第五章 插值法
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, n −1
), ( xn , p012
, n − 2, n
) 作线性插值 p012
n
pi ( x) − pi ( x0 ) 注：P0i ( x) = pi ( x) + ( x − xi ) xi − x0
2013-12-2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-16
Aitken 算法：
( xi − xn ) , 1 ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 )
解得
Ai =
( xi − x0 )
( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ) . 所以 li ( x) = ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn )
x0
2013-12-2
x1
x2
SCHOOL OF MATHEMATICS
x3
x4
72-5
Lagrange
（法1736-1813）
第二节 Lagrange 插值
一、 Lagrange 插值多项式 二、 Lagrange 插值余项
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-6
一、 Lagrange插值多项式 设 Pn ( x) = ∑ yi li ( x), 其中 li ( x) 满足：
P120 例5.2.1 P161 Ex1
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-10
二、 Lagrange 插值余项 定理5.2.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n+1
阶可导，则对 ∀x ∈ [a, b], 存在与x 有关的 ξ ∈ (a, b),
F
( n +1)
(ξ ) = f
( n +1)
(n + 1)! (ξ ) − 0 − [ f ( x) − Pn ( x)] = 0. ωn ( x )
ωωnt( x) ( n +1) n( ) (ξ ). − P t) − F (t ) = f (tx))− Pnn(( x) = [ f (fx) − Pn ( x)]. ω(nn x)1)! (+ 证毕！
′ 则 ωn ( xi ) = ( xi − x0 )
( x − xn ), ( xi − xn ),
( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 )
n ωn ( x ) ωn ( x ) , Pn ( x) = ∑ yi 故 li ( x) = ′ ′ ( x − xi )ωn ( xi ) i = 0 ( x − xi )ωn ( xi )
2013-12-2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-12
推论 若 f ( x) 是次数不超过 n 的多项式函数，则其n 次 Lagrange 插值多项式就是其本身．
f ( n +1) (ξ ) = 0. 事实上，
f ( x) − Pn ( x) =
( n + 1)!
n
ωn ( x )
Newton插值
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-19
第四节 Newton插值
一、差商及性质 二、 Newton 插值
（英1642-1727）
Newton
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-20
考虑到插值法的承袭性，可设插值多项式
pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) +
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-14
第三节 逐步线性插值
一、 Aitken 插值 二、 Neville 插值
思想：把高次插值转化为多步线性插值！
2013-Βιβλιοθήκη Baidu2-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-15
一、Aitken 插值（算法） Step 1. 过 ( x0 , y0 ), ( xi , yi ) 作线性插值 p0i ( i = 1, 2, , n )
使得
rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) =
( n + 1)!
ωn ( x )
f ( n +1) (ξ ).
证： 为插值节点时，结论显然成立！ 当x
当 x ≠ xi ( i = 0,1, , n ) 时， 令
ωn (t ) F (t ) = f (t ) − Pn (t ) − [ f ( x) − Pn ( x)]. ωn ( x )
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SCHOOL OF MATHEMATICS
72-21
一、差商及性质
( 定义5.4.1 已知互异型值点： xi , f ( xi )), i = 0,1, , n. 称
f [ xi , x j ] = f ( x j ) − f ( xi ) x j − xi ,i≠ j
为f(x) 在 xi , xj 处的一阶差商，称
72-3
SCHOOL OF MATHEMATICS
注： 称为多项式插值： 插值函数是多项式函数时， 构造n 次多项式函数 Pn ( x), 使之满足：
插值条件：
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, ( xi , yi ) (i = 0,1, , n) , n.
插值多项式：Pn ( x) 型值点： 插值余项：
y0 y1 y2 y3
p01 p12 p23
pn −1,n
p012 p123
pn − 2, n −1,n
p0123
p012
pn −3,n − 2,n −1,n
n
xn yn
P125 例5.3.2
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-18
小结： 逐步线性插值法
优点： 算法简单，易于求值！具有承袭性！ 缺点： 不适合表示插值多项式本身！
f [ xi , x j , xk ] = xk − xi
f [ x1 , , xk ] − f [ x0 , xk − x0
f [ x j , xk ] − f [ xi , x j ]
,i≠k
称 为f(x) 在 xi , xj , xk 处的二阶差商，
f [ x0 , x1 , , xk ] = , xk −1 ]
f ( n +1) (ξ ) = 0 ⇒ Pn ( x) = f ( x).
特别的，f (x) ≡ x k ( k = 0, 1, … , n ) 时，
x k = ∑ yi li ( x) = ∑ xik li ( x), k = 0,1,
n
, n.
k =0 时，∑ li ( x) ≡ 1.
i =0
2013-12-2
i =0 n
i =0
P161 Ex2
72-13
SCHOOL OF MATHEMATICS
Lagrange 插值法 小结：
优点： 结构紧凑、系数的几何意义明确，便于理论分析！ 缺点： 不具有承袭性！ （即插值节点的变化将引起整体公式的变化！）
逐步线性插值
Newton插值
2013-12-2
r ( x) = f ( x) − Pn ( x)
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SCHOOL OF MATHEMATICS
72-4
二、插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1.1 满足插值条件的多项式存在且唯一．
（用Cramer 法则易证，见P118）
注：过 n+1 个点可唯一做一条 n 次代数曲线！
Pn(x) f(x)
第五章 插 值 法
第一节 引言 第二节 Lagrange插值 第三节 逐步线性插值 第四节 Newton插值 第五节 Hermite插值 第六节 分段多项式插值 第七节 三次样条插值
2013-12-2
SCHOOL OF MATHEMATICS
72-1
第一节 引言
插值方法是数据处理、函数近似、计算机几何造 型的常用工具；为其它数值方法（数值微积分、非 线性方程数值解、微分方程数值解等）提供重要的 理论基础。
2013-12-2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-11
显然 F(t) 具有n+1阶导数，且有n+2个零点 x, x0 , x1 , , xn
由Rolle定理知，F ′(t ) 至少有n+1个零点，
F ′′(t )至少有n
个零点，
F ( n +1) (t )至少有 1 个零点 ξ , 即
+ an −1 ( x − x0 )( x − x1 )
( x − xn −1 )
由Pn ( x0 ) = f ( x0 ), 解得 a0 = f ( x0 ),
f ( x1 ) − f ( x0 ) , 由 Pn ( x1 ) = f ( x1 ), 解得 a1 = x1 − x0
f ( x2 ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − x2 − x0 x1 − x0 由Pn ( x2 ) = f ( x2 ), 解得 a2 = x2 − x1
构造
ϕ ( x) = c0ϕ0 ( x) + c1ϕ1 ( x) +
+ cnϕn ( x)
使之满足 ϕ ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1, , n.
ϕ 插值函数： ( x) 被插函数：f ( x)
2013-12-2
插值节点：x0 , x1 , , xn 插值余项：r ( x) = f ( x) − ϕ ( x)
x0 x1 x2 x3
y0 y1 p01 y2 p02 p012 y3 p03 p013 p0123
xn yn p0n p01n p012n
P123 例5.3.1
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p012
n
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二、Neville 插值（算法）
x0 x1 x2 x3
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一、插值问题
设 ϕ0 ( x),ϕ1 ( x), ,ϕn ( x) 是定义在[a, b]上的n+1个线性 无关的函数， f ( x) 是定义在[a, b]上的函数，x0 , x1 , , xn 是[a, b]中的n+1个互异节点， 已知 yi = f ( xi ), i = 0,1, , n.
i =0 n
⎧1, i = j , li ( x j ) = ⎨ ⎩0, i ≠ j.
( i = 0,1,
, n)
则 Pn ( x) 满足插值条件
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n.
注：li ( x) = ?
2013-12-2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-7
分析： 由于 x0 , , xi −1 , xi +1 , , xn 是 li ( x) = 0 的根，设
li ( x) = Ai ( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ),
又 li ( xi ) = 1, 即
Ai ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn ) = 1,
Step 2. 过 ( x1 , p01 ), ( xi , p0i ) 作线性插值 p01i ( i = 2,3, , n ) Step 3. 过 ( x2 , p012 ), ( xi , p01i ) 作线性插值 p012i ( i = 3, 4, , n ) Step n. 过 ( xn −1 , p012
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定义5.2.1 称 Pn ( x) = ∑ yi li ( x) 为Lagrange 插值多项式．
i =0
n
其中
( x − x0 ) li ( x) = ( xi − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )
n x−x ( x − xn ) j =∏ , ( xi − xn ) j =0 xi − x j j ≠i
( i = 0,1,
, n)
称为Lagrange 插值基函数．
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SCHOOL OF MATHEMATICS
72-9
注：记 ωn ( x) =( x − x0 )( x − x1 )
为f(x) 在 x0 , x1 , … , xk 处的 k 阶差商.
2013-12-2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-22
注1． 零阶差商： f [ xi ] = f ( xi ), i = 0,1, , n.
lim 重节点差商：f [ xi , xi ] = x → x f [ xi , x], i = 0,1, , n.
), ( xn , p012
, n − 2, n
) 作线性插值 p012
n
pi ( x) − pi ( x0 ) 注：P0i ( x) = pi ( x) + ( x − xi ) xi − x0
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Aitken 算法：
( xi − xn ) , 1 ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 )
解得
Ai =
( xi − x0 )
( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ) . 所以 li ( x) = ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn )
x0
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x1
x2
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x3
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Lagrange
（法1736-1813）
第二节 Lagrange 插值
一、 Lagrange 插值多项式 二、 Lagrange 插值余项
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一、 Lagrange插值多项式 设 Pn ( x) = ∑ yi li ( x), 其中 li ( x) 满足：
P120 例5.2.1 P161 Ex1
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二、 Lagrange 插值余项 定理5.2.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n+1
阶可导，则对 ∀x ∈ [a, b], 存在与x 有关的 ξ ∈ (a, b),
F
( n +1)
(ξ ) = f
( n +1)
(n + 1)! (ξ ) − 0 − [ f ( x) − Pn ( x)] = 0. ωn ( x )
ωωnt( x) ( n +1) n( ) (ξ ). − P t) − F (t ) = f (tx))− Pnn(( x) = [ f (fx) − Pn ( x)]. ω(nn x)1)! (+ 证毕！
′ 则 ωn ( xi ) = ( xi − x0 )
( x − xn ), ( xi − xn ),
( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 )
n ωn ( x ) ωn ( x ) , Pn ( x) = ∑ yi 故 li ( x) = ′ ′ ( x − xi )ωn ( xi ) i = 0 ( x − xi )ωn ( xi )
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推论 若 f ( x) 是次数不超过 n 的多项式函数，则其n 次 Lagrange 插值多项式就是其本身．
f ( n +1) (ξ ) = 0. 事实上，
f ( x) − Pn ( x) =
( n + 1)!
n
ωn ( x )
Newton插值
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第四节 Newton插值
一、差商及性质 二、 Newton 插值
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Newton
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考虑到插值法的承袭性，可设插值多项式
pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) +
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第三节 逐步线性插值
一、 Aitken 插值 二、 Neville 插值
思想：把高次插值转化为多步线性插值！
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一、Aitken 插值（算法） Step 1. 过 ( x0 , y0 ), ( xi , yi ) 作线性插值 p0i ( i = 1, 2, , n )
使得
rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) =
( n + 1)!
ωn ( x )
f ( n +1) (ξ ).
证： 为插值节点时，结论显然成立！ 当x
当 x ≠ xi ( i = 0,1, , n ) 时， 令
ωn (t ) F (t ) = f (t ) − Pn (t ) − [ f ( x) − Pn ( x)]. ωn ( x )
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一、差商及性质
( 定义5.4.1 已知互异型值点： xi , f ( xi )), i = 0,1, , n. 称
f [ xi , x j ] = f ( x j ) − f ( xi ) x j − xi ,i≠ j
为f(x) 在 xi , xj 处的一阶差商，称
72-3
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注： 称为多项式插值： 插值函数是多项式函数时， 构造n 次多项式函数 Pn ( x), 使之满足：
插值条件：
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, ( xi , yi ) (i = 0,1, , n) , n.
插值多项式：Pn ( x) 型值点： 插值余项：
y0 y1 y2 y3
p01 p12 p23
pn −1,n
p012 p123
pn − 2, n −1,n
p0123
p012
pn −3,n − 2,n −1,n
n
xn yn
P125 例5.3.2
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小结： 逐步线性插值法
优点： 算法简单，易于求值！具有承袭性！ 缺点： 不适合表示插值多项式本身！
f [ xi , x j , xk ] = xk − xi
f [ x1 , , xk ] − f [ x0 , xk − x0
f [ x j , xk ] − f [ xi , x j ]
,i≠k
称 为f(x) 在 xi , xj , xk 处的二阶差商，
f [ x0 , x1 , , xk ] = , xk −1 ]
f ( n +1) (ξ ) = 0 ⇒ Pn ( x) = f ( x).
特别的，f (x) ≡ x k ( k = 0, 1, … , n ) 时，
x k = ∑ yi li ( x) = ∑ xik li ( x), k = 0,1,
n
, n.
k =0 时，∑ li ( x) ≡ 1.
i =0
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i =0 n
i =0
P161 Ex2
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SCHOOL OF MATHEMATICS
Lagrange 插值法 小结：
优点： 结构紧凑、系数的几何意义明确，便于理论分析！ 缺点： 不具有承袭性！ （即插值节点的变化将引起整体公式的变化！）
逐步线性插值
Newton插值
2013-12-2
r ( x) = f ( x) − Pn ( x)
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二、插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1.1 满足插值条件的多项式存在且唯一．
（用Cramer 法则易证，见P118）
注：过 n+1 个点可唯一做一条 n 次代数曲线！
Pn(x) f(x)
第五章 插 值 法
第一节 引言 第二节 Lagrange插值 第三节 逐步线性插值 第四节 Newton插值 第五节 Hermite插值 第六节 分段多项式插值 第七节 三次样条插值
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72-1
第一节 引言
插值方法是数据处理、函数近似、计算机几何造 型的常用工具；为其它数值方法（数值微积分、非 线性方程数值解、微分方程数值解等）提供重要的 理论基础。
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显然 F(t) 具有n+1阶导数，且有n+2个零点 x, x0 , x1 , , xn
由Rolle定理知，F ′(t ) 至少有n+1个零点，
F ′′(t )至少有n
个零点，
F ( n +1) (t )至少有 1 个零点 ξ , 即
+ an −1 ( x − x0 )( x − x1 )
( x − xn −1 )
由Pn ( x0 ) = f ( x0 ), 解得 a0 = f ( x0 ),
f ( x1 ) − f ( x0 ) , 由 Pn ( x1 ) = f ( x1 ), 解得 a1 = x1 − x0
f ( x2 ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − x2 − x0 x1 − x0 由Pn ( x2 ) = f ( x2 ), 解得 a2 = x2 − x1
构造
ϕ ( x) = c0ϕ0 ( x) + c1ϕ1 ( x) +
+ cnϕn ( x)
使之满足 ϕ ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1, , n.
ϕ 插值函数： ( x) 被插函数：f ( x)
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插值节点：x0 , x1 , , xn 插值余项：r ( x) = f ( x) − ϕ ( x)
x0 x1 x2 x3
y0 y1 p01 y2 p02 p012 y3 p03 p013 p0123
xn yn p0n p01n p012n
P123 例5.3.1
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p012
n
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二、Neville 插值（算法）
x0 x1 x2 x3
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一、插值问题
设 ϕ0 ( x),ϕ1 ( x), ,ϕn ( x) 是定义在[a, b]上的n+1个线性 无关的函数， f ( x) 是定义在[a, b]上的函数，x0 , x1 , , xn 是[a, b]中的n+1个互异节点， 已知 yi = f ( xi ), i = 0,1, , n.
i =0 n
⎧1, i = j , li ( x j ) = ⎨ ⎩0, i ≠ j.
( i = 0,1,
, n)
则 Pn ( x) 满足插值条件
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n.
注：li ( x) = ?
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分析： 由于 x0 , , xi −1 , xi +1 , , xn 是 li ( x) = 0 的根，设
li ( x) = Ai ( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ),
又 li ( xi ) = 1, 即
Ai ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn ) = 1,
Step 2. 过 ( x1 , p01 ), ( xi , p0i ) 作线性插值 p01i ( i = 2,3, , n ) Step 3. 过 ( x2 , p012 ), ( xi , p01i ) 作线性插值 p012i ( i = 3, 4, , n ) Step n. 过 ( xn −1 , p012
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定义5.2.1 称 Pn ( x) = ∑ yi li ( x) 为Lagrange 插值多项式．
i =0
n
其中
( x − x0 ) li ( x) = ( xi − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )
n x−x ( x − xn ) j =∏ , ( xi − xn ) j =0 xi − x j j ≠i
( i = 0,1,
, n)
称为Lagrange 插值基函数．
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注：记 ωn ( x) =( x − x0 )( x − x1 )
为f(x) 在 x0 , x1 , … , xk 处的 k 阶差商.
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注1． 零阶差商： f [ xi ] = f ( xi ), i = 0,1, , n.
lim 重节点差商：f [ xi , xi ] = x → x f [ xi , x], i = 0,1, , n.