非惯性系中的机械能守恒定律

非惯性系中的机械能守恒定律
专业：物理学 姓名：魏清坤
指导老师：韩峰
【摘要】推导非惯性系中的机械能守恒定理。

指出机械能守恒定律在某些非惯性系中仍然适应，在非惯性系中应用机械能守恒定律可以简便地解决一些力学问题。

【关键词】非惯性系；惯性力；惯性力势能；机械能守恒定律
引言
机械能守恒定律是从牛顿运动定律中推导出来的。

由于牛顿定律仅适应于惯性系，而在一些非惯性系中机械能守恒也适应，而且选取非惯性系可以使问题简单化。

在非惯性系中引入惯性力，牛顿定律可以沿用，那么机械能守恒定律是否也可以沿用，用表达式又如何表示？本文将导出非惯性系中的机械能定理，引入惯性势能概念，给出非惯性系中机械能守恒定律的表达形式。

1材料与方法
非惯性系中的机械能定理
1.1非惯性系中的单一质点的动能定理
牛顿定理是在惯性系中适应的，在非惯性系中不适应。

为了方便解决一些力学问题，我们扩大了牛顿定律的适应范围，使之在非惯性系中也适应，这就引入了惯性力的概念，我们认为在非惯性系中除了有真实的相互作用的力F 外，还受到惯性力惯F 的作用。

一非惯性系相对于某一惯性系的加速度为0a ，则惯性力为： 惯F =- m 0a (1)
其中的m 为物体的质量，符号表示方向，与0a 的方向相反。

这时牛顿第二定律在非惯性系中就可以表示为：
F +惯F =- m a （2） 上式中的F 为质点所受的合力，a 为质点相对于非惯性系的加速度。

设质点在F 和惯F 的作用下，相对于惯性系有一位移元d r =v dt,其中v 是质点相对于非惯性
系的速度，dt 是产生这一位移所需的时间。

用d r 点乘（2）式的两边得： （F +惯F ）∙d r = m a ∙d r = m t d v d ∙d r = m v ∙d v = d(2
1m 2v ) 即 dA + dA 惯= d(2
1m 2v ) （3） 其中dA=F ∙d r ，dA 惯=惯F ∙d r 分别是合外力F 和惯性力惯F 对质点作的元功。

对（3）式两边积分得：
A + A 惯= 21mV 21- 2
1mV 22= E k - E 0k （4） （4）式即为非惯性系中单一质点的动能定理，这表明在非惯性系中动能定理只是比惯性系多了一项惯性力所做的功。

1.2非惯性系中的质点组的动能定理
质点组就是由相互作用的质点组成的系统。

设质点组有n 个质点组成，在某一运动过程中，作用在各个质点的合力的功和惯性力的功记为A i 和A i 惯（i=1,2,3...n),
根据（4）式，每个质点的动能定理：
A i + A i
惯 = E ki - E 0ki （i=1,2,3...n) (5) (5)式求和得：
∑=n i A 1i
+∑=n i A 1惯i =ki n i E ∑=1-0
1ki n i E ∑==E k -E 0k （6） （6）式为非惯性系中质点组的动能定理。

与惯性系中质点组的动能定理相比仅多了惯性力的功。

1.3非惯性系中的机械能守恒
在惯性系中，质点组的机械能守恒定理为：
∑外i A +∑非保内A =(E k +p E )-)(00p k E E + (7)
当∑外i A 和∑非保内A 为零时，E k 和p E 的和为恒量
对于非惯性系，如果∑外i A 和∑非保内A 为零，则可得：
)-00p k p k E E E E A ++=∑（）（惯 （8）
因此当合外力的功为零和非保守内力的功为零时机械能不再守恒，机械能的增量等于惯性力的功。

下面我们将论证在相对于惯性系作匀加速运动和匀速转动的非惯性系中，惯性系也具有保守力的特征。

为此我们引入惯性力势能的概念，把惯性力势能作为系统机械能的组成部分，则在外力做功和为零和非保守力做功为零的情况下系统的机械能守恒.
1.3.1匀加速直线平动参考系中惯性力是保守力
如图所示，直角坐标系为一匀加速直线平动运动参考系，加速度a 沿x 轴正向。

一质量为m 的质点，自位置a 沿平面曲线acb 运动到b ，则惯性力F 的功等于：
A b a -=⎰⎰⎰+=b
a b a y y y x x x X acb dy F d F r d F . 因为F x =-ma , F y =0 ,所以
A b a -=⎰-b
a I I madx =-ma （I
b -I a ） （1） 结果表明，惯性力做功仅决定于质点的始末位置。

与质点经过的路径无关。

所以可以得出在匀加速直线平动参考系中惯性力是保守力。

1.3.1匀角速转动参考系中惯性力的功
图2水平圆盘以角速度w 绕直线转动，质量为m 的质点相对于圆盘由位置Ⅰ运动到位置Ⅱ。

在这一过程中，质点m 所受惯性离心力为惯性离心力F 和科里奥利力k F 之和，因为k F 方向总是垂直于质点m 相对于圆盘的运动方向，故力k F 对质点m 不做功，因此在这一过程中惯性力的功： A=r d F ⎰=dr F r r ⎰21=rdr mw r r ⎰212=21mw 2r 22-2
1mw 2r 12 同样表明，惯性力所做功决定于质点的始末位置，与质点经过的路径无关，所以也可得出在匀角速转动惯性系中惯性力也是保守力。

2结果和分析
综上所述，我们可以认为匀加速直线平动运动参考系和匀角速转动参考系的惯性力是保守力，所以可以得当物体所受外力不做功时，物体的动能和惯性势能和守恒——非惯性系机械能守恒。

可得公式：
∑∑+内非外A A =()∑+22p K E E -()∑+11p k E E
3非惯性系中机械能守恒定律的应用举例
3.1轴竖直，顶点向下的抛物线型光滑钢丝以匀角速w 绕竖直对称轴旋转。

套在钢丝上的一质量为m 的小环自抛线顶点以初速度v 0沿钢丝抛出，已知抛物线方程为x 2=2py ，式中p 为常数，且p ‹2
w g 。

求小环沿钢丝所能上升的最大高度。

分析：以旋转的钢丝为参考系，建立随钢丝一起旋转的动坐标系O-xyz ，小环沿钢丝上升过程中，受压力N,重力mg ，侧向压力R,离心惯性力f e 以及科式力F c 。

其中N.mg.f e 都位于xOy 平面内，如图1所示，而R 和F C 都与xOy 平面垂直，由于N.R.以及F C 都与小环相对xOy 平面内，如图所示，而R 和F c 都与xOy 平面垂直。

由于N.R.F 都与小环相对钢丝的运动方向垂直，在动系中对小环不做功，而对小环做功的力mg 和f e 皆为有势力，即可求解。

解：以旋转的钢丝为参考系，建立随同钢丝一起转动的坐标系O-xyz ，见图1，小球刚抛出时的机械能为
E 1'-E 1'k =022
1mv （1） 设小环上升到最大高度位置A ()max max,Y X ，参见图1，此时小环的机械能为 2'E =2p E +()2x V =mg max y -
2
1m 2w max 2x (2) 令（1）（2）两式相等，得
2o v = 2g max y - max 22x w (3)
因小环上升到最高点A 时，其位置坐标满足抛物线方程，则有
max 2x =2p max 2y （4）
由（3）（4）两式得小环上升的最大高度为
max y =()
p w g v 2022- 3.2质量为m 的小环M 套在半径为a 的光滑圆圈上并可沿圆圈滑动，如果圆圈在水平面内以匀角速度w 绕圈上某定点O 转动，试求小环沿圆圈切线的运动微分方程。

解析：建立固连在圆圈上的平面转动坐标系O-xy,小环M 的相对位置用θ角表示，如图2所示，显然，小环的势能分别为
22')(2
121θa m mv E r k == （1) V=-()2221OM mw = -21m 2w 2
2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛θa (2) 可得21m 22θa -22
1mw (2a cos 2θ)2=常量。

将上式对时间求一次导数，得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为
0s i n 2=+θθw。