专题四 第5讲 空间几何体的外接球
几何体外接球常用结论及方法
几何体外接球常用结论及方法几何体的外接球是指能够将该几何体完全包围的球。
在三维空间中，我们常见的几何体有球、正方体、长方体、圆锥体、圆柱体、四面体等。
下面将介绍几何体外接球的常用结论及求解方法：1.球的外接球：球本身就是一个外接球，其半径即为球的半径。
2.正方体的外接球：正方体的外接球是一个球心位于正方体空间对角线中点处的球。
对角线在空间中的长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于正方体一条边的平方根乘以根号3、因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
3.长方体的外接球：长方体的外接球是一个球心位于长方体空间对角线中点处的球。
同样，对角线长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于长方体的长、宽、高的平方和的开方。
因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
4.圆锥体的外接球：圆锥体的外接球是一个球心位于圆锥体顶点与底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
5.圆柱体的外接球：圆柱体的外接球是一个球心位于圆柱体两个底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
6.四面体的外接球：四面体的外接球是一个球心位于四面体四个顶点的外接圆圆心的球。
外接球的半径等于外接圆的半径。
以上是几何体外接球的常用结论。
接下来我们介绍一种求解几何体外接球半径的常用方法，即通过计算几何体的顶点坐标来求解。
首先，根据几何体的类型和已知信息，确定几何体的顶点坐标。
对于球、正方体、长方体等简单的几何体，可以通过已知的半径、边长等信息得到；对于复杂的几何体，可以通过已知的顶点坐标及其它辅助信息求解。
然后，根据顶点坐标计算几何体的外接球的球心坐标。
球心位于几何体顶点的外接圆的圆心处。
对于球、正方体、长方体等几何体，直接取顶点坐标的平均值作为球心坐标；对于其它几何体，可以通过求解外接圆的圆心坐标来得到球心坐标。
最后，根据球心坐标和几何体顶点坐标，计算几何体的外接球半径。
外接球半径就是几何体顶点与球心之间的距离的最大值。
空间几何体外接球说课稿
操作方法： 学生一起回答,教师
切割
面体是这个球的 是这个多面体的
.
，这个球
将半径公式板书在 黑板上。
归纳
练习 小结
作业 2、长方体外接球的半径R:
复习目的是以旧引 新，一方面引起学 生对旧知识的回忆， 另一方面为求三棱 锥外接球半径作铺 垫。
复习 切割 归纳
练习
思考1：如果从球的内接长方体
小结
的八个顶点上任取不共面
棱柱
的各个顶点都在球O的球
面上，且
，
练习 ABC．若球O的表面积为
， 平面 ，则这个三
棱柱的体积是（
）
小结
A． B． C．
作业
D．1
分层次做题， 使不同层次 的学生都得 到充分的训 练。
作业
选做：【2018银川一中月考】一个四 复习 面体的顶点都在球面上，它们的正视
图、侧视图、俯视图都是右图．图中 切割 圆内有一个以圆心为中心边长为1的
问题打下基础。
二、教学目标分析
1.作用及地位
1.（1）掌握长方体、正方体外接球半 径公式；
（2）掌握利用补形法（或切割法）求 2.教学目标分析 常见空间几何体的外接球半径。
说
课 3. 知识现状分析
2.通过教学，培养学生的观察、分析
流
、归纳、作图以及空间想象能力、增强表
程 4.重点难点分析 达能力，渗透数形结合思想、数学建模思
（2）掌握求正四面
为 , 则该三棱锥的外接球的直 体外接球半径的一
切割 径为多少？
般方法； （3）正方体和其内
归纳
置正四面体有共同
的外接球，正四面
练习
体问题可以考虑能
否将其镶嵌到正方
空间几何体外接球问题精品课件(共27张ppt)全
合作探究一：
（3）已知正四面体A-BCD，所有棱长都相等，点 A，B，C ，D都在球O 的表面上，如何求这个球的半径？
合作探究一：
（4）已知三棱锥 A-BCD，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，则三棱锥 A-BCD 外接球的半径?
合作探究二：
（5）已知正三棱锥 P-ABC，点 P，A，B，C 都在球 O 的表面上，顶点 P 到面 ABC 的距离为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
合作探究二：
（6）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1，所有顶点都在球 O 的表面上，直三棱柱的高为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
O''
针对训练二： 1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ） A. B.16π C.9π D. 2. 正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则该三棱柱的外接球半径为__________.
空间几何体外接球问题
几何体与球的组合问题，一种是内切球，一种是外接球。纵观高考题，这种位置关系在高考中既是考查的热点，也是考查的难点，这是因为与球有关的几何体能很好地考察学生的空间想象能力以及化归能力。下面就常见几何体的外接球问题进行分析，找出规律，以便同学们更好地迎接高考。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c且它的8个顶点都在球面上，求这个球的半径？
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
复习回顾：
几何体的外接球精彩讲义
例 已知三棱锥 A − BCD 中，AB=AD=CD=1，BC⊥CD， BD = 2 , ,则该三棱锥的外接球的半径
为
．
A
解：如图所示，△ABC，△BCD 均为直角三角形，O 为 BC 的中点，
易知，O 为外接球球心， R = 1 BC = 2 。
2
2
B
C
O
D
结论 6：一般棱锥外接球球心的找法
寻找底面多边形的外接圆的圆心 M 过 M 作底面的垂线 l 任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与 l 的交点即为外接圆的圆心
中， AB ⊥ BC, BC ⊥ CD ，平面BCD ⊥ 平面ABC ，BC=BD=AB=2,则该三
棱锥的外接球的半径为
．
解：如图，可知 R = 3
注：含有三个直角三形的三棱锥一般均可以补成长方体： 例：已知在三棱锥 P-ABC 中，已知 AB=1，PA=2，AC=3，其外接球的半径为 R (1)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，则 R= (2)若 PA⊥AB，PA⊥PC，AB⊥BC,则 R= (3)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，则 R=
注：实际使用中，通常在垂线 上任设一点 O ，然后利用 O 到各点的距离相等，从而确定外接球球心的
半径 （二）补形法 构造正方体或长方体确定球心
方法一：补成棱柱
有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱
例：已知在三棱锥 A-BCD 中，底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形，且 AC = AD = 13 ，若 AB=2，
例：已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注
水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水 8
高三数学《空间几何体的外接球》教案
高三数学《空间几何体的外接球》教案一、教学内容分析空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，这类题目对学生而言比较抽象，较难找到解题的切入点与突破口，为此，本节课将梳理有关外接球常用几种模型，总结一般题型的方法与套路，这就要求学生能够熟悉常见的模型，比如：长方体模型、柱体模型、锥体模型等，同时，希望通过本节课学生能够将空间问题转化为平面问题。
二、学生学情分析空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，主要以选择、填空题形式出现，考查载体主要是柱体。
锥体为主，对空间想象能力要求较高，解题的关键是找出球半径和线面的关系，这就要求学生能够熟悉常见的模型，能够将空间问题转化为平面问题。
本人任教的班级是高三8班，理科平行班级，学生基础不是很好，空间想象能力不强，因此针对本班的实际情况，我将近几年的与空间几何体外接球有关高考题进行了分类，总结出三种模型，供学生直接运用到题目中。
三、教学目标分析1、掌握空间几何体外接球的常见模型，并熟悉每种模型采用的方法。
2、培养学生的空间想象能力，将空间问题能够转化成平面问题。
四、教学设计过程回顾高考：近几年新课标全国卷空间几何体外接球试题在考查题型、考查载体、考查能力、解题方法等方面呈现怎样的特征?试题特点近几年与空间几何体外接球有关的高考题，需要学生能够确定球的半径或者确定球心的位置，其中球心的确定是关键，考查学生的空间想象能力，运用体和球之间的主要位置关系和数量关系，从而把空间问题化为平面问题，进而运用平面几何的知识寻找球半径的解法。
高三数学《空间几何体的外接球》教案2.问题设置本节课的3个例题所涉及到的函数相同,都是,这样设计的好处在于避免在函数的理解、认识上以及计算上浪费时间,将时间尽量集中在切线问题的处理方法上,凸显本节课的主题.其次,这3个例题逐步递进,难度逐渐加大.问题梯度明确,例1起点不高,学生比较容易解决,但由于审题原因,容易犯错误,例2问题不再单一,不仅要用到切线问题的处理方法,还需要用到转化与化归的思想,函数与方程思想以及数形结合思想,有一定的综合性.例3在题意的理解上,问题的处理上难度较大,在问题的解决中不仅用到了转化与化归的思想,数形结合思想,还用到了构造的思想,对学生来说是一个巨大的挑战.这样设计体现了新课程“分层推进、逐渐深化”的课程理念.有助于逐步加深学生对切线问题的认识,激发学生的学习积极性和求知欲.3.教学过程教学过程的设计经过3次大的修改.第1次修改在经过第1次试讲以后,发现的问题是时间不够,主题不鲜明,基础知识的讲解不全面.要回顾导数的几何意义,就必需复习导数的几何意义的推导,因此就得复习导数的定义.经过备课组老师的讨论,修改如下:第一个部分导数的几何意义的主要内容变为:(1)导数的定义;(2)切线的定义;(3)导数的几何意义;(4)有关切线的两点说明:第1点是切线与曲线的公共点个数问题.第2点是切线与曲线的位置关系问题.这两点以问题教学的方式进行复习.第1点是为例1,例2的讲解作好知识铺垫,第2点是为例3的讲解作好知识铺垫.第2次修改在经过第2次试讲后,发现时间还是不够,课堂节奏太快,学生思考讨论时间太少.主要原因在于讲解有关切线的两点说明这个内容所用时间大概有10来分钟,不仅没有为后面例题的讲解起到应有的帮助,而且冲淡了本节课的主题.因此第2次修改将有关切线的两点说明这个内容去掉.将第一部分的内容改为:(1)内容;(2)推导,包括3个部分:①导数的定义;②切线的定义;③两个定义的关系;(3)作用.并且明确了本节课的核心为:切线方程.主线为:切点切线方程切线问题.第3次修改在经过第3次试讲后,前面基础知识的讲解时间大概在10分钟左右,但是由于后面例题分析,引导,讲解,板书所用时间较长,因此例3没有讲完,就匆匆小结.经过备课组的讨论,对例3的讲解变为只给学生分析,引导思路.把例3的求解过程留成作业让学生课后完成.这样一来,就可以留出较多的时间让学生思考交流,以及进行课堂小结,升华本节课的内容与方法.本节课的教学设计最终完成.高三数学《空间几何体的外接球》教案4.板书设计由于例1,例2,例3所用的方法是一样的,所以在板书过程中有些内容例1写完后,例2,例3不用重新写,只需要进行个别地方的修改.例3重在分析思路,过程可用多媒体展示.这样的设计就能节约大量时间.5.课后作业课后两个题都是高考原题.实质上例2,例3就是从这两个高考题提炼出来的.这样设计在于保证例题设置不会偏离高考方向,有助于学生感受高考试题的类型和难度,更好的备战高考.。
《空间几何体的外接球》(获奖教案)
《空间几何体的外接球》教学设计一、课标要求三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的。
基本要求：1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、教学分析：纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。
与球有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究三、教学目标1、掌握确定球心、求解半径的方法。
2、通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.四、教学重难点教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径；教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径.五、教法分析本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助多媒体用讲授法、讨论法、练习法等教学方法，引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。
本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。
从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地思考。
五、教学过程教学环节教学内容与问题设置设计意图复习回顾引入新课回顾下列知识：1.球的表面积公式：_________2.球的体积公式:______________3.长方体体对角线的求法:______________4.利用正弦定理求三角形外接圆的半径:____________5. 球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是________；用一个平面去截球面，截线是_____。
大圆截面过________，半径等于_________；小圆截面不过______性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于________．性质3: 球心到截面的距离 d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:____________知识准备。
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球本文介绍了几种利用几何体的特殊性质来求解外接球半径的方法。
其中第一种方法是针对长方体模型一的，只需要找到三条两两垂直的线段，就可以直接使用公式2R=a+b+c或2R=a²+b²+c²来求解半径R。
接着，文章给出了几个例题，让读者更好地理解和应用这种方法。
第二种方法是针对长方体模型二的，题设为一条直线垂直于一个平面，解题步骤包括将三角形画在小圆面上，连接直线与圆心，最后利用勾股定理求解外接球半径R。
同样，文章给出了几个例题供读者练。
最后，文章介绍了对棱相等模型的长方体模型三，这种方法需要求出补形为长方体的几何体的体积，并将其除以4π/3，就可以得到外接球的半径R。
文章提供了一个例题，让读者更好地掌握这种方法。
总的来说，本文通过多种方法介绍了如何求解几何体的外接球半径，对于需要进行相关计算的读者来说，是一份不错的参考资料。
三棱锥（即四面体）中已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）的方法如下：第一步，画出一个长方体，并标出三组互为异面直线的对棱。
第二步，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列出方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2然后，根据墙角模型，2R=a+b+c=√(x^2+y^2+z^2)，求出外接球半径R。
补充：V(A-BCD)=abc/3，V(ABCD)=abc/3×4=4abc/3例如，正四面体的外接球半径也可以用此法求解。
题例3：1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
2.如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
3.正四面体的各条棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为。
类型二：圆锥模型题设：如图6、7、8，P的射影是△ABC的外心，当且仅当三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，或者三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底面上，且顶点P点也是圆锥的顶点。
空间几何体的外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二'外接球的有关知识与方法1.性质:性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。
外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。
2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。
r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。
4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。
2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。
其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。
几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。
练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。
本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。
对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。
补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。
而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。
对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。
对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
空间几何体的外接球,内切球课件,公开课
解2：补形法.
把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，
C
则
P
a＝
2x，由题意 2R＝
3x＝
3×
2a＝ 2
26a，
∴
S
球＝4π
R2＝3πa2. 2
O
•
A
B
LOGO
S
O
•
A
C
B
锥体模型 侧面与底面垂直的几何体，外接球的球心在哪？
过PA,PD作轴截面，交BC边中点E, 连接OE，OF
∴PD=1,易知
， PE为斜高D,
由△POF∽△PED，得
r 1 r 3 23
，解得r=
1 3
3
3
S球=4πr2=
4 9
V球=
4 πr3=
3
4 81
A
轴截面法
作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上.
LOGO
P
O
C
D
E
B
P
rF
O
r
E D
探究新知 LOGO
的球心
16.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,
SC是球O的直径. 若平面SCA 平面SCB, SA AC ,
SB BC,三棱锥S ABC的体积为9, 则球O的表面积
为 36 . B
B
S
CS
OC
设OA r, 则 A
A
VA SBC
1 3
S△SBC
OA
1 3
1 2r r r 2
R2
r22
r12
(a)2 2
空间几何体外接球专题讲解
专题 外接球一、知识衔接——外接圆 1.平面几何图形，如三角形、正方形、长方形等，存 在外接圆；当然，并不是所有的平面几何图形均有 接圆;在四边形中，若不满足对角互补，则该四边形 便不存在外接圆.B 的外接圆.外接圆的圆心到各个顶点的距离相等，均 代表外接圆的半径.反之，若一个点到各个顶点的距 离相等，则该点即为外接圆的圆心.外接圆的圆心可 能在平面几何图形的内部或外部或边上. 3.圆的问题多围绕圆的半径展开.外接圆多以三角形 的外接圆居多.求三角形外接圆的半径有两大思路： ①确定圆心再求半径；②直接利用正弦定理求半径. 二、类比推新——外接球 1.存在外接球；当然，不是所有的空间几何体都有外接球. S2.定义：经过空间几何体所有顶点的球称为该空间 几何体的外接球.外接球的球心到各个顶点的距离 相等，均为外接球的半径.反之，若空间中有一个点 到各个顶点的距离相等，则该点即为外接球的球心. 3.外接球的问题多涉及外接球的半径，而求半径需 先确定外接球的球心.可以说，外接球问题的本质就 是球心位置的确定. 三、常见空间几何体的外接球 1.直三棱柱： A 1 B 2 O 2 C 1OA B O 1 C在直三棱柱中，上下两个地面三角形外心连线的中 点即为直三棱柱外接球的球心. 2.正三棱锥(正四棱锥) SO` A B O 1 C 正三棱锥(正四棱锥)外接球的球心在正三棱锥(正四 棱锥)的高上，为高上的某一点，不见得必为高的中 点，需结合已知条件求解.3.正方体(长方体)D 1 C 1A 1 B1 OD CA B正方体(长方体)体对角线的中点即为正方体(长方体) 外接球的球心. 四、填补图形求外接球 对于有些空间几何体，可将其补充为直三棱柱、正 方体、长方体等；补充后的几何体与原几何体共外 接球，从而可转化为求直三棱柱、正方体、长方体 等的外接球. S S M N ⟹A AB C B C在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC .可将三棱锥S −ABC 补充为直三棱柱SMN −ABC ，二者共外接球，求三棱锥外接球即求直三棱柱外接球. S S O ⟹ M A A D B D B C C在四棱锥S −ABCD 中，侧棱SA ⊥平面ABC .在上述情况下，可将四棱锥补充为直四棱柱(正方体 或长方体)，且二者共外接球.求四棱锥的外接球等价 于求直四棱柱(正方体、长方体)的外接球.五、切面圆求外接球在圆中： 取弦AB ，则弦AB 平分线n 必过圆心.再取弦CD ，则弦CD 的 垂直平分线m 也必过圆 心，要求两弦不平行. 则两弦垂直平分线的交点即为圆的圆心，可以以此 确定圆心位置.同样地，在球中：对球切割，切面均为圆；当切面不经过球心O 时，所得 O 切面圆称为小圆；将球心O与小圆圆心连接，所得连线 O 1必与小圆所在平面垂直.据此，在球上任取两个不平行的切面圆，过两圆的 圆心作两圆所在平面的垂线，则两面的垂线必相交 且交点即为外接球的球心. 由上述可知，确定外接球的球心只需确定小圆圆心 与垂线. 在实际操作中，确定外接球的球心，即确定空间几 何体某个面的外接圆的圆心与过圆心的垂线.原因 在于对空间几何体的外接球切割时，可以就地取材 沿着空间几何体的某个面切割，所得切面圆即为该 面的外接圆，圆心即为该面对应多边形的外心.【例1】三棱锥D−ABC中，AB=CD=√6，其余四条棱长均为2，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为（）A.7πB.14πC.21πD.28π解析：[法一填补几何体]结合三棱锥D−ABC的棱长，可将其填补为一个底面为棱长√3的正方形，高为1的长方体，如下图所示:A其中，AD111三棱锥D−ABC与长方体AD1BC1−FCED共外接球. 对于长方体而言，体对角线C1D的中点即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径长.∴2R=√DD12+D1A2+BD12=√7即R=√72故外接球的表面积S=4πR2=7π.[法二切面圆求外接球]DECH OA GM B在∆ACB与∆ADB中，∵AD=BD=AC=BC=2且AB为两三角形的公共边∴∆ADB≅∆ACB且为等腰三角形.取AB的中点M，连接MD，MC，则MD⊥AB，MC⊥AB；结合外接圆的性质及三角形的形状，可知∆ABD与∆ABC外接圆的圆心在底边上的高MD，MC 上，不妨设为G，H，分别过G，H作平面ABC，平面ABD的垂线，两垂线的交点设为O，即为外接球的球心. ⋯⋯外接球球心位置的确定在Rt∆BMC中，∵BC=2，BM=√62∴MC=√102且sinB=MCBC =√104由正弦定理可知：∆ABC的外接圆的半径满足2r=AC sinB =4√105即CG=r=2√105MG=MC−GC=√1010∵∆ABD与∆ABC全等∴DM=MC=√102DH=CG=2√105MH=MG=√1010连接MO并延长交CD于E.∵OH⊥平面ABD，OG⊥平面ABC∴∆MHO与∆MGO为全等的直角三角形，故MO为∠GMH的角平分线，又因为∆DMC是以MD=MC=√102为两腰的等腰三角形，故E为底边DC的中点在Rt∆MEC中，MC=√102，EC=√62∴ME=1tan∠CME=ECME=√62在Rt∆MGO中，tan∠OMG=OGMG=√62∴OG=√1510在Rt∆OGC中，OG=2+GC2=√72即为外接球半径故表面积S=4πR2=7π ⋯⋯算半径答案：A【例2】已知四棱锥P−ABCD的外接球为球O，底面ABCD为矩形，面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为________.解析：[法一填补几何体求外接球]根据四棱锥P−ABCD的结构特征，可将该四棱锥填补为正三棱柱：P1BDORP AO1rD四棱锥P−ABCD与正三棱柱PAD−P1BD共外接球对于正三棱柱PAD−P1BD而言，外接球球心为上下两个全等三角形外心连线的中点，如图中O，O1为底面正三角形的外心.在等边∆PAD中，外接圆半径r满足2r=PDsinA=4√33∴r=2√33在Rt∆OO1A中，OO1=12AB=2∴OA =R =√OO 12+r 2=4√33故球O 的表面积为S =4πR 2=64π3[法二 切面圆求外接球]C BO 1 O D M O 2A P 由已知条件可知：该四棱锥有两个面上的多边形较 特殊，即∆PAD 为正三角形，四边形ABCD 为长方形； 沿着平面PAD 与平面ABCD 切割外接球，所得切面圆为二者的外接圆，圆心为二者的外心. 对于正∆PAD ，其外心为高的三等分点；对于长方形ABCD ，其外心为两条对角线的交点. 取棱AD 的中点M ，取长方形ABCD 对角线AC 的中点O 1连接O 1M ，MP ，则MP ⊥AD ，O 1M ⊥AD在MP 上取靠近M 的三等分点O 2，则O 2即为∆PAD 的外心. ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴MP ⊥平面ABCD ，O 1M ⊥平面PAD 过O 2作OO 2//O 1M ，过O 1作O 1O//MP ，则O 1O ⊥平 面ABCD ，O 2O ⊥平面PAD ，交点O 为外接球的球心. 在四边形MO 2OO 1，∵ O 1M//O 2O ，O 2M//O 1O 且O 1M ⊥O 2M ∴ 四边形MO 2OO 1为长方形 ∴OO 2=12AB =2在Rt∆OO 2P 中，O 2P =23MP =2√33外接球半径R =OP =√OO 12+O 2P 2=4√33所以外接球的表面积为S =4πR 2=64π3[]x取AD 的中点O ，连接OP ，取BC 的中点O 1，连接OO 1则OP ⊥AD ，OO 1⊥AD .∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABC =AD ∴OP ⊥平面ABCD ，OO 1⊥平面PAD 即直线OA ， OP ，OO 1两两垂直，以OA ，OP ，OO 1所在直线为x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A(1，0，0)，D(−1，0，0)，P(0，√3，0)与 B(1，0，4).设外接球球心M(x ，y ，z)，半径为R ，则有：{√(x −1)2+y 2+z 2=R √(x +1)2+y 2+z 2=R √x 2+(y −√3)2+z 2=R√(x −1)2+y 2+(z −4)2=R解得：x =0，y =√33，z =2 R =4√33故外接球的表面积S =4πR 2=64π3答案：64π3【模拟练习】 1.已知侧棱长为√2的正四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心O 在地面正方形上， 则球O 的表面积为（ ）A.4πB.3πC.2πD.π 2.已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上 且AB =BC =√2，AC =2，DC =2√3，则这个四面体的体积为（ ） A.23B.5√33C.4√33D.2√333.已知空间四边形ABCD ，∠BAC =2π3，AB =AC =2√3，BD =CD =6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空 间四边形ABCD 的外接球的表面积为_________.4.[湖南师大附中2018届高三模拟]三棱锥P −ABC 中， PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，M 是线段BC 上一个动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值 的最大值为√62，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面 积为（ ）A.2πB.4πC.8πD.16π5.已知四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面AB6.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC CD,其中ABCD为正方形，∆PAD为等腰直角三角⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积形且PA=PD=√2，则四棱锥P−ABCD外接球为（）的表面积为（） A.25π3B.25π2C.83π3D.83π2A.10πB.4πC.16πD.8π8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°且AP=√2，AB=2，M是线段BC上一个动点，线段7.空间四点A、B、C、D都在球心为O的球面上且PM长度最小值为√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表AD⊥平面ABC，AD=2，AB=BC=AC=2则面积为（）球O的表面积为（） A.9π2B.40πC.9√2πD.18πA.32π3B.28π3C.16π3D.4π。
空间几何体的外接球 说课课件 张富
设计意图：球心是决定球的位置关键点，利用球心到正三棱锥 四个顶点的距离相等且为球半径，找到球心在高线上 ，以球心 的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方 法．
变式1：正四棱锥S-ABC的底面边长2,侧棱长都 为 ，点S、A、B、C都在同一球面上，求此球 的体积.
设计意图：选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的 球心，本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通 法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，把空 间问题转化成平面问题，这种等价转化的数学思想方法值得我 们学习.
第四环节: 深入探究，加强理解
变式2:三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形， 侧棱垂直底面，侧棱长为3，求该三棱柱的外 接球半径. 变式3:若是正五棱柱、正六棱柱如何确定外接 球球心的位置？
设计意图: 设计意图：让学生学会直棱柱的外接球可 利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为 上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理 求球的半径.变式练习由易到难,循序渐进, 考察对方法 的灵活应用，找到通法.
第七环节 布置作业
1.已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD= ， AC= ，BC⊥AD，求三棱锥的外接球的表面积.
2.在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直， △ABC，△ACD，△ADB的面积分别为 ， ， ， 求该三棱椎外接球的表面积.
3.四面体PABC中PA=BC=2,AB=PC=4,,AC=PB= ，求其 外接球的体积.
由于学生没有完整的学习完空间点、线、面的位 置关系，只是对一些空间几何体有了初步的认识，这 对这节课学生的探索发现有所影响.
三. 教学目标分析
1.知识与技能目标 熟练球的性质，掌握求空间几何体外接球半径的
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球就是包含该几何体的最小球。
这个球的圆心位于几何体的外部，球的半径等于从圆心到几何体表面的最远距离。
外接球是几何体的一个重要属性，可以用于计算几何体的体积、表面积等参数。
对于不同的几何体，其外接球的计算方法也不同。
例如，对于立方体，其外接球的半径等于边长的一半。
而对于球体，则其自身就是一个外接球。
在实际应用中，外接球经常被用于计算几何体的特征参数。
例如，对于多面体，外接球的半径可以用于计算多面体内切球的半径，从而进一步计算多面体的体积
和表面积。
在建筑设计中，外接球也可以用于计算建筑物的最小包围盒，从而确定建筑物的空间占用情况。
总之，空间几何体的外接球是一个重要的几何体属性，可以用于计算几何体的各种特征参数，对于建筑设计、工程计算等领域具有重要的应用价值。
空间几何体的外接球课件——2025届高三数学二轮复习
问题8 两点可以确定一条直线，不共线的三点可以确定一个
圆，那么几个点可以确定一个球呢？
问题9 假设一个空间几何体有n(n≥4)个点在它的外接球上，
从这n(n≥4)个点中取出m(4≤m≤n)个不共面的点，这m个点的
外接球(如果有)与原来几何体外接球有什么关系呢？
三、理解“四点定球”的原理，掌握补形和缩形的方法
练习1 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为 12 .
练习2 长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O
的球面上，则球O的表面积为 14 .
练习3 将一个边长为4，宽为3的矩形沿着对角线折成一
个二面角，则矩形的四个顶点构成的三棱锥的外接球的半
5 .
径是
2
二、理解球心与截面的关联，掌握降维求解的方法
2
是边长为 3 的等边三角形， SA 平面 ABC ，则 SA ________．
三、理解“四点定球”的原理，掌握补形和缩形的方法
练习 12 （2022 年新高考 I 卷，8）已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.
若该球的体积为 36 ，且 3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（C ）
空间几何体的外接球
一、理解球心与半径的本质，掌握直接求解的方法
问题1 在前面我们复习了棱柱，棱锥，棱台，圆柱，圆锥，
圆台，球这些简单的几何体，并对它们有了进一步的认识，你
认为这些简单几何体谁最美？为什么？
问题2 到一个多面体的各个顶点距离相等的点是什么呢？
一、理解球心与半径的本质，掌握直接求解的方法
问题7 根据对上面的问题探讨可以知道，一个球截面可以确定球
心在某条直线上，那么几个球截面可以确定球心的准确位置呢？
专题四 第5讲 空间几何体的外接球
第5讲 空间几何体的外接球空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题．例1 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) A.5π∶6 B.6π∶2 C ．π∶2 D ．5π∶12 答案 B解析 将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球体的半径为R ，则(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝62a ，∴V 半球＝12×43πR 3＝23π×⎝⎛⎭⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3，∴V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2，故选B. 例2 已知在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝22，二面角B －AC －S的大小为2π3，则三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( ) A.124π9 B.105π4 C.105π9 D.104π9答案 D解析 如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，则∠BDS ＝2π3，AC ＝22，BD ＝2，SD ＝ 6.过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，可得OD 2＝R 2－(2)2，在△OSD 中，∠ODS ＝π6，利用余弦定理可得R 2＝R 2－2＋(6)2－2×R 2－2×6×32，解得R 2＝269，所以其外接球的表面积为4πR 2＝104π9.例3 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4答案 A解析 如图，正四棱锥P －ABCD 的底面中心为H .在底面正方形ABCD 中，AH ＝2，又PH ＝4，故在Rt △P AH 中， P A ＝PH 2＋AH 2＝42＋(2)2＝3 2.则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O 在PH 所在的直线上，设其外接球的直径为PQ ＝2r .又A 在正四棱锥外接球的球面上，所以AP ⊥AQ .又AH ⊥PH ，由射影定理可得P A 2＝PH ×PQ ，故2r ＝PQ ＝P A 2PH ＝(32)24＝92，所以r ＝94. 故该球的表面积为S ＝4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2 D.π4答案 B解析 球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，故该圆柱的体积为V ＝π×⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4. 2．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，则三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( ) A.272π B.2732π C ．273π D ．27π 答案 B解析 因为P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是正三角形，所以△P AB ≌△P AC ≌△PBC ，由P A ⊥PB 知，P A ⊥PC ，PB ⊥PC ，以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(图略)，则三棱锥P －ABC 的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为33，所以其外接球的半径为R ＝332，外接球的体积为V ＝43πR 3＝2732π.故选B. 3．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π解析 如图，SC 为球O 的直径，O 为球心，因为SA ＝AC ，所以AO ⊥SC ，同理SB ＝BC ，所以BO ⊥SC ，BO ∩AO ＝O ，所以SC ⊥平面ABO .又平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，AO ⊥SC ，AO ⊂平面SAC ，所以AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥BO .设球的半径为R ，则AO ＝BO ＝SO ＝CO ＝R ，所以V 三棱锥S －ABC ＝2×13S △ABO ×SO ＝2×13×12×AO ×BO ×SO ＝13R 3＝9，所以R ＝3， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π.4．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球O 的一个内接四面体A －BCD 中，AB ⊥BC ，BD 过球心O ，若该四面体的体积为1，且AB ＋BC ＝2，则球O 的表面积的最小值为________．答案 38π解析 在Rt △ABC 中，由AB ⊥BC ，且AB ＋BC ＝2，∵BD 过球心O ，且四面体A －BCD 的体积为1，∴三棱锥O －ABC 的体积为12，则O到平面ABC距离的最小值为1 213×12×1＝3，此时三角形ABC的外接圆的半径为22，则球O的半径的最小值为32＋⎝⎛⎭⎫222＝192，∴球O的表面积的最小值为4π×⎝⎛⎭⎫1922＝38π.。
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第5讲 空间几何体的外接球
空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题．
例1 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) A.5π∶6 B.6π∶2 C ．π∶2 D ．5π∶12 答案 B
解析 将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球体的半径为R ，则(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝
62a ，∴V 半球＝12×43πR 3＝23π×⎝⎛⎭⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3，∴V 半球∶V 正方体＝62
πa 3∶a 3＝6π∶2，故选B. 例2 已知在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝22，二面角B －AC －S
的大小为2π3
，则三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( ) A.124π9 B.105π4 C.105π9 D.104π9
答案 D
解析 如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，则∠BDS ＝2π3
，AC ＝22，BD ＝2，SD ＝ 6.过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，
可得OD 2＝R 2－(2)2，在△OSD 中，∠ODS ＝π6
，利用余弦定理可得R 2＝R 2－2＋(6)2－2×R 2－2×6×32，解得R 2＝269，所以其外接球的表面积为4πR 2＝104π9
.
例3 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4
答案 A
解析 如图，正四棱锥P －ABCD 的底面中心为H .
在底面正方形ABCD 中，AH ＝2，
又PH ＝4，
故在Rt △P AH 中，
P A ＝
PH 2＋AH 2 ＝42＋(2)2＝3 2.
则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O 在PH 所在的直线上，设其外接球的直径为PQ ＝2r .
又A 在正四棱锥外接球的球面上，所以AP ⊥AQ .
又AH ⊥PH ，由射影定理可得P A 2＝PH ×PQ ，
故2r ＝PQ ＝P A 2PH ＝(32)24＝92，所以r ＝94
. 故该球的表面积为S ＝4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.
解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．
1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π B.3π4 C.π2 D.π4
答案 B
解析 球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，故该圆柱的体积为V ＝π×⎝⎛⎭
⎫322×1＝3π4. 2．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，则三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( )
A.272π
B.2732
π C ．273π D ．27π 答案 B
解析 因为P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是正三角形，所以△P AB ≌△P AC ≌△PBC ，由P A ⊥PB 知，P A ⊥PC ，PB ⊥PC ，以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(图略)，则三棱锥P －ABC 的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为33，所以其外接球的半
径为R ＝332，外接球的体积为V ＝43πR 3＝2732
π.故选B. 3．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π
解析 如图，SC 为球O 的直径，O 为球心，
因为SA ＝AC ，所以AO ⊥SC ，
同理SB ＝BC ，所以BO ⊥SC ，BO ∩AO ＝O ，所以SC ⊥平面ABO .
又平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，AO ⊥SC ，AO ⊂平面SAC ，
所以AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥BO .
设球的半径为R ，则AO ＝BO ＝SO ＝CO ＝R ，
所以V 三棱锥S －ABC ＝2×13S △ABO ×SO ＝2×13×12×AO ×BO ×SO ＝13
R 3＝9，所以R ＝3， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π.
4．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球O 的一个内接四面体A －BCD 中，AB ⊥BC ，BD 过球心O ，若该四面体的体积为1，且AB ＋BC ＝2，则球O 的表
面积的最小值为________．
答案 38π
解析 在Rt △ABC 中，由AB ⊥BC ，且AB ＋BC ＝2， 得2＝AB ＋BC ≥2AB ·BC ，得AB ·BC ≤1， 当且仅当AB ＝BC ＝1时，AB ·BC 取最大值1， ∵BD 过球心O ，且四面体A －BCD 的体积为1，
∴三棱锥O －ABC 的体积为12
， 则O 到平面ABC 距离的最小值为1
213×12
×1＝3， 此时三角形ABC 的外接圆的半径为
22， 则球O 的半径的最小值为32＋⎝⎛⎭
⎫222＝192， ∴球O 的表面积的最小值为4π×⎝⎛⎭
⎫1922＝38π.。