教案直线的参数方程

课题：直线的参数方程（1）教学设计
教学目标:
(一）知识目标
1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；
2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标
1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；
2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标
1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；
2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:
1.联系数轴、向量积等知识；
2.求出直线的参数方程. 教学难点:
通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备
(1)若由a b →→
与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →
为a →
方向上的 ，则a →
=︱a →
︱e →
.
(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211
.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线的普通方程为 .
(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授
探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）
1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量
e →
=（ ， ）
因为M 0//e
，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线的参数方程的标准形式为：
)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨
⎧+=+=αα
当堂训练
（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为
3
π
的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝
⎛=+=︒︒
的倾斜角是( )
︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D
2、直线l 的参数方程的几种形式
直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,
则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bt
y y at
x x 为参数
直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ct
x x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t
有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：
)
,,0,,0()()(22222222222
222220
2
22
20b d
c d
a d c c t t d c d
b d
c
d a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义
x
参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0
t =.
由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e
的方向总是向上的，
当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e
反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .
4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法
①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法
如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩
⎨⎧+=+=αα
代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于
t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算2
21t
t t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.
三、知识应用
例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.
四、课堂检测
直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）
)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D
五 、课堂小结
（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2
παα≠
的直线的参数方程的标准形式为：
)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩
⎨
⎧+=+=αα
，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.
(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为
21t t MB MA =∙.
弦的中点坐标对应的参数2
2
1t t t +=. 六、高考衔接
(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+=，椭圆C 的参数方
程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
七、作业布置
课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。