高中数学拓展知识-有理数逼近无理数

有理数逼近无理数

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number ，而rational 通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio ，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词实际的含义应该是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

若将无理数写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e 等。

无理数还可以用无限的连分数表示。

一般地，设012n a ,a ,a ,,a ⋅⋅⋅是一个实数序列，其中()01i a i >≥，n 为自然数，则分数

0121111

n

a a a a +

+

++

O

称为有限连分数。

如果0a 是整数，12， ，，n a a a ⋅⋅⋅是正整数，则称为有限简单连分数。当n →∞

时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数。有限连分数记作

012[；]n a a ,a ,,a L 或01231111

n

a a a a a +

++++L ；

无限连分数记作

[a 0；a 1，a 2，…]或0123111

a a a a +

+++L

。

一般来说，有限连分数表示有理数，无限连分数表示无理数。

可以证明，由连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的

分数中，其值是最接近精确值的近似值。

要计算实数r的连分数表示，写下r的整数部分。从r减去这个整数部分。如果差为0则停止；否则找到这个差的倒数并重复上面的过程。这个过程将终止，当且仅当r是有理数。

例如，将29

12

化为连分数。

第一步，295

-2= 1212

，

第二步，122

-2=

55

，

第三步，51

-2=

22

，

第四步，2-2=0。

所以29

12

化为连分数就是

291

=2+

1

122+

1

2+

2

1

a==

，

1

1

a'=；

1

1

1

a==

，

2

1

1

a'==；

2

2

2

a==

，

3

2

21

a'=-=；

3

1

1

a==

，

4

11

1

2

a'=-=；

4

2

2

a==

，

5

2

21

a'=-=；

……

1

1

1

1

2

1

1

2

+

+

+

+

+L

，

[1；1，2，1，2，···]； 若去掉后面的小于1的“小尾巴”，即：

111

111111111221

,,+++

++

+，…

用连分数表示。

1

y

， ① 则y

② ①两边加1代入②，得

y =2+

1

y

， ③ ③代入①得，

112+y

，

112+12+

12+2+O

，

无理数的无限连分数表示是非常有用的，因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理数可以叫作这个连分数的收敛。所有偶数编号的收敛都小于最初的数，而奇数编号的收敛都大于它。

无理数常用有限连分数逼近，例如，

黄金分割数

2

用连分数表示为

1

=121+

11+

11+1+O

，

2的渐进分数11，12，23，35，5

8

，… 圆周率π的连分数表示为

1=3+

17+1

15+

11+

292+πO

，

π的渐进分数3，

22

7

（约率），333106，355113（密率），…

对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。

1842年，狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果：如果α是任意实数，Q 是大于1的实数，那么存在整数对p 、q ，满足两个不等式：Q q <<1和

Q p aq ≤-||。由此可得，如果α是任意无理数，那么存在无穷多对互素的整数对

p 、q ，满足不等式q q

p

a <-

||。当α是有理数时，上式不成立。 连分数有许多漂亮的结果。 结论1（连分数与渐进分数的关系）

设（012）k k

p

k ,,,,n q =L 是有限简单连分数012[；]n a a ,a ,,a L 的渐进分数，那么有下列关系成立

（1）00p a =，1101p a a =+，…，112k k k p a p p --=+，

011121k k k k q ,q a ,,q a q q --===+L ；

（2）11（-1）（1）k

k k k k p q p q k ---=≥； （3）22-（-1）（2

）k k k k k k p q p q a k --=≥。 结论2（最佳逼近性质）