整系数多项式无整数根的一个判定
关于整系数多项式的根的若干性质
关于整系数多项式的根的若干性质引言在数学中，对于整系数多项式的根的研究是非常重要的。
本文将谈论整系数多项式的根的若干性质，并从理论以及实际例子来探讨这些性质。
整系数多项式的定义首先，我们先来简单的介绍整系数多项式的定义。
整系数多项式是指系数都属于整数的单项式和的形式。
例如：f(x)=x3+2x2−3x+1就是一个整系数多项式。
整系数多项式的根整系数多项式的根指的是让多项式等于0的x值。
例如：f(x)=x3+2x2−3x+1的根为−0.5, −1和0.5。
在教育中，通常称为f(x)的“零点”或“解”。
整系数多项式根的若干性质性质1: 整系数多项式根的对称性整系数多项式的根具有对称性。
即，如果a是多项式P的根，则-p中的一项也是多项式P的根。
例如：有多项式f(x)=x3+2x2−3x+1，则其根为x = -0.5，x = -1和x = 0.5。
在此，如果我们将其变为一个负数，即变成f(-x) = x3-2x2-3x-1，那么其根则为x = -0.5，x=-1和x=-0.5。
所以，一旦我们得到一个多项式的一个根a，我们就可以通过改变符号来获得它的对称根-p。
性质2：整系数多项式根的复合一个多项式的每个根都可以看做是一个函数的输入值，该函数使用多项式系数并对其进行操作，给出0作为输出。
对于点a，所有系数都被处理为多项式p并导致值为0，因此为p（a）= 0. 这个点可以作为一个新的多项式的根，称为q（x），并且确实存在一个多项式，其次数和系数与p（x）完全相同，但是q（x）是将-p除以根a所得到的结果。
因此，如果a是多项式P的一重根，则-p / a是多项式P /（x-a）的一重根。
例如：有一个多项式f（x）=x3+5x2+2x−8，它具有根a= 2。
我们还可以得到，q（x）=x2+7x+4，它的根是-p / a = -4 = q （2）。
Q（x）是由f(x)/（x−2）得到的，我们可以在获取q（x）时以此为例。
关于四次整系数不可约多项式
关于四次整系数不可约多项式徐蕾蕾;黎爱平【摘要】In this paper ,we offer several theorems on judging reducible or irreducible polynomial on rational number field in a kind four-order integral coefficient polynomial ,which by studied coefficient property of four-order integral coefficient polynomial.%通过对四次整系数多项式的系数特性研究，给出了一类整系数多项式在有理数域上可约或不可约的几个判定定理。
【期刊名称】《上饶师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】5页(P15-19)【关键词】四次整系数多项式;有理数域;可约;不可约【作者】徐蕾蕾;黎爱平【作者单位】上饶师范学院，江西上饶 334001;上饶师范学院，江西上饶334001【正文语种】中文【中图分类】O122.1设f(x)=x4+p3x3+p2x2+p1x+1是一个整系数多项式，本文就以下各种情况对f(x)在有理数域上可约或不可约的问题进行了研究，给出了f(x)可约或不可约的判定条件。
(1)情形1：p3=0，p2=0，p1=0，定理1；(2)情形2：p3=0，p2=0，p1≠0，定理1；(3)情形3：p3=0，p2≠0，p1=0，定理2；(4)情形4：p3=0，p2≠0，p1≠0，定理3；(5)情形5：p3≠0，p2=0，p1=0，定理4；(6)情形6：p3≠0，p2≠0，p1=0，定理4；(7)情形7：p3≠0，p2=0，p1≠0，且定理5；(8)情形8：p3≠0，p2≠0，p1≠0，且定理5。
定理1. 设f(x)=x4+px+1是整系数多项式，则当p=2或p=-2时，f(x)在有理数域上可约。
一元多项式习题及解答
习 题 一A 组1.判别{},a a b =+∈QQ 是否为数域解 是．2. 设32()1f x x x x =+++，2()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解32()()243f x g x x x x +=+++， 3()()21f x g x x x -=--，5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．3．设19932199431995()(54)(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和．解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ． (1) 322()31,()321f x x x x g x x x =---=-+；(2) 42()25,()2f x x x g x x x =-+=-+．解 (1) 用多项式除法得到23232227321313923374133714739926299x x x x x x x x x x x x x x -+-----+----+---所以，17262(),()3999q x x r x x =-=--． (2) 用多项式除法得到24243232322222512225245257x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-++--+--+-+--+-+--+所以，2()1,()57q x x x r x x =+-=-+．5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则(),().f a ca d f b cb d =+⎧⎨=+⎩ 解得()()()()(),()()).c f a f b a b d af b bf a a b =--⎧⎪⎨=--⎪⎩故所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除 (1) 3()f x x px q =++，2()1g x x mx =+-； (2) 42()f x x px q =++，2()1g x x mx =++．解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，233222221(1)(1)()x mx x px q x mx mx xmx p x q mx m xmp m x q m +-++-+--+++--++++-要求2()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2(1)0,0p m q m ++=-=．即21,p m q m =--=时，可以整除．(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或22,1p m q -==时，可以整除．7. 求()f x 与()g x 的最大公因式: (1) 43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；(2) 4332()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；(3)42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++．解 (1) 用辗转相除法得到3243232432222211134124312213841231223313122244331441x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x xx x x -++--+---+++--------+-----------用等式写出来，就是2()()(231)f x xg x x x =+---，21133()(231)2444g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，284332313344x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),()1f x g x x =+．(2) 同样地，3243324323232221103141139123331021133101020313991611274413299162563331649216495391625627256x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx x -+-+-+-+--+-++--+--+-+----+---+-+-+-所以()(),()1f x g x =.(3) 同样用辗转相除法，可得()2(),()1f x g x x =--．8. 求(),()u x v x 使()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=： (1) 432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---：(2) 43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+：(3) 4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--．解 (1) 利用辗转相除法，可以得到3()()(2)f x g x x x =+-， 32()(1)(2)(2)g x x x x x =+-+-，322(2)x x x x -=-．因而，()2(),()2f x g x x =-，并且()()23(),()2()(1)(2)()(1)()() (1)()(2)(),f xg x x g x x x x g x x f x g x x f x x g x =-=-+-=-+-=--++所以()1,()2u x x v x x =--=+(2) 利用辗转相除法，可以得到2()2()(639)f x xg x x x =-+-，211()(639)(1)33g x x x x x ⎛⎫=-+--+-- ⎪⎝⎭，2(639)(1)(69)x x x x -+-=--+．因而，()(),()1f x g x x =-，并且()()2211(),()1(639)()3311()2()()331122()1(),3333f x g x x x x x g x f x xg x x g x x f x x x g x ⎛⎫=-=-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21122(),()13333u x x v x x x =-+=--．(3) 利用辗转相除法，可以得到2()(3)()(2)f x x g x x =-+-，()(1)(2)1g x x x =+-+．因而()(),()1f x g x =，并且()232(),()1()(1)(2)()(1)(()(3)())(1)()(32)(),f xg x g x x x g x x f x x g x x f x x x x g x ==-+-=-+--=--++--所以32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．9. 设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 利用辗转相除法，可以得到2()()(1)(2)f x g x t x t x u =+++-+，222222212()(1)(2)[(1)(2)]()(1)(2)1(1)(1)(1)t t t u t t u t t g x x t x t x u x t t t t ⎡⎤⎛⎫-+-++-+--⎡⎤=+++-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦由题意，()f x 与()g x 的最大公因式是一个二次多项式，所以22222()(1)(2)0,(1)[(1)(2)]0,(1)t t u t t t u t t t ⎧+-++-=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪+⎩解得0,4u t ==-．10. 设()242(1)1x Ax Bx -++，求A 和B ．解 用2(1)x -去除()f x 421Ax Bx =++，得余式1()(42)13r x A B x A B =++--，由题意要求知1()0r x =，即420,130,A B A B +=⎧⎨--=⎩解得1,2A B ==-．11. 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么()(),()()1f x g x h x =． 证明 由条件可知，存在1()u x 和1()v x 使得11()()()()1u x f x v x g x +=，存在2()u x 和2()v x 使得22()()()()1u x f x v x h x +=．用()h x 乘以第一式得11()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=，代入第二式得[]2211()()()()()()()()()1u x f x v x u x f x h x v x g x h x ++=，即[]21212()()()()()[()()]()()1u x u x v x h x f x v x v x g x h x ++=，所以()(),()()1f x g x h x =．12. 证明：如果()f x 与()g x 不全为零，且()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，那么()(),()1u x v x =．证明 由于()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，()f x 与()g x 不全为零，所以()(),()0f x g x ≠．两边同时除以()(),()0f x g x ≠，有()()()()()()1(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x +=，所以()(),()1u x v x =．13. 证明：如果()(),()()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由题意知()d x 是()f x 与()g x 的公因式．再由条件设()()()()()d x u x f x v x g x =+． 又设()h x 为()f x 与()g x 的任一公因式，即()(),()()h x f x h x g x ，则由上式有 ()()h x d x ．故而()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．14. 证明：()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =，其中()h x 的首项系数为1．证明 显然()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个公因式．下面来证明它是最大公因式． 设(),()u x v x 满足()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，则()()()()()()((),())()u x f x h x v x g x h x f x g x h x +=．由上题结果知，()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又首项系数为1，所以()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =．15. 设多项式()f x 与()g x 不全为零，证明()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭．证明 设()()(),()d x f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使()()()()()d x u x f x v x g x =+．因为()f x 与()g x 不全为零，所以()0d x ≠．上式两边同时除以()d x ，有()()()()1()()(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x =+，故()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭成立．16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解41x +为不可约因式之积． 解 在实数域上的分解式为()()4222221(1)211x x x x x +=+-=+++．在复数域上的分解式为4122222222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++---+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．在有理数域上41x +是不可约多项式．否则，若41x +可约，有以下两种可能． （1）41x +有一次因式，从而它有有理根，但(1)0f ±≠，所以41x +无有理根．（2）41x +无一次因式，设4221()()x x ax b x cx d +=++++，其中,,,a b c d 为整数．于是0a c +=，0b d ac ++=，0ad bc +=，1bd =，又分两种情况：①1b d ==，又 a c =-，从而由 0b d ac ++=，得22a =，矛盾；②1b d ==-，则22a =-，矛盾． 综合以上情况，即证．17. 求下列多项式的有理根： (1) 32()61514f x x x x =-+-； (2) 42()4751g x x x x =---；(3) 5432()614113h x x x x x x =+----．解 (1)由于()f x 是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为14-的因数．14-的因数有：1,2,7,14±±±±，计算得到：(1)4,(1)36,(2)0,(2)72,(7)140,(7)756, (14)1764,(14)4144,f f f f f f f f =--=-=-=-=-=-=-=-故2x =是()f x 的有理根．再由多项式除法可知，2x =是()f x 的单根．(2) 类似（1）的讨论可知，()g x 的可能的有理根为：111,,24±±±，计算得到 111171111(1)9,(1)1,5,0,,22464464g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12x =-是()g x 的有理根．再由多项式除法可知，12x =-是()f x 的2重根． (3) 类似地，()h x 的可能的有理根为：1,3±±，计算得到(1)28,(1)0,(3)0,(3)96h h h h =--==-=-．故1x =-，3x =是()h x 的有理根．再由多项式除法可知，1x =-是()h x 的4重根，3x =是()h x 的单根．18．若实系数方程30x px q ++=有一根a bi +（,a b 为实数，0b ≠），则方程30x px q +-=有实根2a ．证明 设原方程有三个根123,,ααα．不失一般性，令1a bi α=+，从而有 2a bi α=-，由根与系数的关系可知12330()()a bi a bi αααα=++=++-+，所以32a α=-，即3(2)(2)0a p a q -+-+=，故3(2)(2)0a p a q +-=．这说明30x px q +-=有实根2a ．19. 证明：如果(1)()nx f x -，那么(1)()n n x f x -．证明 因为(1)()nx f x -，所以 (1)(1)0nf f ==．因此，令()(1)()f x xg x =-，则有()(1)()n n n f x x g x =-，即(1)()n n x f x -．20. 下列多项式在有理数域上是否可约(1) 21()1f x x =+；(2) 4322()8122f x x x x =-++； (3) 633()1f x x x =++；(4) 4()1pf x x px =++，p 为奇素数； (5) 45()41f x x kx =++，k 为整数．解 （1）1()f x 的可能的有理根为：1±，而(1)2f ±=，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein 判别法，取素数2p =，则2不能整除1，而 2(8),212,22-，但是22不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令1x y =+，代入633()1f x x x =++有654323()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++．取素数3p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 在有理数域上不可约．(4) 令1x y =-，代入4()1pf x x px =++，得11222214()(1)()p p p p p p p p p g y f y y C yC y C y C p y p ----=-=-+--++-L ， 取素数p ，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以4()f x 在有理数域上不可约．(5) 令1x y =+，代入45()41f x x kx =++，得4325()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++，取素数2p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以5()f x 在有理数域上不可约．B 组1．设()f x ，()g x ，()h x 是实数域上的多项式，(1) 若222()()()f x xg x xh x =+，则()()()0f x g x h x ===．(2) 在复数域上，上述命题是否成立证明 (1）当()()0g x h x ==时，有2()0f x =，所以()0f x =，命题成立．如果()g x ，()h x 不全为零，不妨设()0g x ≠．当()0h x =时，()22()()12()xg x xh x g x ∂+=+∂为奇数；当()0h x ≠时，因为()g x ，()h x 都是实系数多项式，所以2()xg x 与2()xh x 都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有22(()())xg x xh x ∂+为奇数．而这时均有2()0f x ≠，且2()2()f x f x ∂=∂为偶数，矛盾．因此有()()0g x h x ==，从而有()0f x =．(2) 在复数域上，上述命题不成立．例如，设()0f x =，()n g x x =，()i nh x x =，其中n 为自然数，有222()()()f x xg x xh x =+，但()0g x ≠，()0h x ≠．2. 设(),(),()[]f x g x h x P x ∈，满足 2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++-++=,2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++++-=．证明()2(1)(),()x f x g x +.证明 两式相加得到22(1)()2(()())0x h x x f x g x +++=.由2(1,)1x x +=可知 ()2(1)()()x f x g x ++.两式相减得到2()4()0,()2()f x g x f x g x -+==. 故()()221(),1()x f x x g x ++，即()()21(),()x f x g x +.3．设1212()()()()g x g x f x f x ，证明(1) 若11()()f x g x ，1()0f x ≠，则22()()g x f x ；(2) 若212()()()g x f x f x ，是否有22()()g x f x解 (1) 因为1212()()()()g x g x f x f x ，11()()f x g x ，故存在多项式()h x ，1()h x 使得1212111()()()()(),()()()f x f x g x g x h x g x f x h x ==．于是12112()()()()()()f x f x f x h x g x h x =．由于1()0f x ≠，故有212()()()()f x h x g x h x =，即22()()g x f x ．(2) 否．例如取1()2g x x =-，22()1g x x =-，1()(1)(2)f x x x =--，2()(1)(2)f x x x =++．虽然1212()()()()g x g x f x f x 且212()()()g x f x f x ，但2()g x 不能整除2()f x ．4．当k 为何值时，2()(6)42f x x k x k =++++和2()(2)2g x x k x k =+++的最大公因式是一次的并求出此时的最大公因式．解 显然()()(2)g x x k x =++．当()(),()2f x g x x =+时，(2)42(6)420f k k -=-+++=，则3k =．当()(),()f x g x x k =+时，2()(6)420f k k k k k -=-+++=，则1k =．这时()(),()1f x g x x =+． 5．证明：对于任意正整数n ，都有 ()()(),()(),()n n n f x g x f x g x =．证明 由题意可知()f x 与()g x 不全为零．令()(),()()f x g x d x =，则()0d x ≠，从而()(),1()()f x g x d x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以对任意正整数n ，有()(),1()()n n f x g x d x d x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是有 ()()()()1()()n nf xg x u x v x d x d x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即 ()()()()()n n n u x f x v x g x d x +=． 又由()()d x f x ，()()d x g x ，有()()n n d x f x ，()()n n d x g x ，因此()n d x 是()nf x 与()ng x 的首项系数为1的最大公因式，从而有()()(),()()(),()nn n n f x g x d x f x g x ==． 6. 设11()()(),()()(),f x af x bg x g x cf x dg x =+=+且0ad bc -≠，证明()()11(),()(),()f x g x f x g x =．证明 设()(),()()f x g x d x =，则()(),()()d x f x d x g x ．由于1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+， 故11()(),()()d x f x d x g x ．又设11()(),()()h x f x h x g x ，由上式及0ad bc -≠，可得11()()()d b f x f x g x ad bc ad bc =---， 11()()()c a g x f x g x ad bc ad bc-=+--， 从而 ()(),()()h x f x h x g x ，于是 ()()h x d x ，即()d x 也是1()f x 和1()g x 的最大公因式，即()()11(),()(),()f x g x f x g x =．7．设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且()f x 与()g x 不全为零，证明()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式的充分必要条件是()11(),()1f x g x =．证明 必要性．若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，则存在多项式(),()u x v x 使()()()()()u x f x v x g x d x +=，于是11()()()()()()()u x d x f x v x d x g x d x +=．由()f x 与()g x 不全为零知()0d x ≠，因此有11()()()()1u x f x v x g x +=，即()11(),()1f x g x =．充分性．若()11(),()1f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使11()()()()1u x f x v x g x +=．两边同时乘()d x 有()()()()()u x f x v x g x d x +=．由()d x 是()f x 与()g x 的一个公因式知，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．8．设()f x 和()g x 是两个多项式，证明()(),()1f x g x =当且仅当()()(),()()1f x g x f x g x +=． 证明 必要性．设()(),()1f x g x =，若()()f x g x +与()()f x g x 不互素，则有不可约公因式()p x ，使()()()p x f x g x ， 所以()()p x f x 或()()p x g x ．不妨设()()p x f x ，由()()()()p x f x g x +可知()()p x g x ，因此()p x 是()f x 和()g x 的公因式，与(),()f x g x 互素矛盾，故()()f x g x +与()()f x g x 互素．充分性．设(()(),()())1f x g x f x g x +=，则存在(),()u x v x 使()()()()()()()1f x g x u x f x g x v x ++=，()()()()()()()1f x u x g x u x f x v x ++=，上式说明()(),()1f x g x =．9. 如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．证明 21x x ++的两个根为1ε=和2ε=33121εε==． 因为()23312(1)()()x x f x xf x +++，所以331212()()()()x x f x xf x εε--+，故有33111213312222()()0,()()0,f f f f εεεεεε⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 即112122(1)(1)0,(1)(1)0.f f f f εε+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．10. 若()()n f x f x ，则()f x 的根只能是零或单位根．证明 因为()()n f x f x ，故存在多项式()q x ，使()()()nf x f x q x =．设a 为()f x 的任一根，即()0f a =，则()()()0n f a f a q a ==．也就是说，当a 为()f x 的一根时，n a 也为()f x 的一根．依此类推，可知2,,,n n a a a L 也是()f x 的根．由于()f x 的根的个数有限，故必定存在正整数,s t (不妨设s t >)，使得s t n n a a =，(1)0t s t n n n a a --=．于是有0t n a =即0a =，或者(1)0s t n n a --=，即a 为单位根．11. 设()f x 是一个整系数多项式，且(0),(1)f f 都是奇数，则()f x 没有整数根．证明 设10()n n f x a x a x a =+++L ，假设()f x 有整数根α，则x α-整除()f x ，即()()()f x x q x α=-，其中商式()q x 也是一个整系数多项式．事实上，设1110()n n q x b x b x b --=+++L ，代入上式并比较两端同次幂系数，得112110100,,,,n n n n n a b a b b a b b a b ααα----==-=-=-L ，因为()f x 是一个整系数多项式，所以，110,,,n b b b -L 也是整数，令0,1x x ==分别代入展开式，得(0)(0),(1)(1)(1)f q f q αα=-=-．由于(0),(1)f f 都是奇数，则α及1α-都必须是奇数，这是不可能的，所以，()f x 不能有整数根．12．证明对于任意非负整数n ，都有 ()()22211(1)n n x x x x ++++++． 证明 设α是21x x ++的任一根，即 210αα++=，21αα+=-，31α=．由此得221222123(1)()(1)0n n n n n n αααααα+++++++=+-=-=，即α也是221(1)n n x x ++++的根．又因为21x x ++无重根，因此()()22211(1)n n x x x x ++++++．13. 假设12,,,n a a a L 是两两不同的整数，证明：多项式12()()()()1n f x x a x a x a =----L 在有理数域上不可约．证明 用反证法．假设()f x 在有理数域上可约，则有整系数多项式12(),()g x g x ，使得12()()()f x g x g x =．于是12()()()i i i f a g a g a =，1,2,,i n =L ．因此，12()1,()1i i g a g a ==-或12()1,()1i i g a g a =-=．这样总有12()()i i g a g a =-，从而由推论2知12()()g x g x =-，所以21()()f x g x =-．这与()f x 的首项系数为1相矛盾，故()f x 在有理数域上不可约．。
kummer判别法的证明
kummer判别法的证明Kummer判别法是用于判断一个整系数多项式方程是否存在整数根的方法。
下面将给出Kummer判别法的证明。
考虑一个次数为n的整系数多项式方程：\[ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 \]其中，系数$a_i$都是整数。
假设方程的某个有理数解为$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互素且$q\neq 0$。
我们可以假设$p$和$q$都是整数，因为如果它们有一个为分数，那么我们可以将方程的两边同时乘上$q^n$，得到一个新的方程，该方程的解仍然是$\frac{p}{q}$。
将$\frac{p}{q}$代入方程，得到：\[ a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots +a_1\left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0 \]将方程两边同乘以$q^n$，得到：\[ a_np^n + a_{n-1}pq + \dots + a_1p^{n-1}q^{n-1} + a_0q^n = 0 \]由于$p$和$q$互素，所以$p$是$q$的互素因子。
那么上式中除了第一项$a_np^n$外，其余各项都是$q$的倍数。
因此，方程左侧是$q$的倍数，而右侧是0，所以必须满足$q$也是0的倍数。
根据整数的性质，我们可以得出结论，方程的有理数解$\frac{p}{q}$中的分母$q$是方程的整数根的因子。
根据上述分析，我们可以得出Kummer判别法的结论：如果一个整系数多项式方程存在有理数解$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是最简分数，且$q$是方程的一个正因子，那么方程一定存在整数根。
这是Kummer判别法的证明过程。
该证明基于有理根定理的基本思想，并结合了分子分母的互素性质推导出了Kummer 判别法的结论。
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
求解一个多项式有没有有理根是数学中常见的实际求解题目，目前一般通过使用多项式有理根的判别法来求解。
本文介绍了三种多项式有理根的判别法，分别是奇异值定理、四平方和定理、乘法原理，它们的应用范围较广，对解决多项式有理根问题有重要作用。
首先，奇异值定理是近代发展出来的一个判别多项式有理根的方法，它能准确的判断一个多项式是否存在一个有理根。
奇异值定理可以简单的概括为，当某个多项式的奇异值大于其次数时，该多项式必存在有理根。
四平方和定理，也叫四次平方和定理，是指在实数域上，一个正整数可以表示为四次整数的平方和的充要条件。
若一个数字无法表示为四次整数的平方和，则它不是多项式的有理根。
即满足四平方和定理的实数必是多项式的有理根。
另一个能够判别多项式有理根的方法是乘法原理，又称四次乘法判别法。
该方法提出了一个充分且必要的条件，如果某个多项式满足该条件，则该多项式必然存在有理根。
乘法原理说明，如果一个数能被任意式根取整，则它必然是多项式的有理根。
以上三种方法在求解多项式有理根问题上均有广泛的应用，比如奇异值定理可应用在多项式的不可分离性检验上，四平方和定理可以在多项式检验任意给定数是否是其系数的一个复数根上，乘法原理可用于研究自变量满足给定条件时多项式是否存在有理根。
综上所述，奇异值定理、四平方和定理、乘法原理是判别多项式有理根的重要方法，它们的应用也有着广泛的范围。
因此，掌握好这些判别方法，对解决多项式有理根问题有一定的帮助。
德莫弗定理
德莫弗定理德莫弗定理的内容比较复杂，需要一些基础的数论知识才能理解。
在这篇文章中，我将详细介绍德莫弗定理的内容和证明过程，让读者能够更好地理解这个定理的意义和应用。
首先，让我们来了解一下德莫弗定理的内容。
德莫弗定理主要是关于不可约整系数多项式的研究问题。
在代数数论中，不可约整系数多项式是一种重要的数学对象，它们可以用来表示整数环中的元素，并且在许多数论问题中起着重要的作用。
德莫弗定理的内容可以简单地概括为：对于任意一个不可约整系数多项式P(x)和一个整数n，如果P(x)模n的所有根都是简单的，那么P(x)在整数环上也是不可约的。
换句话说，如果一个不可约整系数多项式在模n的情况下所有根都是简单的，那么它在整数环上也是不可约的。
接下来，让我们来详细介绍一下德莫弗定理的证明过程。
证明德莫弗定理的关键在于构造一个特殊的整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除，但是在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。
通过构造这样一个多项式Q(x)，我们可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。
首先，我们需要先构造一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。
我们可以通过分解P(x)为不可约整系数多项式的乘积来构造Q(x)。
具体地，假设P(x)=f_1(x)f_2(x)...f_k(x)，其中f_i(x)都是不可约整系数多项式。
我们可以令Q(x)=f_1(x)f_2(x^2)...f_k(x^k)，这样我们就构造出了一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。
接下来，我们需要证明在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。
假设Q(x)在模n的情况下有一个重根r，即Q(r)≡0(mod n)且Q'(r)≡0(mod n)。
我们可以利用整系数多项式的性质来推导出矛盾，从而证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的。
通过构造一个特殊的整系数多项式Q(x)并证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的，我们就可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。
整系数不可约多项式的两个判别法
整系数不可约多项式的两个判别法
在高等代数中，有这样一个问题：一个有理系数的多项式，如何判断它在Q上是否可约？由于一个有理系数的多项式总是与某个整系数多项式相伴（它的本原多项式），同时，若一个整系数多项式在Q上可约，则它可以分解成两个低次的整系数多项式的乘积，所以，我们只要研究整系数多项式在Z[x]上的约化即可（其中Z是整数环）。
对于次数低一些的多项式（比如2次、3次），我们可以找它的根，如果有根，则有一次因式。
或者，另一个很常用的方法就是Eisenstein判别法。
Eisenstein判别法的定理条件并不是天上掉下来的，而是通过一些观察和探索得到的。
我们经常研究首一的多项式，因为它们比较简单，经过大量的观察，我们发现这种多项式是不可约的：
f(x)=x4+5x3+5x2+10x+10
它有一个特点是，首项以外的系数有公共的素因子（即5）。
所以我们可以探索一下，具有这种特点的多项式，假如可约，会得到什么结论？由此即可得到Eisenstein判别法：
类似于Eisenstein判别法的一个结果
这个结果可以用于判断以下形式的多项式是不可约的：
f(x)=x5+2x4+2x3+4x2+4x+4。
关于整系数多项式的一个公开问题
关于整系数多项式的一个公开问题
陈镜全
【期刊名称】《湛江师范学院学报》
【年(卷),期】2008(0)6
【摘要】运用初等数论方法完全解决了M.Bencze提出的一个公开问题.
【总页数】2页(P18-19)
【作者】陈镜全
【作者单位】湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛汪,524048
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
【相关文献】
1.一元整系数多项式一个结论的推广应用 [J], 邓勇
2.整系数多项式有理重根的一个性质 [J], 王海坤;王宇
3.关于整系数多项式无有理根的一个判别法的注记 [J], 罗永超
4.一个整系数多项式的整数解 [J], 肖凌;曹永林
5.整系数多项式无整数根的一个判定 [J], 张棉棉
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不可约多项式
因为g( ),h( )为整数，所以
g( )=h( )，k=1,2,…,n+1.
由此可知 , ,…, 为多项式方程g(x)-h(x)=0的n个根。
又因为 （g(x)-h(x)）< n,所以g(x)-h(x)为零多项式，即
f(x)= =g(x)h(x)=
p!f(x)=p!+p!
因为P为质数，整系数多项式p!f(x)符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式p!f(x)在整数环上不可约，即整系数多项式p!f(x)在有理数域上不可约。由此可得多项式f(x)在有理数域上不可约。
例2.若P为质数，求证有理系数多项式f(x)=1+x+ +…+ 在有理数域上不可约。
证明：因为f(x)= ,不妨设x=y+1得到
f(x)=f(y+1)= =g(y).
g(y)= +p + …+
又因为p为质数，g（y）符合爱森斯坦判别法，所以g（y）在整数环上不可约，即f（x）在整数环上不可约，由此可得f（x）在有理数域上不可约。
（
例3.求证整系数多项式f（x）= -1在有理数域上不可约，其中 , ,…, 为n个互不相等的正数。
由此可知 , ,…, 为多项式方程的n个根。
又因为 （g(x)+h(x)）< n.所以g（x）+h（x）为零多项式，即有g（x）=-h（x）.
f(x)=g(x)h(x)=-
由此可得到f(x)的最高次项的系数为负数，与已知的f(x)的最高次项的系数为1相矛盾，假设不成立.所以整系数多项式f(x)在有理数域上不可约.
f(x)=g(x)h(x),其中
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【标题】关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【引言】在代数学中，多项式函数是一种极其重要的数学对象。
而多项式函数的有理根（或称为有理零点）则是代数方程的根的一种特殊情况，值得我们深入研究和探索。
本文将围绕着整系数多项式的有理根展开论述，介绍其中几个重要定理及其求解方法，以期帮助读者更加全面、深刻地理解这一主题。
【正文】1. 整系数多项式及有理根的基本概念整系数多项式指的是系数全为整数的多项式。
对于一个整系数多项式p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n \neq 0，整数根（或称整数零点）是指满足 p(x) = 0 的整数解。
而有理根则是指满足 p(x) = 0 的有理数解，可以表示为 p(x) = (x -\frac{p}{q})q_nq^{n-1}...q_1 = 0，其中 p 和 q 都是整数，且 q \neq 0。
2. 整系数多项式有理根的判别式对于整系数多项式 p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，假设存在有理根 x = \frac{p}{q}，其中 p 和 q 互质。
那么根据有理根定理，p 必须是 a_0 的因子，而 q 必须是 a_n 的因子。
基于这个结论，我们可以提出整系数多项式有理根的判别式：设整系数多项式 p(x) 的首项系数为 a_n，常数项为 a_0，其所有有理根为\frac{p_i}{q_i} (i = 1,2,...,m)。
那么有理根的判别式可以表示为如下形式：- 对于 p(x) 的每一个有理根 \frac{p_i}{q_i}，其 p_i 为 a_0 的因子，q_i 为 a_n 的因子；- 对于 p(x) 的每一个整数根 x_i，其必为 a_0 的因子。
3. 整系数多项式有理根的求解方法接下来，我们将介绍一些求解整系数多项式有理根的方法，以帮助读者解决类似的问题。
有理根定理的证明
有理根定理的证明引言：有理根定理是高中代数学中的重要定理之一，它可以帮助我们判断一个多项式方程是否有有理根，并且可以给出有理根的范围。
在本文中，我们将对有理根定理进行证明，并解释其原理和应用。
一、有理根定理的表述：有理根定理又称为整系数有理根定理，它的表述如下：对于一个具有整数系数的多项式方程\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\]如果它有有理数根\(\frac{p}{q}\) （其中p和q的最大公约数为1），则p必须是常数项a0的约数，q必须是首项系数an的约数。
二、有理根定理的证明：证明有理根定理的一个重要步骤是引入辅助定理：整系数多项式方程的有理根必为其整数根或分数根的形式。
1. 辅助定理的证明：假设有理数\(\frac{p}{q}\)是多项式方程的一个有理根，则可以写成\(\frac{p}{q}=\frac{a}{b}\)，其中a和b的最大公约数为1。
将\(\frac{p}{q}\)代入多项式方程得：\[a_n(\frac{p}{q})^n+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1}+...+a_1(\frac{p}{q})+a_0=0\]经过整理得：\[a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0\]将等式两边同时乘以\(q^n\)得：\[a_np^nq^n+a_{n-1}p^{n-1}q^{n+1}+...+a_1pqn^{n-1}+a_0q^{2n}=0\]由于多项式的系数和指数都是整数，所以等式左边的每一项都是整数，而等式右边为0，所以\(q^n\)必须是1，即q=1。
因此，有理根\(\frac{p}{q}\)可以写成整数形式p。
2. 有理根定理的证明：假设有理数\(\frac{p}{q}\)是多项式方程的一个有理根，且p和q 的最大公约数为1。
则根据辅助定理，有：\[\frac{p}{q}=p\]即p必须是常数项a0的约数，而q=1。
整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理
整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理一、求和不可约判定定理：1、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$且：$$a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^n a_n \neq 0,$$则P(x)在R上不可约。
2、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$且：$$a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \neq 0,$$则P(x)在R上不可约。
二、克劳德-拉一判不可约判定定理：1、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_2a_n-a_1a_{n-1}\ne 0,$$ 则P(x)在R上不可约。
2、假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_1a_{n-1}-a_2a_{n-2}\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。
三、Fermat-Euler判不可约判定定理：1. 假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_0a_2 - a_1^2\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。
2、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_1a_3 - a_2^2\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。
整系数多项式
整系数多项式整系数多项式是指系数都是整数的多项式。
在数论和代数中，整系数多项式具有重要的应用。
本文将介绍整系数多项式的定义、性质和相关定理。
定义一个整系数多项式可以写为$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\cdots + a_1x + a_0$$，其中系数$$a_i\\ (0 \\leq i \\leq n)$$均为整数，且a n eq0。
性质1.整系数多项式的加法和乘法：整系数多项式之间的加法和乘法仍然是整系数多项式。
2.整系数多项式的因式分解：整系数多项式可以分解为一些整系数一次或二次多项式的乘积。
3.整系数多项式的根：整系数多项式的根可以是整数、分数或者虚数。
4.整系数多项式的整数根定理：如果整系数多项式P(x)5.有整数根r6.，则r7.一定是多项式的常数项a08.的因数。
9.整系数多项式的复根共轭定理：如果整系数多项式P(x)10.有复根$$z = a + bi\\ (b \ eq 0)$$11.，则其共轭复根$$\\overline{z} = a - bi$$12.也是多项式的根。
因此，整系数多项式的复根总是成对出现。
13.整系数多项式的反函数：如果整系数多项式P(x)14.是可逆的，则其反函数也是整系数多项式。
相关定理1.整系数多项式的整除定理：如果整系数多项式P(x)2.在r3.处取零值，则P(x)4.可以被x−r5.整除。
6.整系数多项式的首一整系数定理：任何整系数多项式P(x)7.都可以表示为一个整系数多项式Q(x)8.和一个整数c9.的乘积，其中Q(x)10.是首项系数为1的整系数多项式。
应用整系数多项式在数论和代数中有着广泛的应用。
其中，整系数多项式的因式分解和根的性质在代数方程的求解中起着重要作用。
同时，整系数多项式也在密码学和编码理论中发挥着重要作用，例如在多项式插值法、RSA算法等方面。
总之，整系数多项式不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的作用。
整系数多项式
使得a - b = 0
• 结果：-3x^3 + x^2 + x + 4
整系数多项式的乘法
整系数多项式乘法的定义
整系数多项式乘法的性
质
例子
• 将两个整系数多项式相乘，得到
• 交换律：a * b = b * a
• (x^2 - 2x + 1) * (3x^3 - 2x^2 +
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• 因式分解：x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1)
整系数多项式的因式分解方法
因式分解方法
例子
• 长除法
• 3x^3 - 2x^2 + x - 5
• 配方法
• 待定系数法
• 图形法
• 因式分解：3x^3 - 2x^2 + x - 5 = (x - 1)(3x^2 - x
+ 5)
• 相等：不成立，因为系数不相等
• 相似：成立，因为次数相同，且对应项的系数成比例
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02
整系数多项式的运算
整系数多项式的加法
整系数多项式加法的性
质
整系数多项式加法的定义
例子
• 将两个整系数多项式的对应项相
• 交换律：a + b = b + a
• x^2 - 2x + 1 + 3x^3 - 2x^2 +
整系数多项式的有理根与无理根
有理根的定义
• 一个整系数多项式的一个根为有理数
无理根的定义
• 一个整系数多项式的一个根为无理数
例子
名校高等代数历年考研试题(1-3章)
第一章 多项式例 1.1（华南理工大学， 2006年） 设 ( ) ( ) x g x f , 是数域F 上的多项式. 证明：( ) ( ) x g x f | 当且仅当对于任意的大于1的自然数n 有， ( ) ( ). | xg x f n n 证明 必要性显然成立，下证充分性. 设 ( ) g x 在数域F 上的不可约分解为( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 k lllk g x cp x p x p x =××× ，其中 ( ) ,1,2,..., il i p x i k = 是互不相同的不可约多项式.若有 ( ) ( ) | nnf xg x ，则( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 ,0,1,2,...,.k nf nf nfn k i i f x dp x p x p x f l i k =×××££= 其中d 是某个常数，因此有( ) ( ) x g x f | .例 1.2（大连理工大学，2007 年）设 ( ) ( ) ( ) x hx g x f , , 是实系数多项式，如果 ( ) ( ) ( ) x xhx xg x f 22 2 + = ，则 ( ) ( ) ( ) . 0 = = = x h x g x f 证明 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 222 f x x g x h x =+ ，可知 ( ) 2 | x f x ，易推得 ( ) | x f x . 于是有 ( ) ( ) 2221 f x x f x= ，代入方程并在两边约去 x 有 () ( ) ( ) x h x g x xf 2 2 21 + = (*)于是有 ( ) ( ) ( ) 22 | x g x h x + ，若多项式 ( ) g x 或 ( ) h x 中的常数项不为零的话，都可 以推出( ) ( )( )x h x g x 2 2 | + 于是有( ) ( ) ( ) () ( )x h x g x x h x g 21 2 1 2 2 2 + = + 代入(*)式并约去 x 有( ) ( ) () ( )x h x g x x f 21 2 1 21 + = 这样又回到原来的方程，所不同的是 ( ) ( ) ( ) 111 ,, f x g x h x 比 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 的次数要小 1. 于是经过有限次后必可以使得方程的左边为零次多项式，即为某个常 数c ，使得( ) () ( )x h x g x c k k 22 + = 比较两边的次数易得 0 = c ，并代入方程有( ) () 0 22 = + x h x g k k 于是( ) () 0 = = x h x g k k 那么 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 都是某个多项式乘以数0. 由此可推得( ) ( ) ( ) 0 = = = x h x g xf . 例 1.3（大连理工大学，2007年）证明多项式 1 | 1 - - n d x x 的充分必要条件是n d | .证明 充分性显然，下证必要性.若 d r r dq n < < + = 0 ,，则 ( ) ( )11 1 1 - + - = - + - = - r dq r r r n n x x x x x x x 由于 1 - dq x 可被 1 - d x 整除， 而 1 - r x 不能被 1 - d x 整除， 于是 1 - n x 不能被 1 - dx 整除.由其逆否命题可知必要性成立.例 1.4 （北京科技大学，2004年）求一个三次多项式 ( ) x f ，使得 ( ) 1 + x f 能 被( ) 21 - x 整除，而 ( ) 1 - x f 能被( ) 21 + x 整除.解 由题知 ( ) 'f x 能被( ) 1 x - 和( ) 1 x + 整除，又由 ( ) f x 是一个三次多项式， 那么 ( ) 'f x 是一个二次多项式，于是可设( ) ( )( ) aax x x a x f - = - + = 2 ' 1 1 积分易得( ) 33a f x x axb =-+ （其中a, b 为常数） 由题设可知 ( ) 1 f x =- ，易解得3 2 0a b ì = ïí ï = î 那么显然有( ) xx x f 2 3 2 1 3 - = .例 1.5（兰州大学，2004）设 () f x 和 () g x 是数域F 上的两个不完全为零的多 项式，令{ [ ]}()()()()(),() I u x f x v x g x u x v x F x =+Î 证明：(1) I 关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 () h x I Î 和任意的 [ ] (), k x F x Î 有 ()() h x k x I Î .(2) I 中存在次数最小的首项系数为 1 的多项式 () d x ， 并且()((),()) d x f x g x = .证明 (1) 容易证明，略.(2) 考虑{ [ ] 0 (()()()())(),() I u x f x v x g x u x v x F x =¶+Î 且 } ()()()()0 u x f x v x g x +¹ 则 0 I 是非负整数的一个子集，由最小数原理， 0 I 中存在最小数，也就是说，I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式：11 ()()()()()d x u x f x v x g x =+ 设 () h x 是 I 中任意多项式，且 ()()()() h x d x q x r x =+ ，其中 ()0 r x = 或者(()) r x ¶< (()) d x ¶ .若 (()) r x ¶< (()) d x ¶ ， 则 ()()()() r x h x d x q x =- .由(1)可知 () r x I Î ， 与 () d x 是I 中次数最小的多项式矛盾. 故 ()0 r x = ，所以 ()() d x h x .显然 (),() f x g x I Î ，所以 ()() d x f x ， ()() d x g x .如果 ()() p x f x ， ()() p x g x ，则11 ()()()()()p x u x f x v x g x +即 ()() p x d x ，所以 ()((),()) d x f x g x = .例 1.6（上海交通大学，2004）假设 1 () f x 与 2 () f x 为次数不超过 3 的首项系数为1的互异多项式，若 42343 12 1()() x x f x x f x +++ ，试求 1 () f x 与 2 () f x 的最大公因式.解 由于42 1x x ++ = 22222 (1)(1)(1) x x x x x x +-=++-+ 设它的4个根分别为 1212 ,,, w w e e 其中1212 13131313 ,,, 2222i i i i w w e e -+--+- ==== 由于 4234312 1()() x x f x x f x +++ ，就有 343 12 ()() f x x f x + = 42 (1) x x ++ () g x . 于是有下面的方程组112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 f f f f w w += ì í+= î 与 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0f f f f e e ---= ì í ---= î 分别解这两个方程组得，12 (1)(1)0 f f == ， 12 (1)(1)0f f -=-= 于是有，11 (1)(),(1)() x f x x f x +- ， 22 (1)(),(1)() x f x x f x +- .进而有 1 (1)(1)() x x f x +- ， 2 (1)(1)() x x f x +- .而 1 () f x ， 2 ,() f x 是互异的次数不超过 3 的首系数为 1 的多项式，所以 2 12 ((),())1 f x f x x =- .例 1.7 （浙江大学，2006 年）设 P 为数域， ( ) [] i i f f x p x =Î ， ( ) [],1,2 i i g g x p x i =Î= .证明：( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , g g f g g f f f g f g f = 证明 设 ( )( ), , , , 2 2 2 1 1 1 g f d g f d = = 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12121212 12121212 1212 1121122 ,,, ,,, , , ,,. f f f g g f g g f f f g g f g g f d g d f g d f g f g = = = = 例 1.8 （哈尔滨工业大学， 2005年） 设 ( ) ( ) x g x f , 都是实数R 上的多项式，R a Î (1) 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).| a g f x g f a g x g - - (2) 问 ( )( ) a f x f a x - - 33 | 是否成立，为什么？解 (1) 令 ( ), y g x = 考虑多项式( ) ( ) ( ) ( ) a g f y f y h- = 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0= - = a g f a g f a g h 可知 ( ) ( ) ( )y h a g y | - 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g f x g f a g x g - - | .(2) 令 3 b a R =Î ，注意用到(1)的结论，将(1)中a 的换成这里的b ，将(1)的( ) g x 换成这里的 3 x ，可得( ) ( ) 33 | x a f x f a -- .例 1.9（上海大学，2005）设22 1231 1(1)()()()() n n n n n nn x x f x xf x x f x x f x - - éù --++++ ëûL （ 2 n ³ ）求证： 1() i x f x - (1,2,,1) i n =- L . 证明 由题设易知1222 1231 1()()()()n n n n n n n n x x x f x xf x x f x x f x --- - ++++++++ L L 这里令e 是n 次本原单位根，那么22 1231 22222 1231 11212 1231 (1)(1)(1)(1)0(1)(1)()(1)()(1)0(1)(1)()(1)()(1)0n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f e e e e e e e e e - - - - ---- - ì ++++= ï ++++= ï íï ï ++++= î L L L LL于是关于 1231 (1),(1),(1),,(1) n f f f f - L 的齐次线性方程组的系数行列式为22 22222112121 1()() 0 1()()n n n n n n ee e e e e e e e - - ---- ¹ L L MMMML .故齐次线性方程组只有零解，于是 121 (1)(1)(1)0 n f f f - ==== L ，所以 1()i x f x - (1,2,,1) i n =- L .例 1.10（哈尔滨工业大学，2006 年）已知 ( ) ( ) x g x f , 是数域 P 上两个次数大 于零的多项式，且存在 ( ) ( ) 11 ,[], u x v x p x Î 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = + x g x v x f x u ，问是否存 在 ( ) ( ) ,[] u x v x p x Î ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x v x g x u x g x v x f x u ¶ < ¶ ¶ < ¶ = + , , 1 . 如果存在，这样是唯一的吗？说明理由.解 由于 ( ) ( ) ( ) 11 ()1 u x f x v x g x += ，若 ( ) 1 u x 的次数大于 ( ) g x 的次数，则由 带余除法得( ) ( ) ( ) ( ) 1 u x g x q x u x =+ ， ( ) ( ) ( ) ( )u x g x ¶<¶ 代入上式得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1f xg x q x u x g x v x ++= 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 1 = + + x v x q x f x g x u x f 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 v x f x q x v x =+ ，则有( ) ( ) ( ) ( )x f x v ¶ > ¶ 否则由比较次数可知上式将不可能成立.关于唯一性的证明，可以假设 ( ) 2 u x ， ( ) 2 v x 也满足条件，那么有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1122 1f x u xg x v x f x u x g x v x +=+= 易得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221 f x u x u x g x v x v x -=- 由 ( ) f x 与 ( ) g x 互素，可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 | g x u x u x - .又由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 u x u x g x ¶-<¶ ，可得 ( ) ( ) 12 0 u x u x -= ，即 ( ) ( ) 12 u x u x = ，这时有( ) ( ) 12 v x v x = .例 1.11（华南理工大学，2005年）证明：如果 ( ) ( )( ) 1 , = x g x f ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x f x g x g x +++= 证明 由已知条件有 ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x f x g x += ， ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 g x f x g x += ，由多 项式互素的性质可得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x += 于是有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x +++= 综合上述两个等式以及多项式互素的性质有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x g x f x g x f x g x f x g x +++= .例 1.12（苏州大学，2005）设 () f x 是一个整系数多项式，证明：如果存在 一个偶数m 和一个奇数n ，使得 () f m 和 () f n 都是奇数，则 () f x 没有整数根.证明 （反证法） 假设 () f x 有整数根k ，则 ()()() f x x k g x =- ，因为x k - 是 本原多项式，故 () g x 是整系数多项式. 又由于()()() f m m k g m =- ， ()()() f n n k g n =- .且 () f m 和 () f n 都是奇数，那么m k - ，n k - 都是奇数，与m 是偶数且n 是 奇数矛盾，所以 () f x 没有整数根.例1.13 （四川大学， 2004年） (1) 设多项式 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 + - - × × × - - = n x x x x f ， 其中n 为非负整数. 证明： ( ) x f 在有理数域上一定不可约.(2) 在有理数域上求多项式 ( ) 36 12 11 2 2 3 4 + - - + = x x x x x g 的标准分解式.(1) 证明 假设 ( ) f x 在有理数域上可约， 故 ( ) f x 可分解为两个整系数多项式 的积， 即存在两个整系数多项式 ( ) ( ) , h x k x 使得( ) ( ) ( )f x h x k x = 注意到 ( ) 1,1,2,,21 f i i n ==×××- ，于是( ) ( ) 1,1,2,,21h i k i i n ==×××- 令 ( ) ( ) ( ) l x h x k x =- ，由 ( ) h x 与 ( ) k x 的次数小于21 n - 知 ( ) l x 的次数也小于 21 n - ，但是 ( ) l x 有21 n - 个不同的根为 1,2,,21 x n =×××- ，那么有 ( ) 0 l x º ，于是 ( ) ( ) h x k x = ，推得( ) ( ) ( ) 2f x k x =³ 但是 ( ) 00 f = ，矛盾. 于是 ( ) f x 在有理数域上不可约.(2) 注意到 ( ) ( ) 230 g g =-= ，由综合除法可得( ) ( ) ( )2223 g x x x =-+ 上式为 ( ) g x 在有理数域上的标准分解式.例 1.14（上海大学，2005）设 1 ()2n nf x x x + =+- (1) n ³ ，求 () f x 在有理数域上的不可约因式并说明理由. 解11 ()2(1)(1)n n n nf x x x x x ++ =+-=-+- 112 12 (1)(1)(1)(1) (1)(2222)(1)()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x g x --- -- =-++++-+++ =-+++++ =- L L L 对 () g x ， 令 2 p = ， 用Eisenstein 判别法容易证明 () g x 在有理数域上不可约， 因此 () f x 在有理数域的不可约因式是： 1 x - 及 12 2222 n n n x x x x -- +++++ L .例 1.15（大连理工大学，2004）设R Q 分别表示实数域和有理数域，(),()[] f x g x Q x Î . 证明：(1) 若在 [] R x 中有 ()() g x f x ，则在 [] Q x 中也有 ()() g x f x .(2) () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，当且仅当 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.(3) 设 () f x 是 [] Q x 中不可约多项式，则 () f x 的根都是单根.证明 (1)（反证）假设在 [] Q x 中 () g x 不能整除 () f x ，作带余除法有()()()(),(),()[]f x q xg x r x q x r x Q x =+Î 且 (()) r x ¶< (()) g x ¶ .以上带余除法的结果在 [] R x 中也成立，所以在 [] R x 中 () g x 不能整除 () f x ， 与在 [] R x 中有 ()() g x f x 矛盾. 因此，结论成立.(2) 如果 () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，那么存在 (),()[] u x v x Q x Î ，使得()()()()1 f x u x g x v x += .以上等式在 [] R x 中也成立，所以 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.如果 () f x 与() g x 在 [] Q x 中不互素，那么 () f x 与 () g x 在 [] Q x 存在非零次公因式.即()[] d x Q x Î ， (())1,d x ¶³ 1 ()()() f x d x f x = ， 1 ()()() g x d x g x = ，11 (),()[]f xg x Q x Î 以上两个等式在 [] R x 中也成立. 因此， () f x 与 () g x 在 [] R x 中不互素. (3) () f x 是 [] Q x 中的不可约多项式 ， 则 ' ((),())1 f x f x = ， 否则 ' ((),())()1, f x f x d x =¹ 则 () f x 有重因式, 与 () f x 不可约矛盾. 于是 () f x 没有重 因式，所以 () f x 的根都是单根.例 1.16（南京理工大学，2005年）设 p 是奇素数，试证 1 + + px x p 在有理数 域上不可约.证明 令 1 x y =- ，代入 ( ) 1 p f x x px =++ 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 pg y f x f y y p y ==-=-+-+ .考查多项式 ( ) ( ) ( ) 1! h y p g y =- ，注意到 p 是一个奇素数，那么 ( ) h y 的常数项为 ! p - ，于是对于素数 p 有， |! p p - ，而 2p 不整除 ! p - ，对于 ( ) h y 的首项，显然有 ( ) |1! p p - .对于其他的项，利用二项式定理对( ) ( ) 1!1 pp y -- 展开可知 p 能整除除了首项和 常数项之外的所有项系数. 又 ( ) 1 p y - 中关于 y 的一次项的系数也为 p 的倍数， 于是 p 整除 ( ) h y 的除了首项和常数项之外的所有系数. 利用Eisenstein 判别法可 知 ( ) h y 在有理数域上不可约，即 ( ) g y 在有理数域上不可约，也即 ( ) f x 有理数 域上不可约.例 1.17（陕西师范大学， 2006年） 11 ()()(),()()(), f x af x bg x g x cf x dg x =+=+ 且0 a bc d¹ ，证明： 11 ((),())((),()) f x g x f x g x= . 证明 令 111 ()((),()) d x f x g x = ， ()((),()) d x f x g x = .由1 ()()() f x af x bg x =+ (*) 1 ()()()g x cf x dg x =+ (**)于是 1 ()() d x f x ， 1 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x .由式(*)与式(**)可以看成是关于 (),() f x g x 的线性方程组，解得，( ) ( )11 11 1()()() 1()()() g x ag x cf x ad bc f x df x bg x ad bc=- - =- - 于是 11 ()() d x f x ， 11 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x . 显然 1 ()() d x d x .于是11 ((),())((),()) f x g x f x g x = .例 1.18（华南理工大学，2006年）设 ( ) 1 2 34 + + + + = x x x x x f .(1) 将 ( ) x f 在实数域上分解因式.(2) 证明： ( ) x f 在有理数域上不可约. 由此证明 ( ) 5/ 2 cos p 不是有理数. (1) 解 不妨设 2 2 5, i e pa b a == ， 于是 ,,, a a b b 是1的四个非实数的 5次方根. 显然有( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222 11 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x x x x x x x x x a ab b a a b b p p =---- =-++-++ æöæö =-+-+ ç÷ç÷èøèø上式为 ( ) f x 在实数域上的因式分解. (2) 证明 令 1 x y =+ ，代入 ( ) f x .有( ) ( )1 g y f y =+ ( ) ( ) 5432 11 11510105y y y y y y +- =+- =++++ 对素数5 用Eisenstein 判别法可得 ( ) g y 是有理数域上不可约的多项式， 于是 有 ( ) f x 在有理数域上不可约 . 若 ( ) cos 2/5 p 是有理数 ， 由 ( ) ( ) 2 cos 4/52cos 2/51 p p =- 可知 ( ) cos 4/5 p 也是有理数.于是由(1)的结论可知( ) 22 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x p p æöæö=-+-+ ç÷ç÷ èøèø.上式为 ( ) f x 在有理数域上的分解，这将导致 ( ) f x 在有理数域上可约，矛盾. 故结论成立.例 1.19（华东师范大学，2005 年）试在有理数域、实数域及复数域上将 ( ) 1 7 8 9 + + × × × + + + = x x x x x f 分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简 述理由.解 由( ) ( ) 1011 x f x x -=- ( )( )( )( )1 1 1 1 23 4 2 3 4 + - + - + + + + + - = x x x x x x x x x x 可知它在有理数域上的不可约分解为( ) ( )( )( )432432 111 f x x x x x x x x x x =+++++-+-+ （这里设 ( ) 432 1 1 g x x x x x =++++ ，并取 1 x y =+ 代入，并对素数 5用 Eisenstein 判别法可知 ( ) 1 1 g y + 在有理数域上不可约. 同理设 ( ) 432 2 1 g x x x x x =-+-+ ，并取 1 x y =- 代入，可知 ( ) 2 1 g y - 在有理数域上不可约.）设 243 55551212 ,,, i iii eee e pp ppa ab b ==== ，显然 1 的五次方根为 1122 1,,,, a a a a ；‐1的五次方根为 1122 1,,,, b b b b - . 于是在实数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 11221122 11111f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-++-++-++-++ 显然在复数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 112211221 f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-------- .第二章 行列式例 2.1(兰州大学，2004年) 计算下列行列式的值121 121 121 1231 n n n n n n n n xa a a a a x a a a D a a x a a a a a a x- - - - = L L L M M M M M L 解 将 n D 的第2列到第 1 n +列加到第1列，且提取公因子有 121 21 21 1231 1 1 ()1 1 n n n n nn i n n i n a a a a xa a a D x a a x a a a a a x- - - = - =+ å L L L M M M M M L 121 12121213212 1 00()000 0 n n ni i n n na a a a x a x a a a x a a a a a a a x a - = -- - =+-- ---- å L LL M M M M M L 11()() nni i i i x a x a = = =+- å Õ .例 2.2(中山大学，2009年) 计算n 阶行列式22 111122 2222 22 111122 1...1... ..................1... 1... n n n nn n nn n n n n nn n n nx x x x x x x x D x x x x x x x x - - - ---- - = 解 首先考虑 1 n + 阶范德蒙行列式221 1111 1 221 2222 2 221 1111 1 221 2211... 1... .................. ... () 1... 1 (1)... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x x x x xx x x-- -- -- ---- - -- -- =213111 3222 ()()...()() .()...()()...()n n n x x x x x x x x x x x x x x x x =---- ---- 从上面 1 n + 阶范德蒙行列式知，多项式 () g x 的 1 n x - 的系数为 21(1) n D D + -=- ；但从上式右端看， 1 n x - 的系数为12 1 (...).()n ji i j nx x x xx £<£ -+++- Õ 二者应相等，故 12 1 (...).() n n ji i j nD x x x xx £<£ =+++- Õ .例 2.3(北京交通大学，2004年)计算n 阶行列式111 23 222341222123 111 122111...11... 1... ............1 (1)... nn n n n n n n n n n nn n C C C C C C D C C C C C C + --- -- --- +- =.解 从最后一行起将每一行减去前面一行便可将行列式降一阶， 再对降一阶的行列式做同样的处理，不断这样下去可得 1 D = .例 2.4(大连理工大学，2005年) n 阶行列式21...11 13 (11) (1)1...11n =+ .解 答案是 1 1!(1) ni n i= + å . 这是因为原式 21...1111...11 13 (1102)...11 (1)1...1101...11n n ==++ 将上述行列式的第二行到 1 n + 行分别减去第一行，可得原式 11...11 11...00 (1)...n- =- 然后依次将第二列乘以1，第三列乘以 1 2 ，........，第 1 n + 列乘以 1n都加到第一列可得1 11 11...1 (11)2 101...00 !(1) ............... 00...0 ni n n i n= ++++ =+ å .例 2.5(南开大学，2003年) 计算下列行列式的值1112121 1212222 1122 ... ... ............... n n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c +++ +++ =+++ 解法 1 将 n D 按第一行拆成两个n 阶行列式相加，并由于 3 n ³ ，故得1211121 12122221212222 11221122 ...... ...... .............................. n n n n n nn n n n n nn n n n n a a a b c b c b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++ =+++++++ 000=+= 解法 2 将原n 阶行列式加边成一个 1 n + 阶行列式11112121 21212222 112 100...0 ... ... ............... ... n nn n nnn n n n n x a b c a b c a b c D x a b c a b c a b c x a b c a b c a b c+++ =+++ +++由于 3 n ³ ，故对上面的 1 n + 阶行列式按第一行展开可知，其每个元素的余子式 都是一个至少有两列元素对应成比例的n 阶行列式，从而都等于零. 因此 0 D = .例 2.6(浙江大学，2004年) 计算n 阶行列式... ... .................. ... ... ... n b b b b a b b b a b D b b a b b b a b b b a b b b b=解 ......() ......0 .................................... ......0 ......0 ......0 n b b b b a b b b b a b b b b b a b b b b a b D b b a b b b b a b b b a b b b b a b b b abbbb a b b b b -+ + == + + + 11 ... ... .................. (1)() ... ... ...n n b b b b b b b b a b a b D b b a b b b a b b b a bbbb+ - =--+(3) 1121 (1)()(1)()n n n n n a b D b a b + +- - =--+-- 注意到 222 D b a=- 递推可得(3) 1 2(1)()((1)) n n n n D a b a n b + - =--+- .例 2.7(复旦大学，2005年) 设 12 ...,0,1,2,... k k kk n s x x x k =+++= ， 计算 1 n + 阶行列式11 121122 121 ...1 ... .................. ... n nn n n n n nnn n s s s s s s xD s s s xs s s x- - -- -- = 解 根据 k s 的定义、行列式的乘法以及范德蒙行列式知，所给的 1 n + 阶行列 式D可表示成两个 1 n + 阶行列式相乘111112 221111 112 12 11...11 1...0 ...1...0 ................................ 1...0 ... 00 (01)n n nn n n n n n n n n nnnn n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x - - ---- - = 2 11 ()(())nj ji i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ 211 ()() ni ij i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ .例 2.8(华东师范大学，2008年) 计算n 阶行列式1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 1 L L M M M M M L L L n n n n n n D n- - - - - = ∙ 解 将第2列，第 3列，…，第n 列都加到第 1 列上11 11 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 32 2 ) 1 ( L L M M M M M L LL nn nn n n n n D n - - - - - + =111 1 1 1 1 1 11 11 1 1 11 2) 1 ( LL M M MM L L n n n n n n - - - - + = 1111 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 2) 1 ( LL M M MM L L - - - - - - - + = n n n n n111 10 0 0 0 0 00 0 0 2) 1 ( L L M M M ML L - - - - + = n n n n n 2)1 ,2 , 2 , 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2) 1 ( - - - - × - - + =n n n n n n L t 21 2)2 )( 1 ( ) ( ) 1 ( )1 (2 ) 1 ( - - - - - × - - + = n n n n n n n 2)1 ( )1 ( 1 2)1 ( + ×- = - - n n n n n 1) 2 )]( 1 ( 2 [ - - - = = n x n x 例 2.9（大连理工大学， 2004年) 计算n 阶行列式1 1 1 12 1 2 1 1 12 1 1 1 1 L M M M M M L L nn n D n - - - =解 将第2行，第 3行，…，第n 行都加到第 1 行上1 1 1 12 1 2 1 1 11 1 1 1 1 L M M M M M L L n n D n - - =0 01 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 L M M M M M L L nn - - =1 2) 1 ( )1 ,2 , , 1 , ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( - - - - - - = - - = n n n n n n n n L t .例 2.10(北京航空航天大学， 2004年) 计算下列行列式的值.12 12 12... .................. n n n n a a a a a a D a a a l l l+ + =+ 解 将行列式的所有列加到第一列， 并提取公因子 12 (...) n a a a l ++++ 可得1212 1212 1 1212...... ......().............................. n n nn n i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l= ++ ++ =+ ++ å 然后将第 2 列到第n 列依次减去第一列乘以 12 ,,..., n a a a 得到一个下三角的行列式， 易得12 12 1112... ...()............... n nn n i i n a a a a a a a a a a l l ll l- = + + =+ + å 例 2.11（上海交通大学，2004年）求下面多项式的所有根23 2 3 23 2 3 3 2 3 2 22 23 2 2 2 2 3 ) ( nn n n nnna x a a a a a a a a x a a a a a a a a x a a a a x x f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = L MM M M L L L 解 将第一列的 2 a - 倍，3 a - 倍，L ， n a - 倍分别加到第 2 列，第3列， L ，第n 列2323 221 3333 100100 ()010(2)010 0101n n n nnx a a a x a a a a a f x a x a a a - ------- -- =-=-- -- L L L L L L M M M M M M M M LL第2列的 2 a 倍，第 3列的 3 a倍，L ，第n 列的 n a 倍都加到第一列 22223 13 0100 ()(2)0010 001n n n x a a a a a f x x - ------ =- L L L L M M M M L1222 (2)(3)n n x x a a - =---- L 所以， 2 x = 是 () f x 的 1 n - 重根， 222 3 n a a +++ L 是 () f x的单根. 例 2.12 （北京交通大学，2005年）计算 1 n + 阶行列式11111 (1)(2)...()(1)(2)...()............... 12... 111 (1)n n n nn n n n n x x x x n x x x x n D x x x x n ---- + +++ +++ = +++ 解 注意到依次把第一行和第 1 n + 行交换次序，第2行和第n 行交换次序， ...，可得2 1 1111111...1 12... (1) ............... (1)(2)...()(1)(2)...() nn n n n n n n n nx x x x n D x x x x n x x x x n + ---- +++ =-+++ +++ 21 (1)(()()) n i j n x j x i £<£ =-+-+ Õ 21 (1)()n i j nj i £<£ =-- Õ 第三章 线 性 方 程 组例 3.1（清华大学，2006 年）设 12 ,,, s a a a L 是一组线性无关的向量，则122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 是否线性无关? 证明之.证明 若 112223111()()()()0 s s s s s k k k k a a a a a a a a -- ++++++++= L 将上式展开并利用 12 ,,, s a a a L 的线性无关，可得关于 121 ,,, s s k k k k - L 的线性方程 组为1 2 1 100...10 110...00 ... 011...0... ...............0 00...110 s s k k k k - æö æöæö ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷= ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø 令其系数矩阵为 A ，显然有 1 1(1) s A + =+- .当 S 为偶数时 ， 0 A = ， 则方程组有非零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性相关.当 S 为奇数时 ， 0 A ¹ ， 则方程组仅有零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性无关.例3.2 （北京科技大学， 2005年） 设 0 h 是线性方程组的一个解， 而 12 th h h L ， ， ， 是它的导出方程组的一个基础解系, 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ .证明：线性方程组的任一解g , 都可表成 112211 ... t t g m g m g m g ++ =+++ , 其中 121 (1)t m m m + +++= . 证明 设 0211 ... t t g h m h m h + =+++ ，令 121 1... t m m m - =--- ， 即 121 ...1 t m m m - +++= ，则由于 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ ，1210211 (...)... t t tg m m m h m h m h ++ =++++++ 1021010 ()...() t t m h m h h m h h + =+++++ 112211... t t m g m g m g ++ =+++ 例 3.3（哈尔滨工业大学，2005 年）设 12 ,,, r a a a L 是一组线性无关的向量，1,1,2,..., ri ij j j k i r b a = == å ，证明： 12 ,,, r b b b L 线性相关的充要条件是矩阵11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k k k k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø不可逆.证明 12 ,,, r b b b L 线性无关Û 10 ri i b = = å 仅有零解Û 10 rij i j j k x a = = å 仅有零解Û（由 12 ,,, r a a a L 线性无关性仅有零解）方程组 ' 0 K X = 仅有零解Û ' K 可逆Û矩阵 11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k kk k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是可逆的.例 3.4（上海大学，2005 年）设b 是非齐次线性方程组AX b = 的一个解，12 ,,, n r a a a - L 是其导出组的一个基础解系，证明：(1) 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关.(2) 12 ,,,, n r b a b a b a b - +++ L 线性无关.证明 (1) 假定 12 ,,,, n r a a a b - L 线性相关，而 12 ,,, n r a a a - L 线性无关，那么b 可由 12 ,,, n r a a a - L 线性表出，则b 是导出组的一个解与b 是AX b = 的一个解矛 盾.(2)令( ) ( ) ( ) 1122 0n r n r x x x x b a b a b a b -- +++++++= L 于是( ) 112212 0n r n r n r x x x x x x x a a a b --- ++++++++= L L 由 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关，则12 0n r x x x - ==== L 且12 0 n r x x x x - ++++= L ，于是 12 0 n r x x x x - ===== L ，故(2)成立.例 3.5（东北大学， 2003年） 设 1 2 ... r A a aa æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是一个r n ´ 阶矩阵() r n < 且秩为r ，已知：b 是 0 AX = 的非零解，讨论 12 ,,, r a a a L 与b 的线性相关性.证明 由于对矩阵A ， 有 () r A r = ， 记 12 ,,, r U a a a =<> L . 显然有 12 ,,, ra a a L 为空间U 的一组基，由于b 是方程组 0 AX = 的一个非零解，所以有 T b 与12 ,,, r a a a L 相正交，于是有 U b ^^ Î ，对于 12 ,,, r a a a L 与 T b 的线性组合1122 0T r r l l l l a a a b ++++= L 两边同时与 T b 做内积，注意到 T U b ^ ，可得(,)0T T l b b = 由于 0 T b ¹ ，可得 0 l = ，于是1122 0r r l l l a a a +++= L 由 12 ,,, r a a a L 的线性无关性可得0(1,2,...,)i l i r == 即 12 ,,,, r a a a b L 的线性无关.例 3.6（浙江大学，2004 年） 令 12 ,,, s a a a L 是 n R 中s 个线性无关的向量， 证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得 12 ,,, s a a a L 是它的一个基础解 系.证明 以列向量 12 ,,, s a a a L 的转置为行构成矩阵A1 2 TT T s A a a a æö ç÷ ç÷= ç÷ ç÷ ç÷ èøM 考虑以A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX = 它的基础解系由 n s - 个 n 维列向量组成，设基础解系为 12 ,,, n s b b b - L 以12 ,,, T T T n s b b b - L 为行构成矩阵B ，则以B 为系数矩阵的齐次线性方程组 0 BX = 满足要求.因为 12 ,,, n s b b b - L 是 0 AX = 的解，则 0,1,,;1,, T j i s j n s a b ===- L L .它同 时说明，作为 n 维向量， 12 ,,, s a a a L 是齐次线性方程组 0 BX = 的解，而() r B n s =- .故 12 ,,, s a a a L 是 0 BX = 的一个基础解系.例 3.7（西安交通大学，2005年）讨论 , a b 为何值时，如下方程组有唯一解？无解？无穷多解? 当有无穷多解时，求出它的通解.1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++= ì ï ++= ï í-+--= ï ï +++=- î解 将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵,有1111011110 0122101221 01320132 321101231 A a b a b a a æöæö ç÷ç÷ ç÷ç÷ =® ç÷ç÷ ------ ç÷ç÷ ---- èøèø11110 01221 00101 00010 a b a æöç÷ ç÷ ® ç÷ -+ ç÷- èø.(1)当 1 a ¹ 时方程组有唯一解. (2)当 1 a = 且 1 b ¹- 时方程组无解. (3)当 1 a = 且 1 b =- 时方程组有无穷多解. 解方程组1234 234 0 221 x x x x x x x+++= ì í++= î 方程组的特解为 0 1 1 0 0 a - æöç÷ç÷ = ç÷ ç÷ èø，导出组的基础解系为 12 11 22 , 10 00 h h æöæö ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ == ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø， 于是通解为 01122 k k a a h h =++ .例 3.8（东南大学，2005年） 问：参数 , a b 取何值时，线性方程组1234 1234 234 1234 1 32 223 54(3)3 x x x x x x x x a x x xx x a x x b +++= ì ï+++= ï í++= ï ï ++++= î有解？当线性方程组有解时，求出其通解.解 将增广矩阵做初等行变换可化为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ç÷ - ç÷èø. 显然若要方程组有解，必须有 0 a = 且 2 b = , 这时增广矩阵变为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ ç÷- ç÷èø 方程组的一个特解为 ' (2,3,0,0) - ，基础解系为 ''(1,2,1,0),(1,2,0,1) -- ，于是通解为12 211 322 010 001 x C C - æöæöæöç÷ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ç÷ =++ ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø. 例 3.9（东南大学，2004年） 已知线性方程组1122 1122 1122 () 0()...0 ........................... ...()0 n n n n n na b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x ++++= ì ï++++= ï íï ï ++++= î (*)其中 10 ni i a = ¹ å .试讨论 12 ,,, n a a a L 和b 满足什么条件时，(1)方程组仅有零解.(2)方程组有非零解，此时用基础解系表示所有解.解 由于方程组(*)的系数行列式为2 1 12 12 2 111 ............ ............... ... nin i n n n in i nn nin n i b a a a a b a a a a b a b a a b a a a a bb a a a b = = = + + + ++ =+ ++ å å å .2 2 1111 1100 1 10()()() ............ ............1 (1)0... n nnnn n i i i i i i nn a a a b a bb a b a b a ba a bb- === + =+=+=+ + ååå(1)当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = +¹ å 时，方程组(*)的系数行列式不等于零. 于是此方程组只有唯一零解.(2) 当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = += å 时，方程组(*)的系数行列式为零. 因此方程组(1)有非零解，它的基础解系为 '(1,1,...,1) ，此时方程组的一切解可表为' (1,1,...,1), k k R Î .(3) 当 0 b = 时，方程组的系数行列式为零. 此时方程组(*)有非零解，并且方 程组等价于1122 0n n a x a x a x +++= (**)由于 10 ni i a = ¹ å ，故在 12 ,,, n a a a L 中必有一个不为零，不妨设 0 ia ¹ ，则有 11 1111 ....... i i n i i i n i i i i a a a a x x x x x a a a a-+ -+ =------ 其中 111 ,...,,,..., i i n x x x x -+ 为自由未知量，因此原方程组的一个基础解系为' 1 1 (1,0,...,0,,0, 0i aah =- ..................................' 11 (0,0,...,1,,0,...,0) i i i a a h - - =-' 11 (0,0,...,0,,1,...,0) i i i a ah + + =-..................................' (0,0,...,0,,0,...,1) nn i a ah =-此时，方程组(*)的一切解可表为111111 ...() i i i i n n i X k k k k k Rh h h h --++ =+++++Î L . 例 3.10（大连理工大学，2004年）设 A 是n 阶矩阵，若 ()1 r A n =- ，且代数 余子式 11 0 A ¹ ，则齐次线性方程组 0 AX = 的通解是.。
整系数的概念
整系数的概念整系数是一个数学术语，用来描述多项式中各项系数都是整数的特性。
在代数学中，我们经常使用多项式来表示一些数学关系和模型，而整系数则是限定了多项式的系数只能是整数。
下面我将详细介绍整系数的概念和相关性质。
首先，我们先来了解一下多项式的概念。
多项式是由系数和幂次指数构成的代数表达式。
例如，f(x) = 3x^2 + 2x - 1就是一个多项式，其中3、2和-1是多项式的系数，x^2、x和1是多项式的幂次指数。
对于一个多项式来说，系数的选择可以是任意实数或复数。
然而，当我们考虑整数的情况时，就出现了整系数的概念。
整系数则是指多项式中的系数只能是整数。
比如，f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 3就是一个整系数的多项式，因为其中的系数2、-5、4和-3都是整数。
整系数的概念在代数学中非常重要，它具有以下几个方面的意义和应用。
首先，整系数使得多项式的运算更加简单。
由于整系数只允许整数，我们在进行系数之间的加减乘除运算时不需要考虑小数或分数的问题。
这样一来，计算过程会更加整齐、方便和简洁。
其次，整系数能够简化多项式的变量代换和因式分解。
由于整数具有良好的整除的性质，在进行多项式的变量代换和因式分解时，整系数可以带来很多方便。
通过整系数，我们能够更好地理解多项式之间的关系，进行更加深入和系统的研究。
此外，整系数还与多项式的性质和根的问题有关。
在多项式的性质研究中，整系数可以帮助我们推导多项式的对称性、奇偶性和最小整数性等重要结果。
在多项式的根的问题中，整系数对于我们研究多项式在整数、有理数、无理数和复数等不同数域上的根的性质都有很大的影响。
总之，整系数是一个十分重要的数学概念。
整系数的多项式在数学理论研究、数值计算和实际应用等方面都起着重要的作用。
通过对整系数的多项式进行研究，我们可以更好地理解多项式及其相关性质，为解决数学和实际问题提供更加合理和便捷的方法。
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形并不是那么容易，很多时候 a 的取值并非像我们上课时候碰到的一些例子直接在 ±1 中去寻找那么简单，
例如(3)，对 h ( x) = x2 + x + 2 ，如果我们采用爱森斯坦判别法的变形，l ( y) = h ( y + 3) = y2 + 7 y +14 ，这里
a 取成了 3。
解：1) = f (0) 1,= f (1) 3 ，有例 2 结论，或取 m = 2 ，由定理 1 知， f ( x) 没有整数根，即 f ( x) 在有
约。
例 6 求 f ( x) = 3x5 + 4x4 − 6x2 − 5x − 3 的有理根
解：已知 f (0) = −3, f (1) = −7 均为奇数，故 f ( x) 无整数根。因此在 f ( x) 所有可能的有理根 ±1, ±3, ± 1
3
中，我们只需要对
±
1 3
进行综合除法得
f
1 3
关键词
整系数多项式，整数根
文章引用: 张棉棉. 整系数多项式无整数根的一个判定[J]. 理论数学, 2019, 9(6): 699-701. DOI: 10.12677/pm.2019.96093
张棉棉
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
证明：反证法：假设 f ( x) 有整数根 c，即 f (c) = 0 。另一方面，由带余除法得=c m= k + l ，l 0,1,, m −1 ， f (c) = f (mk + l ) = an (mk + l )n + + a1 (mk + l ) + a0 = hm + f (l ) ， f= (l ) f (c) − hm 能被 m 整除，与已知 矛盾。故 f
a1a
+
a0
=
an a n
++
a1a
+a0 = 偶数 + f (0) ，得 f (0) 为奇数。又奇数 = f (b) = f ((b −1) +1) = (b −1) k + f (1) = 偶数 + f (1) ，得
f (1) 为奇数。取 m = 2 ，由定理 1 知， f ( x) 没有整数根。
2. 主要结果及应用
例 1. 设次数为 n 的整系数多项式 f ( x)= an xn + + a1x + a0 ，满足 3 不整除 f (0) = a0 ， f (1) = an + + a1 + a0 ， f (−1) =(−1)n an + − a1 + a0 。证明： f ( x) 没有整数根。
理数域上不可约。
2) = g (0) 2= , g (1) 1,= g (2) 8 ，取 m = 3 ，由定理 1 知， g ( x) 没有整数根，即 g ( x) 在有理数域上不
可约。
3) = h (0) 2= , h (1) 4,= h (2) 8 ，取 m = 3 ，由定理 1 知，h ( x) 没有整数根，即 h ( x) 在有理数域上不可
例 2. 设 f ( x) 是一个首一整系数多项式，证明：如果 f (0) 与 f (1) 都是奇数，那么 f ( x) 没有有理根。
备注 1：首一整系数多项式的有理根就是整数根。
证明：因为 f (0) 与 f (1) 都是奇数，取 m = 2 ，由定理 1 知， f ( x) 没有整数根，即没有有理根。
又由于 f (2) = f (3 + (−1)) = 3l + f (−1) 知 3 不整除 f (2) ，与前面 3 整除 f (d ), d = 0,1, 2 矛盾。故 f ( x) 没
有整数根。
定理 1 设 f ( x)= an xn + + a1x + a0 是一个次数为 n 的整系数多项式。证明：如果存在正整除 m，使 得 f (0), f (1), f (m −1) 都不能被 m 整除，那么 f ( x) 没有整数根。
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Abstract
The article starts from an exercise in Higher Algebra Learning Guidelines (2nd Edition, Volume II) complied by Qiu Weisheng. This paper gives a judgment of integer coefficient polynomials without integer roots, and applies it to relevant examples and exercises.
Open Access
1. 引言
具体整系数多项式整数根的有无可以通过有理根进行判定。抽象整系数多项式整数根的有无没有特 别适用的方法。我们从文献[1]的一道习题出发，给出整系数多项式证明无整数根的新方法，将此方法一 般化，并把它应用到文献[1]的其他例题及习题中。由此，我们发现这个判定法是很有效的，且适用面是 比较广的。更重要的是，此判定法既直接又简洁。它不同于反证法，反证法很多时候是需要技巧的，而 技巧对学生，特别是刚从高中毕业的大一新生而言，是非常困难的。它又不同于直接证明的方法，需要 用到很多新的知识，它最终只需要简单的计算几个函数值，再进行简单的判断即可。这样简单有效的方 法，一方面在多项式各种证明中备受困扰的学生里无疑是受欢迎的，另一个方面也是对学生一种知识探 索的示范。
备注 1：3 次整系数多项式在有理数域是否可约等同于是否有有理根，当多项式是首一时，等同于是
否有整数根。
备注 2：对具体整系数多项式 f (x) ，我们通常直接采用爱森斯坦判别法，或间接采用它的变型
g ( y) = f ( x + a), a ∈ Q 来进行判定。虽然爱森斯坦判别法本身已经足够简单，但是艾森斯坦判别法的变
例 4. 设 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c 是整系数多项式，证明：如果 (a + b) c 是奇数，那么 f ( x) 在有理数
域上不可约。
证明：由 (a + b) c 是奇数，知 a + b, c 均是奇数，即 f (0) = c, f (1) =1+ a + b + c 均是奇数。则直接由例
Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(6), 699-701 Published Online August 2019 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2019.96093
种方法，多一种选择。
参考文献
[1] 丘维声. 高等代数学习指导书(第二版, 下册) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2016.
DOI: 10.12677/pm.2019.96093
701
理论数学
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A Judgment of Integer Coefficient Polynomials without Integer Root
Mianmian Zhang
The Mathematics of Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang
Received: Jul. 11th, 2019; accepted: Jul. 21st, 2019; published: Aug. 7th, 2019
Keywords
Integral Coefficient Polynomial, Integral Root
整系数多项式无整数根的一个判定
张棉棉
杭州师范大学数学系，浙江 杭州
收稿日期：2019年7月11日；录用日期：2019年7月21日；发布日期：2019年8月7日
摘要
本文从丘维声编著的《高等代数学习指导书(第二版，下册)》的一道习题出发，给出整系数多项式无整 数根的一个判定，并把它应用到相关例题及习题中。
证明：反证法：假设 f ( x) 有整数根 c，即 f (c) = 0 。另一方面，由带余除法得=c 3k + d ，d = 0,1, 2 ， f (c) = f (3k + d ) = an (3k + d )n + + a1 (3k + d ) + a0 = 3m + f (d ) ， f= (d ) f (c) − 3m 能被 3 整除。但事实 上，由已知知，3 不整除 f (0) = a0 ，3 不整除 f (1) = an + + a1 + a0 ，3 不整除 f (−1) =(−1)n an + − a1 + a0 ，
现在把例 2 进行推广，得到如下例 3。
例 3. 设 f ( x) 是一个整系数多项式，证明：如果存在一个偶数 a 及一个奇数 b，使得 f (a) 与 f (b) 都