东南大学考研933高等代数2006年真题

一．(20%)若矩阵A 的伴随矩阵*1110

1100

1A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，B 满足*123A BA A B E -=+，求B 。

二．(15%)设矩阵3

083

1620

5A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪--⎝

⎭

，求10050

2A A -。 三．(20%)记n s

C

⨯是n s ⨯复矩阵全体在通常运算下构成的复数域上的线性空间。假设

22

A C

⨯∈。

1． 证明：22

{|}W X C

AX O ⨯=∈=是2

2⨯C

的子空间；

2． 若112

2A -⎛⎫

=

⎪-⎝⎭，求第1小题中子空间W 的一组基及其维数； 3． 设n n

M C ⨯∈的秩为r ，

n s

C ⨯的子空间{|}n s

U X C

M X O ⨯=∈=。

求U 的维数。 四．(15%)假设A 是s n ⨯实矩阵，在通常的内积下，A 的每个行向量的长度为a ，任意

两个不同的行向量的内积为b ，其中,a b 是两个固定的实数。 １． 求矩阵T

AA 的行列式；

２． 若2

0a b >≥，证明：T

AA 的特征值均大于零。

五． (20%)已知实矩阵224

,230b A B a ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 1． 若矩阵方程A X B =有解,但BY A =无解，问：参数,a b 应满足什么条件？ 2． 若,A B 相似，问：参数,a b 应满足什么条件？ 3． 若,A B 合同，问：参数,a b 应满足什么条件？ 六． (20%)设f 是有限维Euclid 空间V 上的正交变换。

1． 证明：f 的特征值只能是1或-1；

2． 证明：f 的属于不同特征值的特征向量相互正交；

3． 如果1和-1都是f 的特征值，并且1V 和1-V 分别表示f 的属于特征值1和-1的

特征子空间。若I f

=2

（I 表示V 上的恒等变换）

，证明：11V V ⊥

-=。 七．(10%)设A 是n 阶实对称矩阵，0λ是A 的最大特征值。证明： 0m ax

n

T

T x R

x Ax x x

θλ≠∈=，

n

R 表示实n 维列向量全体之集。

八．(15%)假设V 是数域F 上n 维线性空间，f 是V 上的线性变换。若1和2都是f 的

特征值，并且，f 满足 ()(2)f I f I O --=，其中，,O I 分别表示V 上的零变换和恒等变换。分别以12,V V 表示f I -及2f I -的核子空间，12,W W 表示f I -及

2f I -的值域。证明：

1. 12V V V =⊕；

2. 12V W =；

3. 若V 仅有有限多个f 不变子空间，你能得出什么结论？请给出你的结论成立的

理由。

九． (15%)假设n F 是数域F 上n 维列向量全体在通常运算下构成的数域F 上的线性

空间，n n F ⨯表示数域F 上n n ⨯矩阵全体之集，V 是n F 的子空间。证明：V 的维数dim V s =的充分必要条件是n n F ⨯中存在秩为n s -的矩阵A ，使得

{}|0n

V x F Ax =∈=。