完全平方公式因式分解ppt课件
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12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
人教版八年级上册数学《完全平方公式》整式的乘法与因式分解说课教学复习课件
提高
4. 在255，344，433，522这四个幂中，数值最大的一 个是———。 提示：观察各幂的指数，你发现了什么？
课件
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课件
课件
课件
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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感 课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
谢
各
位
的
仔
细
聆
听
人教版 数学（初中） （八年级 上）
课件
前言
学习目标
1、理解幂的乘方法则。 2、运用幂的乘方法则解决实际问题。
重点难点
重点：正确理解幂的乘方法则。 难点：理解同底数幂的乘法和幂的乘方的区别。
有理数乘方相关知识回顾
1.概念： n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.a、n、an分别叫做什么?
幂
(运算结果)
an
底数
(相同的因数)
思考
结合今天学到的幂的乘方知识，判断下列式子是否也具有这一性质呢？ （m、n、p都是正整数）
[(am)n]p
[(am)n]p
=（ am ×…× am ）p
n个am相乘
= amn ×…× amn
p个amn相乘
= amnp
同底数幂的乘法和幂的乘方的区别
法则公式 法则中运算
计算结果
底数
指数
a a a 同底数幂的乘法 m n
3个22相乘
1）(22)3= 22×22×22
=22+2+2=26
3个a4相乘
2） (a4)3= a4×a4×a4 =a4+4+4 =a12
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
利用完全平方公式进行因式分解ppt课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
例3 把下列完全平方式因式分解。
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2-6（m+n）+9.
例4 把下列各式因式分解。
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy。
补例 把9x2 3x 1 因式分解
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公式也可 以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a b 2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a 2 2 a b b 2 a b 2
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _______(a_+__3)_2______ ② n2–10n+25 = ____(n_–_5_)_2_______ ③ 4t2–8t+4 = _____4_(t_–_1_)_2 _______ ④ 4x2–12xy+9y2 = _(_2_x_–_3_y_)2______
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1
完全平方式
④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
2024八年级数学上册第一章因式分解3公式法第2课时完全平方公式课件鲁教版五四制
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
例 3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
解：(1)x2＋14x＋49
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ x2＋2×7x＋72
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (x＋7) 2 ；
＝(m＋n－3)2.
例4 计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(3)1＋4a2；
(2)a2－ab＋b2；
1
2
(4)a －a＋ 4 .
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
1
(4)中a是a与 乘积的2倍．
2
解：(1)不是完全平方式；
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
知识点 3 完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
例 5 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
因式分解(完全平方公式)课件
公式
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
完全平方公式PPT精品课件1
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
因式分解完全平方公式课件
因式分解
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
1.3因式分解-完全平方公式 课件(八年级湘教版下册)
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
七年级数学下册 第12章 乘法公式与因式分解 12.2 完全平方公式教学课件 级下册数学课件
完全平方公式(gōngshì) 的几何意
义差的完全平方(píngfāng)公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(ab)2 a 2 ababb2
12/9/2021
a22abb2 第六页，共十五页。
归 纳 完全平方公式(gōngshì)的结构特点：
(a+b)2＝a2 +2ab+b2 (a-b)2＝a2 -2ab + b2 ①等号左边(zuǒ bian)两个数的和（或差）的平方 ②等号右边是等号左边(zuǒ bian)两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的乘积的2倍 口诀： 完全平方有3项，首平方，尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方
mn
a
2
3y223y•xx2 m n22•m n•aa2
9y26xyx2
练习2：
m 2n22am na2
①-5x+2y2 12/9/2021
②-4y-142
第十页，共十五页。
总结：
① 4 m + n 2 正+正
② x - 2 y 2 正正
③ - x + 3 y 2 负+正
正正3 y x 2
教学 课件 (jiāo xué)
数学 七年级 下册 (niánjí) 青岛版
12/9/2021
第一页，共十五页。
第12章 乘法(chéngfǎ)公式与因式分解
12.2 完全平方公式
12/9/2021
第二页，共十五页。
探索发现
请用多项式的乘法(chéngfǎ)法则计算：(a+b)2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 由此得到(dédào)完全平方公式，即：
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(4)x2 4x 4 0
16
若：a b 1, a c 2,b c 3 利用因式分解求值： a2 b2 c2 ab ac bc
17
小结:
1. 如果一个多项式是完全平方式,就可以运用完 全平方公式分解因式; 2. 运用公式要注意: (1). 先看是否有两项(同号)都可以写成_平__方__形__式___.
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
将 (a+b)看作一个整体11
综合运用: 因式分解
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-18(a+b)2+81
12
灵活应用: 简便方法运算。
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
7
例５: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2. 解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
即如 : a 2 b2 (或 a 2 b2 )的形式;
(2). 再看第三项是否是前两项积的_2_倍____
即如 : 2 a b(或 2ab)的形式;
3如果多项式各项含有公因式,要先提出这个公__因__式__, 再进一步分解因式; 4. 因式分解要进行到每个因式都_不__能__再__分__解__为1_8 _止_ ;
8
试一试:把下列各式因式分解
2 2xy x2 y2
原式=X2-2∙x∙y+y2=(x-y)2
4 a2 4b2 4ab
原式=-(a2-4ab+4b2) =-[a2-2∙a∙(2b)+(2b)2] =-(a-2b)2
9
2、分解因式
（1） 2xy x2 y 2 -(x+y)2
(2)4x2 4x 1
14
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负 解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
15
(1)x2 x 0
(2)25 x2 4 0
(3)9x3 16 x 0
(2x-1)2
(3) y 2 y 1 4
(4) 1 x2 4 x 4
9
3
10
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
让我们再来回顾这节课!
1、在获取知识方面 2、在经验方面
19
20
人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.4因式分解
人教新课标
1
提取公因式法 ma+mb+mc =m(a+b+c)
平方差公式法 a2-b2 =(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3b ab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？ a2+2ab+b2与a2-2ab+b2呢？
（3）4a2+2ab+
1
4 b2
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
一个二次三项式，其中 有两个数的平方和还有 这两个数的积的2倍或这 两个数的积的2倍的相反 数，符合这些特征，就 可以化成右边的两数和
（6）a2+a+0.25
（或差）的平方．从而 达到因式分解的目的．
（2）、（4）、（5）都不是 5
1x 2 12 x 36
X2+2∙x∙6+62 是 x与6
2 2xy x2 y2
x2-2xy+y2=X2+2∙x∙y+y2 是x与y
3 2xy x2 y2
-x2-2xy+y2 不是
4
下列各式是不是完全平方式？
方法总结：分解因式的
（1）a2-4a+4
完全平方公式，左边是
（2）x2+4x+4y2
(1)20062 62 (2)132 2133 9 (3)112 392 6613
13
1,在括号内填上适当的代数式,使等式成立 1,a2+6a+__9____=(a+__3__)2 2,16a2+_±__2_4_a_b_+9b2=(_4_a___+_(±__3_b_))2
2,k-6ab+9b2是一个完全平方式, 那么的值是__a_2 __
试一试:把下列各式因式分解
1 x2 12x 36
解:原式=x2+2∙x∙6+62
=(x+6)2
6
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
2
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
公式应用的特征:
左边是:一个二次三项式，是两个数的平方和 加上或减去这两数的积的2倍.这个式子叫完全平 方式
右边（结果）是:这两数和(或差)的平方 即两个数的平方和加上或减去这两数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方。
3
探索1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式 分解?若是,请找出相应的a和b.
16
若：a b 1, a c 2,b c 3 利用因式分解求值： a2 b2 c2 ab ac bc
17
小结:
1. 如果一个多项式是完全平方式,就可以运用完 全平方公式分解因式; 2. 运用公式要注意: (1). 先看是否有两项(同号)都可以写成_平__方__形__式___.
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
将 (a+b)看作一个整体11
综合运用: 因式分解
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-18(a+b)2+81
12
灵活应用: 简便方法运算。
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
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例５: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2. 解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
即如 : a 2 b2 (或 a 2 b2 )的形式;
(2). 再看第三项是否是前两项积的_2_倍____
即如 : 2 a b(或 2ab)的形式;
3如果多项式各项含有公因式,要先提出这个公__因__式__, 再进一步分解因式; 4. 因式分解要进行到每个因式都_不__能__再__分__解__为1_8 _止_ ;
8
试一试:把下列各式因式分解
2 2xy x2 y2
原式=X2-2∙x∙y+y2=(x-y)2
4 a2 4b2 4ab
原式=-(a2-4ab+4b2) =-[a2-2∙a∙(2b)+(2b)2] =-(a-2b)2
9
2、分解因式
（1） 2xy x2 y 2 -(x+y)2
(2)4x2 4x 1
14
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负 解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
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(1)x2 x 0
(2)25 x2 4 0
(3)9x3 16 x 0
(2x-1)2
(3) y 2 y 1 4
(4) 1 x2 4 x 4
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3
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例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
让我们再来回顾这节课!
1、在获取知识方面 2、在经验方面
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人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.4因式分解
人教新课标
1
提取公因式法 ma+mb+mc =m(a+b+c)
平方差公式法 a2-b2 =(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3b ab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？ a2+2ab+b2与a2-2ab+b2呢？
（3）4a2+2ab+
1
4 b2
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
一个二次三项式，其中 有两个数的平方和还有 这两个数的积的2倍或这 两个数的积的2倍的相反 数，符合这些特征，就 可以化成右边的两数和
（6）a2+a+0.25
（或差）的平方．从而 达到因式分解的目的．
（2）、（4）、（5）都不是 5
1x 2 12 x 36
X2+2∙x∙6+62 是 x与6
2 2xy x2 y2
x2-2xy+y2=X2+2∙x∙y+y2 是x与y
3 2xy x2 y2
-x2-2xy+y2 不是
4
下列各式是不是完全平方式？
方法总结：分解因式的
（1）a2-4a+4
完全平方公式，左边是
（2）x2+4x+4y2
(1)20062 62 (2)132 2133 9 (3)112 392 6613
13
1,在括号内填上适当的代数式,使等式成立 1,a2+6a+__9____=(a+__3__)2 2,16a2+_±__2_4_a_b_+9b2=(_4_a___+_(±__3_b_))2
2,k-6ab+9b2是一个完全平方式, 那么的值是__a_2 __
试一试:把下列各式因式分解
1 x2 12x 36
解:原式=x2+2∙x∙6+62
=(x+6)2
6
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
2
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
公式应用的特征:
左边是:一个二次三项式，是两个数的平方和 加上或减去这两数的积的2倍.这个式子叫完全平 方式
右边（结果）是:这两数和(或差)的平方 即两个数的平方和加上或减去这两数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方。
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探索1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式 分解?若是,请找出相应的a和b.