何形状。
立体几何中的化归方法可以定义为利用一组简单的规则、运算和几何性质，将复杂的几何形状化简为更加简单的表达。
这种方法有助于深入理解几何形状和结构，从而更好地探索立体几何。
一、化归方法概述化归方法指的是将复杂的几何形状、几何面、立体几何图形等简化为更简单或更高维度的形式。
这样做的目的是使复杂结构体可以更加容易分析，从而获得更准确和更完整的信息。
一般来说，化归方法包括多种形式的几何形状的化简和标度变换，比如多边形的等边化、几何体的局部平头和部分形变等等。
二、多边形的等边化多边形的等边化是将多边形化简为其边数相同的多边形的方法，它的目的是将多边形结构降低到最小的维度，减少复杂的几何关系，捕捉多边形的基本特征。
等边化可以通过几何性质，如折线两点、多边形外接圆半径、多边形内角和外角、多边形各边长等来完成，也可以利用数学算法来实现。
三、几何体的局部平头几何体的局部平头是将复杂几何体分解成更简单几何体的方法，它可以通过几何描述完成，也可以利用特殊的化归规则完成。
局部平头的一般过程是先划分几何体的表面成不同的片，然后将这些片尽可能地降低维度，再通过变形来保持几何结构的完整性。
在描述几何体时，局部平头可以使几何体划分成有大小关系的子部分，它也可以使几何形状简化成更为结构清晰的形式，从而更容易理解。
四、几何体的部分形变几何体的部分形变是将较复杂的几何体变形成较简单几何体的一组规则和运算，这些规则和运算可以将复杂的几何体变形成包含较少面的几何体，从而减少几何的复杂度。
部分形变的常见技术有扭转形变、壁弯曲形变、面展开形变、面缩减形变和折叠形变等。
它们可以通过改变复杂几何体的特定点，或者给定特定点的投影，从而改变一个给定几何体的形状，从而获得一个更加简单的几何体。
1.2化归法
二、几种常见化归方法
根据化归的对象分类，主要有如下三种情形：
1、转化已知条件 在解题过程中，常常要对已知条件进行转化
（包括条件的分解、组合、变形假设等）。
[例1] 已知五（1）班学生人数不少于40人，做广
播操时，若每排站4人，最后一排差3人；若每排站
3人，最后一排差2人；若没排站2人，最后一排差1 人；问班级人数最少有几人？
分析： 把每种站法“最后一排差几人”理解为“最后 一排多1人” 则问题便转化为求4、3、2的某个公倍数。 即 [4、3、2]=12 12×4+1=49（人）
例2 求396的所有约数的和 例3 在数字中间加上适当的运算符号（和括 号），使下面的等式成立 4 4 4 4 ＝0
例4 已知n是满足下列条件的四位数，它 是6的倍数，每个数位上的数字都是7或8，
试求 n 的值。
3
2、转化问题
在解题过程中，有时要转化题目的未知成分以实 现化归。 例6 求自然数1～100中不能被3整除的所有数的和。 分析：直接求满足条件的数的和，计算比较复杂，
如果把问题转化为求“自然数1～100的和”以及“自
然数1～100中能被3整除的数的和”，问题即可解决。
3、转化整个题目 有时需要转化整个题目来实现化归。 例7 四个一样的长方形和一个小的正方形， 大正方形的面积是49平方米，小正方形的面 积是9平方米，问长方形的长和宽各为几米？
化归法
一、化归法 所谓“化归法”，是指把有待解决的问题， 通过某种转化过程，归结为一类已经解决或容易 解决的问题。 化归法的核心是转化，化归法有三个要素： （1）化归的对象。即问题中需要改变的成份， 是改变整个题目，还是只改变它的条件或问题 （2）化归的目标。是化难为易、化繁为简，还 是将陌生的问题转化为熟悉的问题 （3）化归的方法。即转化的途径，这是化归的 关键
第七章 化归、反演、模型方法
4 而 sin x cos x 1 sin x cos x 2 1 1 (t 2 1), 2 2
a 2 at 于是, y=f(t)
1 1 2 1 2 (t a ) a . 2 2 2
1 2 1 1 (t 1) t 2 at a 2 2 2 2
四、等与不等的转化与化归 例4 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都 有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2010)= . 思维启迪 通过两个不等关系,转化为f(x+1)= f (x)+1这个等量关系. 解 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1,
ax4+bx2+c=0(a≠0)
通过换元，化归为一元二次方程就是将该问 题模式化，规范化。
化归方法包括三个要素： 化归对象------即把什么东西进行化归；
化归目标-------即化归到何处去；
化归途径-------如何进行化归。
上面所举的例子中，
化归的对象----双二次方程； 化归的目标----一元二次方程；
1 或x 8, 2
∴x的取值范围是 (0, 1 ) (8, ).
2
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3, y=x2+(a1)x+a2, y=x2+2ax-2a 中至少有一条与x轴相交，求
实数a的取值范围.
思维启迪 三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交 的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相 交，只有一种情况. 解 令y=0，由
一、化归的思想方法.doc
一、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。
化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。
客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。
数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。
任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。
化归是基本而典型的数学思想。
在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。
二、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。
数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。
在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。
因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。
三、符号化的思想方法数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具体化身。
英国著名数学家罗素说过:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。
”数学离不开符号,数学处处要用到符号。
怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。
”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。
人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x,让学生在其中填数。
例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:学校有7个球,又买来4个。
举例说明化归三个方法
举例说明化归三个方法化归三个方法是以有效、统一的管理方式来进行组织内部资产信息化处理的一种规范。
化归三个方法旨在通过改变组织内部信息管理方式，提高管理效率、提升数据控制和预防数据泄露的问题。
化归三个方法的核心思想是通过有效的管理方式，将组织内部的资产信息做到归类、统一和有效的处理，并且能够最大限度的利用这些信息资源。
组织信息化的实现就是针对组织的整体发展而开展的，这也就把化归三个方法变成必要的一步。
化归三个方法的有效实施，可以极大的促进组织信息化的进一步发展。
化归三个方法可以大致分为：信息资产归类管理、信息资产统一管理和信息资产有效管理三个层面。
首先，信息资产归类管理是指把组织内部信息资产按照其内容、传播途径、目的、类型等方面进行归类，以便在信息流通和处理的过程中更好的管理和控制。
其次，信息资产统一管理是指把组织内部信息资产统一管理、保管和使用，使信息流动、使用、存储和控制等都能够统一管理，达到安全，有效，可控的效果。
最后，信息资产有效管理是指每一条信息资产在任何时候都可以有效的管理和控制，以达到最大的效能和效用。
以上就是化归三个方法的主要思路，它包含了组织内部信息资产的归类、统一和有效管理，从而为组织信息化的发展提供了有效的保障。
在实际的组织管理中，内部信息资产随着组织发展的不断变化，如何能够有效管理这些数据，是组织管理者面临的一个重要问题。
通过科学有效的化归三个方法，可以正确对待和有效利用组织内部信息资产，以提高组织信息化的效率，防止数据泄露，加强安全保护，提升组织信息化水平。
以银行业为例，银行内部信息资产是非常重要的，其中主要包括客户管理信息、资金管理信息、收付款信息等。
因此，采用化归三个方法，将客户管理信息、资金管理信息、收付款信息归类、统一和有效管理，有助于提高银行的客户服务水平，增加银行的合作机会，提升银行服务的便捷性，保护客户的隐私安全，实现银行信息化的管理。
总之，化归三个方法是对组织内部信息资产有效管理和管理效率提高的重要手段。
八种化归策略助你轻松解题
八种化归策略助你轻松解题李苏娟(江苏省兴化市戴泽初级中学㊀２２５７２１)摘㊀要:化归是一种重要的数学思想方法ꎬ是解决数学问题的有力武器.将数学问题进行化归的主要途径有多元向一元化归㊁高次向低次化归㊁分式向整式化归㊁无限向有限化归㊁部分向整体化归㊁陌生向熟悉化归㊁数形之间化归㊁实际问题向数学问题化归.关键词:数学解题ꎻ化归策略ꎻ中考试题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０２－００１６－０３收稿日期:２０１８－１１－０５作者简介:李苏娟(１９７５.１２－)ꎬ女ꎬ江苏省泰州人ꎬ中学高级教师ꎬ本科ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:江苏省教育厅２０１６年中小学课程建设项目«基于学生数学核心素养的实验课程建设».江苏省教育科学 十二五 规划重点课题 初中数学教材中阅读材料导读策略研究(Ｅ－ｂ/２０１３/０２３).江苏省中小学教研室第１０期研究课题 初中数学阅读内容教学的策略研究 (２０１３ＪＫ１０－Ｌ２１６).㊀㊀ 化归 是转化和归结的简称ꎬ所谓化归思想ꎬ就是把所要解决的问题转化归结为另一个较易解决的问题或已经解决的问题ꎬ具体地说ꎬ就是把 新知识 转化为 旧知识 ꎬ把 未知 转化为 已知 ꎬ把 复杂 转化为 简单 ꎬ把 陌生 转化为 熟悉 .一言以蔽之ꎬ解题过程的实质就是转化过程.化归思想注重寻求问题与已有知识经验的逻辑关联ꎬ从而化生为熟㊁化繁为简㊁化隐为显㊁化难为易ꎬ使问题得以顺利解决.下面举例说明常用的八种化归策略ꎬ希望能助你轻松解题.㊀㊀一㊁多元向一元化归例１㊀(２００６年全国初中数学竞赛试题)已知ａꎬｂꎬｃ为整数ꎬ且ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ－ａ＝２００５.若ａ<ｂꎬ则ａ＋ｂ＋ｃ的最大值为.分析㊀要求ａ＋ｂ＋ｃ的最大值ꎬ由于ａꎬｂꎬｃ都是不确定的整数ꎬ所以这里有三个变元.为了减少变元的个数ꎬ我们可利用已知条件ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ－ａ＝２００５ꎬ采用消元法来达到目的.解㊀将ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ＝ａ＋２００５两边相加得ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ＋４０１１.因为ａ<ｂꎬａ㊁ｂ为整数ꎬａ＋ｂ＝２００６ꎬ所以ａ的最大值为１００２ꎬ于是ａ＋ｂ＋ｃ的最大值为５０１３.点评㊀这里待确定最大值的代数式中有三个变元ꎬ确定每一个变元的最大值都有一定的难度.我们利用整体思想ꎬ从整体上思考ａ＋ｂ＋ｃ的最大值ꎬ再借助于消元法得到只有一个变元的代数式ａ＋４０１１ꎬ从已知条件中找出ａ的最大值ꎬ则问题就迎刃而解了.解决多元问题的基本思想是消元ꎬ将其转化为一元ꎬ消元的基本方法是代入法和加减法.㊀㊀二㊁高次向低次化归例２㊀(２０１７年江苏省镇江市中考题)已知实数ｍ满足ｍ２－３ｍ＋１＝０ꎬ则代数式ｍ２＋１９ｍ２＋２的值等于.分析㊀注意到求值式中含有ｍ２ꎬ而已知条件ｍ２－３ｍ＋１＝０可以变形为ｍ２＝３ｍ－１ꎬ利用它即可运用逐步降次的方法来求出代数式的值.解㊀由ｍ２－３ｍ＋１＝０ꎬ可得ｍ２＝３ｍ－１.将ｍ２＝３ｍ－１代入ꎬ则ｍ２＋１９ｍ２＋２＝３ｍ－１＋１９３ｍ－１＋２＝３ｍ－１()３ｍ＋１()３ｍ＋１＋１９３ｍ＋１＝９ｍ２＋１８３ｍ＋１＝９ｍ２＋２()３ｍ＋１＝９(３ｍ－１＋２)３ｍ＋１＝９３ｍ＋１()３ｍ＋１＝９.点评㊀本题若将求值式直接通分ꎬ则会出现４次方ꎬ求值困难.一般地ꎬ对于高次问题ꎬ常采用上述方法来逐步降次ꎬ达到解决问题的目的.下面的问题你不妨运用这个方法试一试:(２０１７年四川省内江市中考题)若实数ｘ满足ｘ２－２ｘ－１＝０ꎬ则２ｘ３－７ｘ２＋４ｘ－２０１７＝.(答案:－２０２０)㊀㊀三㊁分式向整式化归例３㊀(２０１７年贵州省黔东南州中考题)分式方程６１３ｘｘ＋１()＝１－３ｘ＋１的根为(㊀㊀).Ａ.－１或３㊀㊀Ｂ.－１㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.１或－３分析㊀把分式方程转化成整式方程ꎬ求出整式方程的解ꎬ再代入最简公分母ｘ(ｘ＋１)进行检验ꎬ排除增根即可.解㊀方程两边同时乘以ｘ(ｘ＋１)ꎬ得３＝ｘ(ｘ－２)ꎬ整理得ｘ２－２ｘ－３＝０ꎬ解得ｘ１＝－１ꎬｘ２＝３.当ｘ＝－１时ꎬｘ(ｘ＋１)＝０ꎬ舍去ꎻ当ｘ＝３时ꎬｘ(ｘ＋１)＝１２ʂ０ꎬ所以ｘ＝３是原分式方程的解ꎬ选Ｃ.点评㊀解分式方程的基本思想是转化ꎬ即将分式方程转化为整式方程来求解.但必须注意:(１)去分母时各项都要乘最简公分母ꎬ不能漏乘ꎻ(２)去括号时要注意括号前的符号ꎻ(３)移项要变号ꎻ(４)一定要检验.㊀㊀四㊁无限向有限化归例４㊀(２０１７年浙江省衢州市中考题)如图１ꎬ正әＡＢＯ的边长为２ꎬＯ为坐标原点ꎬＡ在ｘ轴上ꎬＢ在第二象限ꎬәＡＢＯ沿ｘ轴正方形作无滑动的翻滚ꎬ经一次翻滚后得әＡ１Ｂ１Ｏꎬ则翻滚３次后点Ｂ的对应点的坐标是㊀㊀ꎬ翻滚２０１７次后ＡＢ中点Ｍ经过的路径长为㊀㊀.分析㊀先求出点Ｂ和点Ｂ３的坐标ꎬ再探究出其中的规律后ꎬ利用规律将无限向有限转化ꎬ进而解决问题.解㊀如图１ꎬ先求出Ｂ点坐标为(－１ꎬ３)ꎬ根据图形变换规律ꎬ每三次翻滚一周翻滚前后对应点横坐标加６ꎬ纵坐标不变ꎬ故Ｂ点变换后的对应点Ｂ３的坐标为(－１＋６ꎬ３)ꎬ即(５ꎬ３).作Ｂ３Ｅʅｘ轴于点Ｅꎬ易知ＯＥ＝５ꎬＢ３Ｅ＝３.观察图象可知ꎬ每三次翻滚为一个循环周期.在每个循环中ꎬ点Ｍ分别沿着三个圆心角为１２０ʎ的扇形运动ꎬ三个扇形的半径分别为３㊁１㊁１ꎬ因此在一个循环中ꎬ中点Ｍ的运动路径的长度为１２０π ３１８０＋１２０π １１８０＋１２０π １１８０＝２３＋４３π.由２０１７ː３＝６７２ １ꎬ可知翻滚２０１７次后ＡＢ中点Ｍ经过的路径长度为６７２ ２３＋４３π＋１２０π ３１８０＝(１３４６３３＋８９６)π.点评㊀本题考查点的运动轨迹的确定及其长度的计算㊁规律的探索㊁扇形的弧长公式㊁等边三角形的性质等知识ꎬ解题的关键是从特殊到一般探究出规律ꎬ再利用规律将无限向有限化归ꎬ进而顺利地解决问题.㊀㊀五㊁部分向整体化归例５㊀(２０１７年辽宁省朝阳市中考题)如图２ꎬ分别以五边形ＡＢＣＤＥ的顶点为圆心ꎬ以１为半径作五个圆ꎬ则图中阴影部分的面积之和为(㊀㊀).Ａ.３２π㊀㊀㊀Ｂ.３π㊀㊀㊀Ｃ.７２π㊀㊀㊀Ｄ.２π分析㊀由于五个圆的半径均为１ꎬ根据扇形面积公式Ｓ＝ｎπｒ２３６０ꎬ只要求出５个扇形的圆心角ꎬ即可求出图中阴影部分的面积.但这５个扇形的圆心角度不知道ꎬ分别求解无法进行.观察图形发现ꎬ可转化为求５个圆形中的空白部分的面积之和ꎬ而这５个圆形中的空白部分圆心角之和等于五边形的内角和ꎬ再用５个圆形的面积减去圆形中的５个空白部分的面积即可得到阴影部分的面积.解㊀ȵ五边形的内角和为(５－２)ˑ１８０ʎ＝５４０ʎꎬʑ５个圆形的空白部分的面积之和Ｓ＝５４０ˑπˑ１２３６０＝３２πꎬʑ图中阴影部分的面积之和为５πｒ２－３２π＝５π－３２π＝７２πꎬ故选Ｃ.点评㊀有些问题ꎬ从表面上看要局部求出有关量ꎬ但若从整体上去把握这些量之间的关系ꎬ则思路更明朗ꎬ方法更巧妙.㊀㊀六㊁陌生向熟悉化归例６㊀(２０１７年四川省宜宾市中考题)规定:[ｘ]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ(ｘ)表示不小于ｘ的最小整数ꎬ[ｘ)表示最接近ｘ的整数(ｘʂｎ＋０.５ꎬｎ为整数)ꎬ例如:[２.３]＝２ꎬ(２.３)＝３ꎬ[２.３)＝２.则下列说法正确的是㊀㊀.(写出所有正确说法的序号)①当ｘ＝１.７时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝６ꎻ②当ｘ＝－２.１时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝－７ꎻ③方程４[ｘ]＋３(ｘ)＋[ｘ)＝１１的解为１<ｘ<１.５ꎻ④当－１<ｘ<１时ꎬ函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ的图象与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象有两个交点.分析㊀根据规定的[ｘ]㊁(ｘ)㊁[ｘ)的意义ꎬ将陌生的数的计算㊁方程与不等式的解法和函数图象的交点坐标问题转化为常规的问题来处理ꎬ再结合给出的说法进行判断ꎬ得到答案.解㊀①当ｘ＝１.７时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝[１.７]＋７１(１.７)＋[１.７)＝１＋２＋２＝５ꎬ故①错误ꎻ②当ｘ＝－２.１时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝[－２.１]＋(－２.１)＋[－２.１)＝(－３)＋(－２)＋(－２)＝－７ꎬ故②正确ꎻ③当１<ｘ<１.５时ꎬ４[ｘ]＋３(ｘ)＋[ｘ)＝４ˑ１＋３ˑ２＋１＝４＋６＋１＝１１ꎬ故③正确ꎻ④ȵ－１<ｘ<１ꎬʑ当－１<ｘ<－０.５时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝－１＋０＋ｘ＝ｘ－１ꎻ当－０.５<ｘ<０时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝－１＋０＋ｘ＝ｘ－１ꎻ当ｘ＝０时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋０＋０＝０ꎻ当０<ｘ<０.５时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋１＋ｘ＝ｘ＋１ꎻ当０.５<ｘ<１时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋１＋ｘ＝ｘ＋１.ȵｙ＝４ｘꎬ当ｘ－１＝４ｘ时ꎬ得ｘ＝－１３ꎬ此时ｙ＝－４３ꎻ当ｘ＋１＝４ｘ时ꎬ得ｘ＝１３ꎬ此时ｙ＝４３ꎻ当４ｘ＝０时ꎬｘ＝０ꎬ此时ｙ＝０ꎻʑ当－１<ｘ<１时ꎬ函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ的图象与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象有三个交点ꎬ故④错误.综上ꎬ答案为②③.点评㊀对于新定义运算问题ꎬ关键是要认真读题ꎬ正确领会所给运算规则ꎬ将其转化为常规运算来处理.由于[ｘ)表示最接近ｘ的整数ꎬ为了排除ｘ＝ｎ＋０.５(ｎ为整数)的情况ꎬ题目附加了条件ｘʂｎ＋０.５(ｎ为整数)ꎬ因此需要将－１<ｘ<１分解为－１<ｘ<－０.５㊁－０.５<ｘ<０㊁ｘ＝０㊁０<ｘ<０.５㊁０.５<ｘ<１这五种情况来将函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ化归为常规函数ꎬ再分别确定它们与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象的交点情况ꎬ最后得出结论.㊀㊀七㊁数形之间化归例７㊀(２０１７年四川省乐山市中考题)庄子说:一尺之椎ꎬ日取其半ꎬ万世不竭 .这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想ꎬ用图形语言表示为图３ꎬ按此图分割的方法ꎬ可得到一个等式(符号语言):１＝１２＋(１２)２＋(１２)３＋ .图４也是一种无限分割:在әＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬøＢ＝３０ʎꎬ过点Ｃ作ＣＣ１ʅＡＢ于点Ｃ１ꎬ再过点Ｃ１作Ｃ１Ｃ２ʅＢＣ于点Ｃ２ꎬ又过点Ｃ２作Ｃ２Ｃ３ʅＡＢ于点Ｃ３ꎬ如此无限继续下去ꎬ则可将әＡＢＣ分成әＡＣＣ１㊁әＣＣ１Ｃ２㊁әＣ１Ｃ２Ｃ３㊁әＣ２Ｃ３Ｃ４㊁ ㊁әＣｎ－２Ｃｎ－１Ｃｎ㊁ .假设ＡＣ＝２ꎬ这些三角形的面积和可以得到一个等式是㊀㊀.解㊀不难得到这一系列三角形是相似的ꎬ它们的相似比是３２ꎬ因而它们的面积比是３４.又ＳәＡＣＣ１＝１２ˑ１ˑ３＝３２.ＳәＡＢＣ＝１２ˑ２ˑ２３＝２３ꎬ从而得到２３＝３２[１＋３４＋(３４)２＋(３４)３＋ ＋(３４)ｎ－１＋(３４)ｎ＋ ].点评㊀这里通过对图形的无限分割ꎬ借助于图形面积的计算ꎬ利用总体等于部分之和ꎬ得到了一个数量等式ꎬ是数形之间化归的典范.㊀㊀八㊁实际问题向数学问题化归例８㊀(２０１７年浙江省绍兴市中考题)如图５为某城市部分街道示意图ꎬ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬ点Ｇ在对角线ＢＤ上ꎬＧＥʅＣＤꎬＧＦʅＢＣꎬＡＤ＝１５００ｍꎬ小敏行走的路线为ＢңＡңＧңＥꎬ小聪行走的路线为ＢңＡңＤңＥңＦ.若小敏行走的路程为３１００ｍꎬ则小聪行走的路程为㊀㊀ｍ.分析㊀本题的难点是如何用小敏行走的路程来求小聪行走的路程ꎬ即小聪行走的路程与小敏行走的路程存在怎样的关系.比较两人走的路线ꎬ发现小敏走的路程为ＡＢ＋ＡＧ＋ＧＥ＝１５００＋(ＡＧ＋ＧＥ)＝３１００ꎬ则ＡＧ＋ＧＥ＝１６００ｍꎬ小聪走的路程为ＢＡ＋ＡＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＝３０００＋(ＤＥ＋ＥＦ).下面关键是寻找ＡＧ＋ＧＥ与ＤＥ＋ＥＦ的关系ꎬ这样就把实际问题转化为数学问题.观察图形可知ꎬ正方形的对角线平分一组对角ꎬＧＥʅＤＣꎬ易得ＤＥ＝ＧＥꎬ于是只要说明ＡＧ＝ＥＦ即可ꎬ而ＥＦ是矩形ＣＥＧＦ的对角线ꎬ易知ＥＦ＝ＣＧ.于是ꎬ连接ＣＧꎬ由正方形的对称性易知ＡＧ＝ＣＧꎬ从而问题获解.点评㊀本题初看上去比较复杂ꎬ但经过分解化归ꎬ问题得到了简化ꎬ即寻找ＡＧ＋ＧＥ与ＤＥ＋ＥＦ的关系ꎬ再结合几何图形的特点ꎬ便将问题化归为说明正方形中两条线段相等的问题ꎬ然后运用正方形㊁矩形的有关知识ꎬ很快找到了解决问题的途径.至此我们发现ꎬ本题主要考查正方形的性质㊁全等三角形的性质和判定㊁矩形的性质及等腰三角形的性质.解决问题的关键是证明ＡＧ＝ＥＦꎬＤＥ＝ＧＥ.㊀㊀参考文献:[１]钱德春.动态问题思路分析㊁立意解析与价值探析[Ｊ].中学数学杂志:初中ꎬ２０１７(８):５２－５６.[２]李慧祥ꎬ陈德前.借助实验操作寻找解题途径[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１６(２):１６－１８.[３]陈德前.模型烹大餐㊀教学得启示[Ｊ].中学数学教学参考:初中ꎬ２０１３(７):４８－５０.[责任编辑:李克柏]８１。
第五章数学中的化归方法
第五章数学中的化归方法数学中的化归方法在不同的学科和领域中都有广泛的应用，从初等数学到高等数学，无一不离开化归方法的运用。
化归方法是指将一个复杂的问题通过其中一种方式转化为一个相对简单的问题，从而更容易解决。
下面将介绍一些常见的化归方法及其在数学中的应用。
一、代数化归法代数化归法是将一个数学问题通过代数运算转化为一个简单的代数关系或方程，并从中得出解的方法。
例如，在解方程问题中，经过代数化归可以将一个高次方程化归为一个低次方程，从而更容易求解。
代数化归法也常应用于恒等式的证明，通过代数运算将一个复杂的恒等式转化为一个简单的恒等式，从而完成证明。
二、几何化归法几何化归法是将一个几何问题通过几何变换转化为一个简单的几何问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解三角形问题中，可以通过几何化归将一个三角形问题转化为一个矩形问题或平行四边形问题，从而更容易解决。
几何化归法也常应用于证明几何定理，通过几何变换将一个复杂的几何问题转化为一个简单的几何问题，并利用已知定理得出结论。
三、数列化归法数列化归法是将一个数列问题通过数列变换转化为一个简单的数列问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解数列极限问题中，可以通过数列化归将一个复杂的数列极限问题转化为一个简单的数列极限问题，从而更容易求解。
数列化归法也常应用于求解递推数列问题，通过数列变换将一个递推数列问题转化为一个简单的递推数列问题，并从中得出通项表达式或递推公式。
四、微积分化归法微积分化归法是将一个微积分问题通过微积分运算转化为一个简单的微积分问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解定积分问题中，可以通过微积分化归将一个复杂的定积分问题转化为一个简单的定积分问题，从而更容易求解。
微积分化归法也常应用于求解微分方程问题，通过微积分运算将一个微分方程问题转化为一个简单的微分方程问题，并从中得出解析解或数值解。
除了以上提到的几种常见的化归方法，化归方法还可以通过其他数学工具和技巧实现，例如复数化归、矩阵化归、函数化归等。
高考数学化归与转化思想及方法讲解
高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。
数学解题中的化归法
数学解题中的化归法摘要：在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题，经过某种变化，使之化归。
化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。
在数学中通常的作法是：将一个非基本问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。
关键词：化归法；转化；变形；联想在解决问题过程中，往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题，经过某种化归，使之得到解决，这就叫做化归法。
化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。
在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。
如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现。
其他如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了。
所以，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要意义。
一、化归法的基本原则化归的核心是转化。
化归法有三个要素，即化归的对象：即问题中需要改变的成份，是改变整个题目还是只改变它的条件或问题；化归的目标：即化难为易、化繁为简，还是将陌生问题转化为熟悉问题；化归的方法：即转化途径，这是化归法的关键。
若要实施好某种化归，且使这种化归行之有效，就必须遵循相应的原则，而不是盲目进行。
一般说来，化归应遵循以下原则：即熟悉化原则，就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验用于解决新问题；简单化原则，就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决；和谐化原则，就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统一的特点，这样做有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系；直观化原则，就是将一些含糊的、抽象的、深奥的问题化归为比较具体的、直观的、浅显的问题来解决。
数学化归的思想方法
３
说明： 上图 中， 问题 Ａ 到 问题 Ａ 即化 归 过程 ； 而解 答 Ａ 到解答 Ａ 则 是 问题 的还原 过程 ． 照“ 开水 ” 对 烧 的
例子 ， 问题 Ａ是指第二个 问题 ， 通过“ 把水倒掉 ” 转化 （ 化
Ｅ ｍａ ： ｘｋｋ １ ３ ｃ － ｉ ｚ ｃ ｌ＠ ６ ・ 唧 ｌ
习并掌 握化归 的思想 方法 对学 好数 学具 有重 要 的理 论
意义 和 现 实 意 义 ．
一
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解答一 解答 １ 解答 ２ 一 …一
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、
化归方法的含义 、 特殊性及基本模式
１ 化 归 方 法 的 含 义 ．
说 明 ：问题 ” 问题 ” “ 到“ 的过程 是化归 过程 ， 解 而“ 答 ” 解答” 到“ 的过程是还原过程． 综上所述 ， 化归方 法有 以下更一般 的模式 ：
的性质 ， 可以是单元素集合 ， 即只是 另外一个 问题 ； 也可 以是多元 素集 合 ， 即把 问题 Ａ分 解 转化 成 为多 个子 问 题． 解答 集 Ａ 到解答 Ａ 则是问题 的还原过程 ， 即是把解 答集 Ａ 中各元 素（ 各个解答 ） 整合成 问题 Ａ 的解答 ． 众所 周知 ， 法国著 名数学 家笛卡儿 在创立解 析几何
时就运 用了化 归方法 把几 何 图形 （ 的集 合 ） 点 和代数 方 程（ 实数 对 的集合 ） 一 起来 ， 代数 方法 解 决几 何 问 统 用 题． 即有 以下过 程 ：
几何问题 代数问题
该怎么做 ？ 相 信 大 多数 人 都 会 这样 做 ： 水 壶 里放 满 ” 往 水， 把水 壶放 上 煤气 灶 ， 火 即可． 时 ， 果 其他 条件 点 此 如
数学分析中的化归法
数学分析中的化归法.(总27页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学分析中的化归法目录摘要 (1)Abstract (1)1. 绪论 (2)化归法的背景 (2)2. 详谈化归法 (3)化归法的分类 (3)常见的化归方法及化归思想 (3)化归的方法 (3)化归的思想 (4)化归法的原则 (5)化归的方向与一般模式 (5)化归法的原则 (5)3. 数学分析中的化归 (6)化归思想在数学分析中的显化 (6)化归法在数学分析解题中的体现 (12)在极限中的体现 (12)在微分中的体现 (15)在积分中的体现... .. (16)在级数中的体现 (22)如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)4.小结 (25)参考文献 (26)致谢 (27)数学分析中的化归法摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。
化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。
化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。
化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用中图分类号：O1-0The reduction method of mathematical analysisAbstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effectiveapproach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method1 绪论数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。
化归思想与方法
2化归的基本思想数学家G伯利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续交换。
可见，解题的过程是通过对问题的转化才完成的。
化归思想方法是数学中较为一般和基本的数学思想方法。
化归思想方法简称“化归”即转化归结的意思。
它是把数学中有待解决或难解决的问题（问题A），通过某种转化或手段，归结到某个（或某些）已经解决或者比较容易解决的问题（问题B）．且通过B的解决．能够得到原问题A 的解决．用框图（图3）可直观的表示为：从图中就可以看出，化归思想方法包含着三个基本要素：化归对象；化归目标；化归策略。
化归对象是对什么问题进行化归（原问题A），它是以往没有解决过的问题，具有繁难、生疏、抽象的特点，没有现成的公式、定理或解决方案；化归目标是要化归到何处(问题B)，它就是“已经解决过的问题”或转化到“有现成解决方案的问题”；要把化归对象转化到化归目标上来，中间需要一定的数学方法和手段，这个实现转化的方法和手段，就是化归策略。
例如：解方程5x-4=2x+11化归对象：5x-4=2x+11 x=? 化归目标是把一个复杂的方程化归为一个更为简单的方程3x=15 x=5 化归的策略就是运用了移项的方法。
3寻找化归方向的指导思想化归思想是数学解题的基本思想，解决问题实际上就是把问题通过转化归结为可以解决的问题。
为了更好的寻找化归的方向，下面介绍寻找化归方向常用的几种指导思想。
3.1、简单化思想简单化是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，将其化归为比较简单的形式、关系结构。
这里所说的简单不仅包括问题结构形式简单，还包括问题处理方式、方法上的简单。
有些复杂的数学问题直接用常规的解法，解题的过程繁琐，通过对问题的深入观察和研究，将其化归为简单的问题。
复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，例、 分析：这个式子直接看无从下手。
但是利用整体替换的方法，可解:∴2x ∴2x =2+x即2x -x -2=01x =23.2、和谐化思想和谐化思想就是当我们面临每一道数学题时，都要设法对问题的条件或结论进行变形，使其数或行的表现形式更加适当和均称各量之间配合得更加和谐，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律，以便和谐地利用已有的知识，经验或解题模式，顺利地解出原题 例、已知 5sin β=sin(2α+β).求证tan 3tan 2αβα(+)= 分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是αβ+、α而已知条件中的两个角可以用αβ+、α来表示，然后再利用和差和正余弦公式即可证明：∵5sin β=sin(2α+β)∴5sin[(α+β)-α]=sin[(αβ+)+α]∴5sin(α+β)cos α-5cos (αβ+)sin α= sin(αβ+)cos α+ cos (αβ+)sin α即 4sin(αβ+)cos α= cos (αβ+)sin α ∴ tan 3tan 2αβα(+)= 3.3、具体化思想具体化思想就是将抽象的问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，例如我们可以将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的形或式来表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确例、四个不同颜色的小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有几种。
化归方法的应用
第2讲 化归方法的应用（1）化归方法的含义就是把需要解决的问题,通过转化的方法与手段,将原问题归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,从而最终求得原问题的解决．这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法. 例1、求相乘个422007424242⨯⨯⨯的个位数字. 解:因为7642⨯=,而6的任何次方的个位数字是6,所以只要考虑20077的个位数字,又35014200777+⨯=,所以所要求的个位数字是3.例2、求100321⨯⨯⨯⨯ 的积的末位连续有多少个零.解:将问题化为考虑积中有多少个个位是5与0的数,而1至100之间个位数字是5的数有10个, 个位数字是0的数也有10个,所以积的末位连续有20个零.例3、小明去超市购买甲,乙,丙三种货物,如购甲3件、乙4件,丙1件需付款 20.1元,如购甲7件、乙10件,丙1件需付款30.3元,求购甲、乙、丙各一 件需付多少元?解:设购甲、乙、丙各一 件分别需付x 、y 、z 元,据题意得：⎩⎨⎧=++=++)2(.3.30107)1(,1.2043z y x z y x ,由（1）×3减去（2）得30222=++z y x ,所以,15=++z y x 即购甲、乙、丙各一 件需付15元. 例4、计算：111111111111111123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:设1111234a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,11111b 2345⎛⎫++++= ⎪⎝⎭,则 原式=.51a b )1a (b )1b (a =-=---⨯ 例5、计算： 5614213012011216121++++++. 解:原式=.87811817141313121211=-=-++-+-+-例6、计算：11010912116521++++ . 解：原式=1111(1)(1)(1)(1)2612110-+-+-++-=1111111110()10(1)261102231011-+++=--+-++- =1110(1)91111--=.一般地,化归方法的思维流程如下:练习： 1、 计算：()2007 3.569 3.43.469 6.5⨯⨯-⨯+提示: 3.569 3.4 3.469 6.9 3.4 3.469 6.5⨯-=⨯+-=⨯+.2、 计算：3333991992993994444+++. 提示: 原式=1002003004001999+++-=.3、 计算：111124466898100++++⨯⨯⨯⨯ . 提示: 原式=111111111149224469810022100200⎛⎫⎛⎫-+-++-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 4、 求200754的个位数字.提示: 9的个位数字按9、1循环.答案:个位数字是6.5、 求220071200612006111111111211110-⨯个个个. 提示：设200711111a =个,原式=()()2111a a a -+-=. 6、分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？提示：1001=7×11×13,先考虑所有分母是1001的真分数的和是500,再考虑减去分母是1001的非最简真分数的和.答案:.1001690345第3讲 化归方法的应用（2）化归方法的含义就是把需要解决的问题,通过转化的方法与手段,将原问题归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,从而最终求得原问题的解决．这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法. 例1、计算:.10099981543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯解:原式=1111111212232334989999100⎛⎫-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=111494922990019800⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭ 例2、计算:.10099433221⨯++⨯+⨯+⨯解：原式=1(1230122341233452343⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+991001019899100)+⨯⨯-⨯⨯=1991001013333003⨯⨯⨯=.例3、计算:2222100321++++ .解:原式=100-1011003-43232121⨯++⨯+-⨯+-⨯=)1003211011003221++++-⨯+⨯+⨯ （ 再利用例2中结论,原式=110010110250101=3383503⨯⨯⨯-⨯.例4、求2|x -2|+3|x -1|+|x +1|+|x +2|的最小值.解: 将问题化为数轴上表示数x 的点到点-2,-1,1,1,1,2,2的距离的和的最小值,再据这类问题中的取中间原理知道1=x 时,最小值为7.例5、若对任意的有理数m,等式23x mx my m y -+=+均成立,求,x y 的值. 解:将原问题化为()32y x m y x --=-恒成立,所以3020y x y x --=⎧⎨-=⎩得,36x y =⎧⎨=⎩.例6、已知,)1(23455f ex dx cx bx ax x +++++=-求f d b ++的值. 解:令1=x 得,0=++++f d c b a 令1-=x 得.32-=++-+-f d c b a 两式相加得.16-=++f d b 一般地,化归方法的思维流程如下:练习： 1、 计算：.10310199175315311⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯提示:111113541335⎛⎫=- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭用类似例1方法计算.答案: 260031209. 2、 计算：12323434599100101⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ . 提示: 1234(23451234)4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯,用类似例2方法计算.答案:25497450. 3、 计算：2221111112312⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提示: 原式=11111111313111111.2233121221224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-=⨯= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4、已知()5543221,x ax bx cx dx ex f -=+++++求a c e ++的值.提示：用类似例6方法,答案：121a c e ++=-. 5、解关于x 的方程：3x a b x b c x c ac a b------++= 提示：.ccb b a a 3++=答案：.c b a x ++=6、若 b ax x x +-+232 能被22--x x 整除,求a b 、的值.提示：设))(1)(2())(2(2223k x x x k x x x b ax x x ++-=+--=+-+ 令1-=x 得：,021=+++-b a令2=x 得：,0288=+-+b a 解得：,5=a .6-=b第4讲 化归方法的应用（3）化归方法的含义就是把需要解决的问题,通过转化的方法与手段,将原问题归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,从而最终求得原问题的解决．这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法. 例1、若,0132=+++x x x 求100x的值.解: 因为,0132=+++x x x 所以()()32110x x x x -+++=所以()25410041, 1.x xx ===例2、若,012=-+x x 求1323-++x x x 的值.解: ()()32223112110.x x x x x x x x ++-=+-++-+=例3、若112=-x x ,求254423+-+x x x 的值. 解: 因为121x x-=,所以2210,x x --=所以322244522(21)3(21)22x x x x x x x x +-+=--+--+=.例4、若2310,x x -+=求21xx x ++的值. 解: 因为2310,x x -+=所以13,x x +=所以211.1141xx x x x==++++例5、若2121,x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求x x 1+的值.解: 因为2211425,x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.51±=+x x例6、若 ,1,0==++abc c b a 请确定111a b c++的值的符号. 解: 因为,0=++c b a 所以,0)(2=++c b a 即2222220,a b c ab bc ca +++++= 又1,abc =所以2220,a b c ++>所以0,ab bc ca ++<所以1110bc ac ab a b c abc++++=<. 一般地,化归方法的思维流程如下:练习：1、若,01432=++++x x x x 求520021xx x ++++ 的值.提示：()()2200623462341111x x xx x x x x x x x x x ++++=++++++++++ ()20012341 1.xx x x x ++++++= 2、已知,51=+x x 求142+x x 的值.提示: 22422111.112312x x x x x x ===+⎛⎫++- ⎪⎝⎭3、已知13,x x +=求200744234+-+-x x x x 的值. 提示: 因为,31=+xx 所以2310,x x -+=()()432222442007313120072007.x x x x x x x x x x -+-+=-+--++=4、若 ,1,1222=++=++c b a c b a 请确定111a b c++的值. 提示：111bc ac ab a b c abc ++++=,()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++,即 0ab bc ca ++=.答案：0.5、若1,4==+ab b a ,求55b a +的值. 提示: 先求出,52,143322=+=+b a b a再利用,)())((52253322b b a b a a b a b a +++=++答案:724.6、已知a 是正的纯小数,,27122=+a a 求a a 1-的值.提示: 25)1(2=-aa ,答案: －5.第5讲 化归方法的应用（4）化归方法的含义就是把需要解决的问题,通过转化的方法与手段,将原问题归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,从而最终求得原问题的解决．这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法. 例1、4个半径为1的圆相靠着放在一个正方形内,求图中阴影部分的面积值.解: 图中正方形的面积与四个圆的面积之差为阴影部分面积的4倍, 所以所求面积=24.π-例2、如图,长方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,若△BDF 的面积=6,求长方形ABCD 的面积. 解: BDF BDC CDF BCF 111S S S S S 222DCE BCE ABCD S S ∆∆∆∆∆∆=--=--长方形 1111S S S S 2848ABCD ABCD ABCD ABCD =--=长方形长方形长方形长方形 所以长方形的面积为48.例3、求整数x ,使分式2933++-x x x 为整数.解:3239(4)2722x x x x x x x -+-+++=++7(2)1,2x x x =-+++ 所以,.1,72±±=+x 解得.1,3,9,5---=x例4、设,1212Q ,1212P 2001200020001999++=++=请比较P,Q 的大小. 解: 设,22000x =则,0)12)(1(211211121>++=++-++=-x x xx x x x Q P 所以P>Q. 例5、甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元,后又从另一个鱼摊上买了二条鱼,平均每条b 元,最后他又以每条2ba +元的价格把鱼全部卖给了乙,问甲最终是赚还是赔了钱？ 解：,22)(523ba b a b a -=+-+所以若,b a >则甲赔了钱；若,b a <则甲赚了钱. 例6、已知 :三个数满足,51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab 求cabc ab abc++的值.解: 据已知得,511,411,311=+=+=+a c c b b a 三式相加得,6111=++c b a所以6111=++=++c b a abc ca bc ab ,所以,要求的值为.61一般地,化归思想的思维流程如下:c b a ,,练习：1、d c b a ,,,都是正数,且,5,4,3,25432====d c b a 问最大的一个数是哪一个？ 提示：先利用幂的性质分别比较b a ,与d c ,,再比较两个较大的,答案：b .2、已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--,求c b a ,,的值. 提示:展开右式,比较两边项的系数构造方程组,答案:.1,4,4===c b a3、解不等式：2|1|1<+<-x x x 提示：先据xx 1+的值的符号讨论,解不等式组,答案：21-<>x x 或.4、将223344556,5,3,2按从小到大的顺序排列.提示: 比较23456,5,3,2的大小即可,答案:.c b d a <<<5、求整数x ,使分式2932-+-x x x 为整数.提示： 答案：1,3,5,9-=x . 6、问有多少个整数x 满足不等式.9999|||2000|≤+-x x 提示；按x 与0及2000的大小分类讨论,答案：9999个..271272329322-+-=-++-=-+-x x x x x x x x。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
举例说明化归三个方法
举例说明化归三个方法化归是一种常用的问题求解方法，它通过将原问题转化为具有相似结构但规模更小的子问题来解决。
在实际问题中，常常会用到化归的方法。
下面将举例说明化归的三个具体方法。
1.数学问题中的化归：在数学问题中，化归通常是通过代数变换、运算规则等方法来简化或转化问题。
例如，解二元一次方程组时，可以通过消元法将方程组化简为一元二次方程。
具体的例子如下：假设有一个二元一次方程组：2x+3y=104x+5y=20可以通过第一个方程乘以2，然后减去第二个方程来消除变量x，得到另一个方程：y=10。
然后将y=10代入第一个方程，可得到x=-5因此，原方程组的解为x=-5，y=10。
通过将原问题转化为一元二次方程，化归的方法简化了问题的求解过程。
2.计算机算法中的化归：在计算机算法中，化归通常是通过分治、递归等方法将问题划分为多个子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
例如，归并排序可以使用化归的方法进行求解。
具体的例子如下：假设有一个无序的数组：[4,3,8,1,2,6,5,7]归并排序的思想是将数组不断划分为更小的子数组，直至每个子数组只有一个元素，然后将这些子数组两两合并，最终得到一个有序的数组。
对于上述数组，可以将其划分为两个子数组：[4,3,8,1]和[2,6,5,7]。
然后将这两个子数组分别继续划分为更小的子数组，直至每个子数组只有一个元素：[4,3,8,1]->[4,3]和[8,1]->[4]和[3]，[8]和[1][2,6,5,7]->[2,6]和[5,7]->[2]和[6]，[5]和[7]最后按照递归的顺序，将每个子数组两两合并，得到有序的数组：[4]和[3]->[3,4][8]和[1]->[1,8][2]和[6]->[2,6][5]和[7]->[5,7][3,4]和[1,8]->[1,3,4,8][2,6]和[5,7]->[2,5,6,7]最后将[1,3,4,8]和[2,5,6,7]两个有序数组合并，得到最终的有序数组：[1,2,3,4,5,6,7,8]。
化归思想方法在数学解题中的应用
化归思想方法在数学解题中的应用化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一。
下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。
一、化未知为已知已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。
例：已知sinα=■，cos（α+β）=■，α，β∈0，■，求cosβ。
分析：该题若将β转化为[（α+β）-α]，再运用公式展开，则容易求解。
解：∵α∈0，■，sinα=■，∴cosα=■，∵α，β∈0，■，∴α+β∈（0，π），又∵cos（α+β）=■，∴sin（α+β）=■，∴cosβ=cos[（α+β）-α]= cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=■×■+■×■=■。
二、化繁为简有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。
例：求函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。
若把（x+80 ）转化为[（x+20 ）+60 ]，则非常容易。
解：f（x）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°]=3sin（x+20°）+■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°+φ）（其中φ=arc tan■）因此f（x）的最大值为■三、一般为特殊“一般”与“特殊”，两者之间可以互相转化，我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。
例：已知PA，PB是圆0的切线，∠APB=60°，AP=5■，C为弦AB上的任意一点，过OC作射线OH，使PH 于H，求OC·OH的值。
浅谈化归思想方法及其应用
浅谈化归思想方法及其应用摘要：化归方法是解决数学问题的常见方法,是被广泛用来研究数学问题,解决数学问题的重要方法,是中学数学的基本思想方法之一.本文在前人研究的基础上，阐述了如何实现化归的方法,以及化归方法在数学中的意义.关键词：化归思想；换元法；映射法Transformation and Its ApplicationsAuthor: Zhao Shuibing(Mathematical and Computer Science School, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang 524048)Abstract: Transformation approach is one of the methods that are widely used for solving mathematical problems; it is also one of the methods that students in middle schools have to learn. On the basis of former studies, this paper introduces how to realize the method of transformation and its significance in mathematics.Key words: transformation; substitute method; mapping method1 引言数学新课标要求学生不仅要学会知识，还要能用所学的知识解决新问题，并能总结归纳，化为新的知识并接受，这样才能满足社会人才的需求.而数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致.要寻求正确有效的解题思路，就意味着要寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径.因此，在解决数学问题时，思考的重点是要把难解决的问题转化为易解决的问题.也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或者若干个熟知的或已能解决的问题.这就是数学思维中重要的思想和方法——化归思想和方法.2 化归含义将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称.化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.化归包括三个基本要素：对什么化归，即化归对象；化归为什么，即化归的目标；如何化归，即化归的方法.化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.这也是辩证唯物主义的基本观点.匈牙利著名数学家罗莎·彼得曾用以下比喻十分生动地说明了化归的实质.她写道：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，现在的任务是烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上烧.”接着，罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，这时你又应该怎样去做？”对此人们往往回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上.”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为，“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了”.“把水倒掉”——这是多么简洁的回答。
化归方法
化归方法一、化归方法在小学数学教学中的体现在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。
二、化归方法的基本知识1、一个未必真实的故事据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题：问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。
这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。
2、化归方法的含义从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。
“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。
例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。
化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的思想。
从宏观上看，化归思想是解决数学问题形成数学构想的方法论依据。
解析几何就是把几何问题化归为代数问题，函数图像是把代数问题化归为几何问题来解决的工具。
从微观方面看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直到化归为熟悉问题的过程。
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举例说明化归三个方法
化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从
而更容易解决。
下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对
称法。
一、代换法
代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、
更易解的问题。
例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。
解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。
设
y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3-
4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。
化简后得到y^3+2y-8=0。
这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。
例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。
解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。
设
n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于
r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证
明r=1,2,3的情况。
二、递推法
递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。
例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。
已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。
根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、
F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。
例4：求解汉诺塔问题。
解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
已知当n=1时，只需要进行一次移动。
根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。
三、对称法
对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。
例5：求解圆与直线的交点。
解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。
设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。
观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。
因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。
这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
以上是化归的三种常见方法的例子，代换法通过引入新的变量或函数将问题转化；递推法通过已知的特殊情况的解推导出一般解；对称法通过寻找问题中的对称关系简化求解过程。
这些方法在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。