初始条件与边界条件
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介质的温度u1 。通常情形下，u1 与物体在表面S上
的温度 u 不相同。根据热学中的牛顿实验定律，
物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间
的温度差成正比，即 dQ h(u u1 )dSdt ，其中常 数h 0
在物体表内示部两任种意介取质一之个间无的限热贴交近换S 系的数闭。曲面 ，
由于在S 的内侧热量不能积累，所以在 上的热
2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
量流速应等于边界S上的热量流速。上的热量流
速为 dQ k u ，其中 k 为热传导系数.
dSdt
n
所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件
为
u k n S h(u u1 ) S ,
即
u n
u
S
u1
S
,
其中 h/ k.
注1
在上面给出的边界条件中，fi i 1, 2, 3 都是定义
在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。
当 fi 0, i 1, 2, 3 时，相应的边界条件称为齐
次的，否则称为非齐次的。
注2 三种边界条件可用一个式子表达：
u u f .
n S
其中
u M ,t |t0 f M .
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
➢ 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。
➢ 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而 非系统中个别点的初始状态。
边界条件
上有
dQ dSdt
k nu，这表明温度沿外法线方向的方
向导数是已知的，故边界条件可以表示为
u n
S
M,t
o
第三类边界条件：给出
u
以及
u n
的线性组合
在边界的值，即
u n
u
S
f3
弦振动问题：当端点 x=l 被弹性支撑所支承，设
弹性支撑原来位置在 u=0，则 u 表示弹性支撑 xl
初始条件
初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。
弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的 位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分别表示弦的 初位移和初速度，则初始条件可以表达为
u |t0 u t |t0
f
g
x x
.
热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体 温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内 一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表 示为
(x, y,z)
uzz )
0
(u u) f ( x, y, z, t )
n
(x, y,z) ,t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面：
1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；
ut a2uxx 0
u |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
热传导方程的Cauchy问题
பைடு நூலகம்
utt u |t
0
a 2uxx
(x
)
0
ut |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
方向导数
u n S f2
弦振动问题：弦的一端（如 x=l）可以在垂直x轴
的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，
我们称这种端点为“自由端”。
在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的 分量为0，因此在方程的推导中知 T u 0, 即
x xl
u u 0 x xl n xl
x0
xl
若弦的两端不是固定的，而是按照规律 u1(t), u2(t) 在运动,则其边界条件为
u x0 u1(t ); u xl u2 (t )
热传导问题：当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为
u f (M,t) S
第二类边界条件：给出 u 沿 S 的外法线方向的
的应变。
由Hooke定律知，在 x=l 端张力沿位移方向的分量
应等于 T u ku ,即有
x xl
xl
u x
u
xl
0,
其中非负常数 k 表示弹性体的倔强系数,
k/T.
热传导问题：如果物体内部通过边界S 与周围的
介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的
边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物 理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一 般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数，S 为边界，则分类如下：
第一类边界条件：直接给出 u 在边界 S 上的值
u S
f1 .
弦振动问题：如果弦的两端是固定的，也就是说 端点无位移，则其边界条件为
u 0; u 0
当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是 t 的已
知函数 (t)时，有
u (t).
n xl
热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，
即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导
过程可知，有边界条件
u 0.
n S
当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位
时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S
波方程的Cauchy问题
由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称 为边值问题。
u 0, (x, y) ,
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt
0
a2(uxx uyy
0, 0 0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
§1.3 定解问题的提法
初始条件和边界条件都称为定解条件。 定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。
偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初 值问题或者柯西(Cauchy)问题。
的温度 u 不相同。根据热学中的牛顿实验定律，
物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间
的温度差成正比，即 dQ h(u u1 )dSdt ，其中常 数h 0
在物体表内示部两任种意介取质一之个间无的限热贴交近换S 系的数闭。曲面 ，
由于在S 的内侧热量不能积累，所以在 上的热
2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
量流速应等于边界S上的热量流速。上的热量流
速为 dQ k u ，其中 k 为热传导系数.
dSdt
n
所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件
为
u k n S h(u u1 ) S ,
即
u n
u
S
u1
S
,
其中 h/ k.
注1
在上面给出的边界条件中，fi i 1, 2, 3 都是定义
在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。
当 fi 0, i 1, 2, 3 时，相应的边界条件称为齐
次的，否则称为非齐次的。
注2 三种边界条件可用一个式子表达：
u u f .
n S
其中
u M ,t |t0 f M .
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
➢ 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。
➢ 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而 非系统中个别点的初始状态。
边界条件
上有
dQ dSdt
k nu，这表明温度沿外法线方向的方
向导数是已知的，故边界条件可以表示为
u n
S
M,t
o
第三类边界条件：给出
u
以及
u n
的线性组合
在边界的值，即
u n
u
S
f3
弦振动问题：当端点 x=l 被弹性支撑所支承，设
弹性支撑原来位置在 u=0，则 u 表示弹性支撑 xl
初始条件
初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。
弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的 位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分别表示弦的 初位移和初速度，则初始条件可以表达为
u |t0 u t |t0
f
g
x x
.
热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体 温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内 一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表 示为
(x, y,z)
uzz )
0
(u u) f ( x, y, z, t )
n
(x, y,z) ,t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面：
1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；
ut a2uxx 0
u |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
热传导方程的Cauchy问题
பைடு நூலகம்
utt u |t
0
a 2uxx
(x
)
0
ut |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
方向导数
u n S f2
弦振动问题：弦的一端（如 x=l）可以在垂直x轴
的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，
我们称这种端点为“自由端”。
在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的 分量为0，因此在方程的推导中知 T u 0, 即
x xl
u u 0 x xl n xl
x0
xl
若弦的两端不是固定的，而是按照规律 u1(t), u2(t) 在运动,则其边界条件为
u x0 u1(t ); u xl u2 (t )
热传导问题：当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为
u f (M,t) S
第二类边界条件：给出 u 沿 S 的外法线方向的
的应变。
由Hooke定律知，在 x=l 端张力沿位移方向的分量
应等于 T u ku ,即有
x xl
xl
u x
u
xl
0,
其中非负常数 k 表示弹性体的倔强系数,
k/T.
热传导问题：如果物体内部通过边界S 与周围的
介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的
边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物 理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一 般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数，S 为边界，则分类如下：
第一类边界条件：直接给出 u 在边界 S 上的值
u S
f1 .
弦振动问题：如果弦的两端是固定的，也就是说 端点无位移，则其边界条件为
u 0; u 0
当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是 t 的已
知函数 (t)时，有
u (t).
n xl
热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，
即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导
过程可知，有边界条件
u 0.
n S
当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位
时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S
波方程的Cauchy问题
由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称 为边值问题。
u 0, (x, y) ,
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt
0
a2(uxx uyy
0, 0 0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
§1.3 定解问题的提法
初始条件和边界条件都称为定解条件。 定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。
偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初 值问题或者柯西(Cauchy)问题。