特征方程解数列递推关系
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+xA n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳音创编
欧阳音创编 2021.03.11 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方欧阳音创编 2021.03.11 程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n+===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n nc b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a欧阳音创编 2021.03.11 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳文创编
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
数列的递推 特征方程法
考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.数列特征方程式.一个数列:设有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴。
数列 特征方程法
数列特征方程法
数列特征方程法是一种求解递推数列通项公式的方法。
通过建立递推数列的特征方程，得到其对应的特征根和通解，再利用初始条件求出具体的系数，最终得到递推数列的通项公式。
在使用数列特征方程法求解递推数列时，需要注意以下几点：
1. 建立数列的递推关系式，确定其特征方程。
2. 求解特征方程的根，并根据根的个数和重复情况选择相应的通解形式。
3. 利用初始条件求解通解中的常数项，得到递推数列的通项公式。
数列特征方程法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，可以用于求解各种递推数列，如斐波那契数列、等差数列、等比数列等。
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特征方程法求数列通项
特征方程法求数列通项一、递推数列的定义和初值条件首先需要明确递推数列的定义和初始条件。
通常情况下，递推数列可以表示为：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + … + pk * an-k，其中p1、p2、…、pk为常数，an为数列的第n项，n为整数。
除了定义外，还需要给出数列的一些初始条件，如数列的第一项a1、第二项a2等。
二、构造特征方程在特征方程法中，首先需要构造递推数列的特征方程。
特征方程的构造与递推式相关，通常可以通过将递推式中的n项移到等式的一边，然后利用项的移位，将递推式表示为一个递推关系式：an - p1 * an-1 - p2 * an-2 - … - pk * an-k = 0然后，令n = k+1，得到an+1 - p1 * an - p2 * an-1 - … - pk * an-k+1 = 0再通过移项，将递推式表示为：an+1 = p1 * an + p2 * an-1 + … + pk * an-k+1三、寻找递推数列的特征值接下来需要找出递推数列的特征值（或称为根）。
特征值是使得特征方程成立的值。
根据以上递推式，可以得到特征方程的形式：x^(k+1) - p1 * x^k - p2 * x^(k-1) - … - pk * x = 0其中x为特征值。
四、确定递推数列的通项公式已知递推式的通解形式为：an = c1 * x1^n + c2 * x2^n + … + ck * xk^n通常，我们可以通过给定的初始条件，求解出常数c1、c2、…、ck，进而确定递推数列的通项公式。
举例说明：假设有一个递推数列满足an = 3 * an-1 - 2 * an-2，且a1 = 2，a2 = 5首先，可以将递推式变换为特征方程：an - 3 * an-1 + 2 * an-2 = 0再令n=2，可以得到a3-3*a2+2*a1=0将初始条件代入，即可得到一个关于c1和c2的方程：2c1+5c2=-4然后，我们需要求解特征值。
利用特征方程巧解分式递推数列问题
x2 + 3 2 ， 即 x + 2x － 3 = 0， 得 x1 = － 3 ， 2（ x + 1）
x2 = 1 ．
∴
{
an +1 + 3 = an +1 － 1 =
a2 （ a n + 3） 2 n + 3 +3 = ， 2（ an + 1） 2（ an + 1） a2 （ a n － 1） 2 n + 3 －1 = ． 2（ an + 1） 2（ an + 1） a +3 (a － 1)
第5 期
高中数学教与学
利用特征方程巧解分式递推数列问题
方志平
（ 广东省惠州市第一中学， 516007 ）
采用数学归纳法可以解分式递推数列问 然而解法过于繁琐 ， 而且在猜想通项公式 题， 时也易出错 ． 本文提出一种易于掌握的解法 — — — 特征方程法 （ 又称不动点法 ） ． 命题 一、 分式线性递推数列 如果数列 ｛ a n ｝ 满足下列条件 ： 已
由于特征方程 x =
∴ 实根 x1 = x2 = 2 ，
{ a 1－ 2 }是等差数列．
n
二、 分式非线性递推数列 分式非线性递推式 关系 a n +1 = aa + b 2 aa n + c
2 n
x2 是由递推 若 x1 ，
2 （ a， b， c 均不为 0 ， 且c +
4 ab ＞ 0 ） 所作的特征方程 x = 不相等的 实 根 ， 则 数 列 lg
2 t = 即 rt + st = pt + q，
px + q 2 ， 即 rx + （ s － p） x － q = 0 ． rx + s
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
递推数列的特征方程是怎样来的？（一）、若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1-=c dt，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c d a c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，11)1(1--+=-+∴n n c c da c d a 将b a =1代入并整理，得()11---+=-c dc bd bc a n n n .故数列d ca a n n +=+1对应的特征方程是：x=cx+d（二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11)(-++-=n n n s t a a t s a ,令⎩⎨⎧==-qst pt s （※） （1）若方程组（※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a ,)(12221-++=+n n n n a t a s a t a ,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a ①,1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②,∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得()()()nn n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2）若方程组（※）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列通项公式可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=，所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程，所以有结论：若递推公式为,11-++=n n n qa pa a 则其特征方程为q px x +=21、 若方程有两相异根1s 、2s ，则nn n s c s c a 2211+=；2、 若方程有两等根21s s =，则nn s nc c a 121)(+=.其中1c 、2c 可由初始条件确定。
数学-特征根法求通项公式
13 x 25 2 . 变形得 1 13 r n 1 5n 1 r x 10 1x 25 n 1 0, ∴ b ( n 1 ) 1 , n N. a , n N 令 则 得 ( n 1 ) , n N . b 0 , x3 n1 n 1 a1 n p r 8 a1 p r a1 5 8 特征方程有两个相同的特征根 5. 依定理 2 的第（1）部分解答.
且 n ≥2.
证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换 d n an , n N 则 d n 1 a n 1
由 是方程 x
pan q ra n h
an ( p r ) q h ra n h
px q ph . 的两个相同的根可以求得 rx h 2r ph h r h r h p 2 r ∴ 1, ph p r ph p r 2r
a1 , a2 决定（即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n 1,2 ，代入 an ( A B) x1n1 ，得到关于 A、
B 的方程组）。
例 3： 已知数列 an 满足 a1 a, a2 b,3an2 5an1 2an 0(n 0, n N ) ， 求数列 an 的通项公式。
故 a n 3b 2a 3(a b)( )
2 1 ( ) n 1 2 2 2 3 a n a1 (b a )[1 ( ) ( ) n 2 ] (b a) 。 2 3 3 3 1 3 2 2 a n [3 3( ) n 1 ]( b a) a 3(a b)( ) n 1 3b 2a 。 3 3
解法二（特征根法）：数列 an ：3an2 5an1 2an 0(n 0, n N ) ， a1 a, a2 b a2 a1 b a ， 解法一（待定系数——迭加法）
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
利用特征方程巧解分式递推数列问题[1]
![利用特征方程巧解分式递推数列问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6b046d0d15abe23482f4d3d.png)
{
}
r（ a n － x1 ） + s + rx1 1 1 = · ． ③ a n +1 － x1 p － rx1 a n － x1 由于 x1 = x2 ， 方程 ① 的两实根满足 x1 + x2 = p－s ， r
（ 3 ） 若 特 征 方 程 ① 无 实 数 根， 则数列 ｛ a n ｝ 为周期数列 ． 证明 a n +1 pa n + q －t = －t ra n + s
* 知 a1 的 值，且 对 于 n ∈ N ，都 有 a n +1 = pa n + q q， r， s 均为常数 ， r 其中 p， 且 ps ≠ qr， ra n + s
(
两式相除 ， 得 ∴
a n +1 － x1 p － rx1 a n － x1 = · ． a n +1 － x2 p － rx2 a n － x2
%
→
→ → → → ｛ OA， OB ｝ 的 分 解 式 为 OP = （ 1 － t ） OA + →
t OB ① ； 并且 ， 满足 ① 式的点 P 一定在 l 上．
% l P B A O
→
→
→
B M
P h A
图1
O
图2
t = y， 若令 1 － t = x， 则 OP = x OA + y OB（ x + y = 1 ） ． 从上述例题中可以得到结论 ： A、 B 确定的平面 点 P 是不共线的三点 O、 点 P 的轨迹是直线 AB 的充要 内的任意一点 ， 条件是 OP = x OA + y OB， 且 x + y = 1 （ x ∈ R，
特征方程解数列递推关系
特征方程解数列递推关系数列递推关系是指由已知的一些项推导出后续项的关系，通常用特征方程解决数列递推问题。
特征方程是一个代数方程，其解决了递推关系的数学性质，因此能够推导出数列的通项公式。
在讨论特征方程解数列递推关系之前，首先让我们来了解一下数列和递推关系的概念。
数列是一列有序的数的集合，其中每个数都有其对应的位置，称为项。
数列通常用a1,a2,a3,...,an表示，其中ai表示数列的第i项。
数列是离散的，即项之间没有连续性。
递推关系是指通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。
数列递推关系一般具有以下的形式：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中f是一个函数，表示通过前面的k个项来推导出当前项。
解决数列递推关系的一种常用方法是利用特征方程。
特征方程是通过将递推关系转化为代数方程，并求解该方程得到的根来得出通项公式。
接下来，我们将详细介绍如何通过特征方程解数列递推关系。
首先，考虑一个简单的数列递推关系 an = k * an-1，其中k是一个常数。
我们希望通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。
将an-1代入递推关系中得到 an = k * (k * an-2) = k^2 * an-2，依次类推，可以得到 an = k^n * an-n。
这是一个简单的等比数列，通项公式为 an= a1 * k^(n-1)，其中a1为初始项。
下面，我们通过特征方程解决一个稍复杂一些的数列递推关系。
考虑递推关系 an = an-1 + 2an-2，其中n > 2、假设已知a1和a2，我们可以通过这两个初始项来推导出后续项之间的关系。
首先，我们猜测通项公式为 an = r^n，其中r为待确定的常数。
将该通项公式代入递推关系中得到 r^n = r^(n-1) + 2r^(n-2)。
我们希望将递推关系转化为一个代数方程，从而求解r的值。
将r^(n-2)整体提取出来，得到r^(n-2)(r^2-r-2)=0。
数列的递推特征方程法
数列的递推特征方程法特征方程法是通过构造特征方程，然后求解特征方程得到通解的一种方法。
下面我们将详细介绍特征方程法在数列递推中的应用。
首先，让我们来回顾一下数列的一般形式。
一个数列可以表示为：aₙ=c₁aₙ₋₁+c₂aₙ₋₂+...+cₙaₙ₋ₙ其中aₙ表示数列的第n项，c₁,c₂,...,cₙ为常数，k为递推阶数。
为了求解递推关系，我们首先要确定数列的特征方程。
特征方程的核心思想是假设数列的n项与前面的k项有关，然后构造一个特征方程来描述这个关系。
假设数列的特征方程为：xₙ-c₁xₙ₋₁-c₂xₙ₋₂-...-cₙ₋₁x₁-cₙ=0其中x₁,x₂,...,xₙ为变量。
我们可以通过观察数列的递推关系来确定特征方程中的系数。
具体方法如下：1.观察递推关系中的系数c₁,c₂,...,cₙ；3.求解特征方程，得到特征根。
特征方程的解，也称为特征根，是特征方程的根，通常由它的重根个数决定数列的通解形式。
当特征根都是互不相等的实数时，数列的通解可以表示为：aₙ=A₁r₁ⁿ+A₂r₂ⁿ+...+Aₙrₙⁿ其中A₁,A₂,...,Aₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根。
当特征根中存在共轭复根时，数列的通解可以表示为：aₙ = (A₁r₁ⁿ + A₂r₂ⁿ + ... + Aₙrₙⁿ)cos(ωn) + (B₁r₁ⁿ + B₂r₂ⁿ+ ... + Bₙrₙⁿ)sin(ωn)其中A₁,A₂,...,Aₙ,B₁,B₂,...,Bₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根，ω为共轭复根的辐角。
通过特征方程法，我们可以求解出数列的通解。
在实际问题中，根据已知的数列前几项，我们可以构造数列的递推关系并使用特征方程法求解出数列的通解。
然后根据题目给出的条件，我们可以求解出具体的系数，从而得到数列的具体形式。
总结起来，特征方程法是通过构造特征方程来求解数列的递推关系的一种方法。
通过特征方程的解，我们可以得到数列的通解，并根据题目给出的条件得到数列的具体形式。
特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、一阶线性递推式设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式;定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n 证毕例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位;当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二、二阶线性递推式定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程;若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组；当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组;例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式;解法一待定系数、迭加法由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12;则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,32为公比的等比数列, 于是：11)32)((-+-=-n n n a b a a ;把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得：a b a a -=-12, )32()(23⋅-=-a b a a , ••• ,21)32)((---=-n n n a b a a ;把以上各式相加,得：])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-; a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--;解法二特征根法：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x ;32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A ; 又由b a a a ==21,,于是：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、分式递推式定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx q px x ++=. 1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在；2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第2部分,则有：∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a1若,51=a 求;n a 2若,31=a 求;n a 3若,61=a 求;n a 4当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第1部分解答.1∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a 2∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. 3∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ 4、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第1小题的解答过程知,51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2.∴当11351--=n n a 其中N ∈n 且N ≥2时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.定理3证明：分式递推问题：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx qpx x ++=.1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ称作特征根时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第1部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ, 则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11hra hq r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp rd d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n rp rb b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第2部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第1部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根,故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ,而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ证毕注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多,利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d+⋅+=⋅+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++---=⋅---.定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+-+-.例109·江西·理·22各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++. 1当14,25a b ==时,求通项n a ;2略. 例2 已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 例 3 已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a例4已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈. 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n nn a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩. 定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩. 例5已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a 例6已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .。
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项通项公式（或递推公式）是一个能够描述数列中每一项与前面的项有何种关系的方程式。
特征方程是解决递推公式的常用方法之一、接下来我将详细介绍特征方程的应用过程。
为了说明特征方程的用法和应用，我将以一个简单的数列为例，展示如何使用特征方程来求解这个数列的通项公式。
假设我们有一个数列：1, 2, 4, 8, 16, ...。
我们可以观察到每一项等于前一项乘以2，因此可以得出递推公式为an = 2 * an-1、其中an 表示第n项。
现在，我们来利用特征方程来推导这个数列的通项公式。
首先，我们设数列的通项公式为f(n)，并设特征方程为an = r * an-1根据递推公式an = 2 * an-1，我们有f(n) = 2 * f(n-1)。
将f(n)替换为an，f(n-1)替换为an-1，则特征方程变为an = 2 * an-1接下来，我们将特征方程的右边移到左边，并将an除以an-1，得到2 = an / an-1、由于an / an-1等于f(n) / f(n-1)，我们可以将特征方程改写为f(n) / f(n-1) = 2继续化简，得到f(n)=2*f(n-1)。
可以注意到这个递推公式与原数列的递推公式相同。
因此，我们可以得出结论，这个数列的通项公式为f(n)=2^n。
所以，数列1,2,4,8,16,...的通项公式为f(n)=2^n。
通过这个简单的例子，我们可以看到特征方程的应用过程。
通过将递推公式变形为特征方程的形式，我们可以通过求解特征方程得到数列的通项公式。
特征方程的应用不仅仅局限于这个简单的数列，它可以用于解决更加复杂的递推关系。
我们可以将递推关系转化为特征方程，并通过解特征方程来求解数列的通项公式。
总结一下，特征方程可以帮助我们求解数列的通项公式。
它将递推关系转化为一个以未知数为变量的等式，通过解这个等式得出数列的通项公式。
通过特征方程的应用，我们能够更好地理解和推导数列的递推关系，从而更加深入地研究数列的性质和特点。
用特征根方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：1n n n aa b a ca d++=+ 令 ax b x cx d +=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+）(2)若12x x ≠,则有111122n n n n a x a xq a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23()27x f x x -+=-，(1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数k 的值；(3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。
23()27x f x x -+=-解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=-解得012x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83327x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++-----可知使()()f x a x a kf x b x b --=--恒成立的常数18k =。
(3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --++=⋅--，所以数列 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。
则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有11411234231114244651052223n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列 1121()255n n n a a --=-+ 1141()1(5)455,N.212(5)1()55n n n n n a n ---+--==∈+--- 例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543,N.7n n a n n +=∈+ 一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），（1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列；（2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列； （3）当1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；（4）当0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1qx p=-叫做特征方程的特征根，这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+；例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ；（参考答案：122273n n a -=-）二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。
用特征根方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：1n n n aa b a ca d ++=+ 令 ax b x cx d+=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2cp a d =+）(2)若例题 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。
则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1（3（4例1方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。
（1）当12x x ≠时，有1122n n n a c x c x =+； （2）当12x x =时，有111[(1)]n n a a n d x -=+-；其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。
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例1：数列 ： ，
解：特征方程是： ,
。又由 ，于是 故
例2：设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)求数列{xn}的通项公式。
解：显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：
例1：已知数列 满足：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得
其根为 故特征方程有两个相异的根，则有
∴
∴ 即
例2：已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求
（2）若 求
（3）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
解：作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根
(1)∵ 对于 都有
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ:数列 记
求数列 的通项公式及数列 的前n项和
解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或
,
,
例4：各项均为正数的数列 中
，当
解：由 得
化间得 ，作特征方程 ， ， 。
所以
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型二递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则计算 = =k
接着做代换Bn= 即成等比数列
（2）若X1=X2=X 则计算 = =k+
接着做代换Bn= 即成等差数列
(3)若为虚数根，则为周期数列
类型三递推公式为An+1＝
特征方程为X= 解得两根X1X2。然后参照类型二的方法进行整理
类型四k阶常系数齐次线性递归式An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+…+ckAn
特征方程为Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+…+ck
(1)若X1≠X2≠…≠Xk则An= + +…+
(2)若所有特征根X1,X2,…,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+…+ts=k则An= + +…+ ，
(I)又如果 ，则{ }等差，公差为 ，
所以 ，
即：
可以整理成通式：
Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有
，利用待定系数法可以求出 的通项公式
所以 ，化简整理得：
，
可以整理成通式
小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，为特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
其中 = + +…+ （B1,B2，…，Bti为待定系数）
二.特征方程的推导及应用
类型一、递推公式为 （其中p，q均为非零常数）。
先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，显然 是方程 的两个非零根。
1）如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。
2）如果 ，则{ }成等比。公比为 ，
所以 ，转化成： ，
(2)∵ ∴
令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴ ∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知， 时， 是存在的，当 时，有 令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在。
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在。
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式
一.特征方程类型与解题方法
类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn
特征方程为X2=aX+b解得两根X1X2
(1)若X1≠X2则An=pX1n+qX2n
(2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn(其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)
1当α=β时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得
2当 时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以
解得 ，
+
类型二、递推公式为
解法：如果数列 满足：已知 ，且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果 则 是等差数列。当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）