含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法

含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法

朱昌勇

【摘要】无限深方势阱是量子力学中一个非常重要的模型,采用矩阵力学的方法解出了含有势垒的一维无限深方势阱的归一化波函数和能级,并且讨论了势垒趋于δ势垒时能级的情况.

【期刊名称】《韶关学院学报》

【年(卷),期】2016(037)002

【总页数】6页(P1-6)

【关键词】无限深势阱;波函数;势垒

【作者】朱昌勇

【作者单位】韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关512005

【正文语种】中文

【中图分类】O413.1

一维对称无限深方势阱是量子力学中最基本的问题之一，大部分的量子力学都有讲述，而且可以通过奇偶性求得其解析解［1-3］.但是对于含有方势垒的一维无限深方势阱的讨论就比较少，本文通过矩阵力学的方法求得其归一化波函数和能级，并且对一种极限情况：即方势垒趋于势垒时粒子的能级进行了讨论.

设质量为m的粒子在一个含有方势垒的一维无限深势阱中运动，设势能为：

其中，L为势阱半宽度，为势垒半宽度，为势垒高度，如图1所示.粒子满足的定态薛定谔方程为：

其中，E为粒子的能量.利用该方程可以求出粒子的能级和波函数.下面就两种情况（）进行求解.

1.1的情况

令：，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：

在势阱外，由于，所以波函数应该恒为零.即：

所以，满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：

根据连续性边界条件：在处，有：

即：

在处，有：

即：

将式（4a）、（4b）、（5a）、（5b）表示为矩阵方程的形式：

方程有非零解的条件是式（6）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：

其解为：

此外注意到，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，可以引入两个新的参量和，令，则结合（8a）和（8b）可以得到：

由此可以求出粒子的能级.

将代入式（6），可以得到其基础解系为：

所以粒子满足的波函数为：

由归一化条件，可知：

将式（9a）～（9c）代入式（10）可得：

将代入式（6），可以得到其基础解系为：

则粒子满足的波函数为：

将式（12a）～（12c）代入式（10），可得：

1.2的情况

令，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：

满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：

根据连续性边界条件，在处，可以得到：

将式（16a）、（16b）、（16c）、（16d）表示为矩阵方程的形式：

方程有非零解的条件是式（17）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：

其解为：

此外有，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，引入两个新的参量和，令，则结合（19a）和（19b）可以得到：

由此可以求出粒子的能级.

将代入式（17），从而可以得到其基础解系为：

所以粒子满足的波函数为：

将式（20a）～（20c）代入式（10）可得：

将代入式（17），可以得到其基础解系为：

则粒子波函数为：

将式（22a）～（22c）代入式（10）可得：

现讨论，但为有限值时粒子能级的情况，此种极限情况相当于无限深势阱内在处存在一个势垒.

此时，对于式（8a），其右边：

所以式（8a）可变为：

对于式（8b），其右边：

所以，即：.从而可以有其解为.利用，可以得到其能级为

此种情况与无势垒的一维无限深方势阱的能级相同，即相当于此时势垒不起作用. 本文采用矩阵方程表述的方法求解了含有势垒的一维无限深方势阱中粒子运动的波函数和能级，并且讨论了当，但为有限值（即相当于存在一个势垒）的情况，通过

对式（8b）的处理发现此时势垒对运动粒子的能级不起作用.

【相关文献】

［1］周世勋. 量子力学教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：26-29. ［2］苏汝铿. 量子力学［M］. 上海：复旦大学出版社，1997：37-40.

［3］曾谨言. 量子力学：卷Ⅰ［M］. 3版.北京：科学出版社，2001：88-92.