特征方程解数列递推关系
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类型四k阶常系数齐次线性递归式An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+…+ckAn
特征方程为Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+…+ck
(1)若X1≠X2≠…≠Xk则An= + +…+
(2)若所有特征根X1,X2,…,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+…+ts=k则An= + +…+ ，
例1：已知数列 满足：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得
其根为 故特征方程有两个相异的根，则有
∴
∴ 即
例2：已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求
（2）若 求
（Fra Baidu bibliotek）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
解：作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根
(1)∵ 对于 都有
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式
一.特征方程类型与解题方法
类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn
特征方程为X2=aX+b解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则An=pX1n+qX2n
(2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn(其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)
(I)又如果 ，则{ }等差，公差为 ，
所以 ，
即：
可以整理成通式：
Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有
，利用待定系数法可以求出 的通项公式
所以 ，化简整理得：
，
可以整理成通式
小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，为特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
其中 = + +…+ （B1,B2，…，Bti为待定系数）
二.特征方程的推导及应用
类型一、递推公式为 （其中p，q均为非零常数）。
先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，显然 是方程 的两个非零根。
1）如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。
2）如果 ，则{ }成等比。公比为 ，
所以 ，转化成： ，
(2)∵ ∴
令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴ ∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知， 时， 是存在的，当 时，有 令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在。
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在。
例3:数列 记
求数列 的通项公式及数列 的前n项和
解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或
,
,
例4：各项均为正数的数列 中
，当
解：由 得
化间得 ，作特征方程 ， ， 。
所以
1当α=β时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得
2当 时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得 ，
+
类型二、递推公式为
解法：如果数列 满足：已知 ，且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果 则 是等差数列。当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）
简例应用（特征根法）：
例1：数列 ： ，
解：特征方程是： ,
。又由 ，于是 故
例2：设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)求数列{xn}的通项公式。
解：显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型二递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则计算 = =k
接着做代换Bn= 即成等比数列
（2）若X1=X2=X 则计算 = =k+
接着做代换Bn= 即成等差数列
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型三递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2。然后参照类型二的方法进行整理
特征方程为Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+…+ck
(1)若X1≠X2≠…≠Xk则An= + +…+
(2)若所有特征根X1,X2,…,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+…+ts=k则An= + +…+ ，
例1：已知数列 满足：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得
其根为 故特征方程有两个相异的根，则有
∴
∴ 即
例2：已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求
（2）若 求
（Fra Baidu bibliotek）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
解：作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根
(1)∵ 对于 都有
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式
一.特征方程类型与解题方法
类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn
特征方程为X2=aX+b解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则An=pX1n+qX2n
(2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn(其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)
(I)又如果 ，则{ }等差，公差为 ，
所以 ，
即：
可以整理成通式：
Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有
，利用待定系数法可以求出 的通项公式
所以 ，化简整理得：
，
可以整理成通式
小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，为特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
其中 = + +…+ （B1,B2，…，Bti为待定系数）
二.特征方程的推导及应用
类型一、递推公式为 （其中p，q均为非零常数）。
先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，显然 是方程 的两个非零根。
1）如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。
2）如果 ，则{ }成等比。公比为 ，
所以 ，转化成： ，
(2)∵ ∴
令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴ ∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知， 时， 是存在的，当 时，有 令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在。
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在。
例3:数列 记
求数列 的通项公式及数列 的前n项和
解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或
,
,
例4：各项均为正数的数列 中
，当
解：由 得
化间得 ，作特征方程 ， ， 。
所以
1当α=β时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得
2当 时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得 ，
+
类型二、递推公式为
解法：如果数列 满足：已知 ，且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果 则 是等差数列。当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）
简例应用（特征根法）：
例1：数列 ： ，
解：特征方程是： ,
。又由 ，于是 故
例2：设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)求数列{xn}的通项公式。
解：显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型二递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则计算 = =k
接着做代换Bn= 即成等比数列
（2）若X1=X2=X 则计算 = =k+
接着做代换Bn= 即成等差数列
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型三递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2。然后参照类型二的方法进行整理