第五章 插值法
计算物理课件 插值法
即
7 y (at b )t 0, i i i i 0 7 yi (at i b ) 0. i 0
t
因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a, b ，使得 f ( t ) at b 在 t0 , t1 ,, t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 , y7 相 差都很小．
就是要使偏差
yi f ( t i )
7
(i 0,1,2,,7) 都很小.
因此可以考虑选取常数 a, b ，使得
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。 仿照线性插值和二次插值的办法， 进一步讨论一般形式的 n 次 多项式 Pn(x)=a0 +a1x +a2x2 + …+ anxn , 使其满足 Pn(x0)=y0 , Pn(x1)=y1 , ...... , Pn(xn)=yn ..(7)
i 1 j 0 j
……(4)
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,…n), Pn(x)就 可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组, 当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来 寻求获得Pn(x) 的方法----Lagrange插值和最小二乘法
合曲线尽量靠近所有点从而保证整体上的准确性。
1、线性拟合
例1
为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
样条插值
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
数据插值方法
的两个零点恰好是插值结点x1，x2，故二次函数l0(x)可表示为
l0 ( x) = c( x − x1 )( x − x 2 )
而l0(x)在x0处的值为 1。所以
c = 1 /( x0 − x1 )( x0 − x 2 )
l0(x)
l1(x)
l2(x)
即
l0 ( x)
=
(x (x0
− −
x1 )( x − x 2 ) x1 )( x0 − x 2
− −
x1 )(x − x2 ) x1 )(x0 − x2 )
y0
+
(x ( x1
− −
x0 x0
)(x − x2 ) )(x1 − x2 )
y1
+
(x (x2
− −
x0 x0
)(x − x1 ) )(x2 − x1 )
y2
（5.5）
在插值结点处，三个基函数的基为表 5.1 所示。将三个插值结点的值分别代入式（5.5），有
∫ 例 5.2
利用误差函数 Erf (x) =
2 π
x 0
e
−t
2
dt
在
x
0
=
0, x1
= 0.5, x2
= 1.0 三个点处的
85
值 y0 = 0, y1 = 0.5205, y2 = 0.8427 构造二次插值函数。
解 先写出三个基函数的表达式
l0 (x) = 2(x − 0.5)(x −1)
插值函数图形如下图
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
图 5.2
84
第五章插值法
上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。
本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
返回
第5章 插值法
前进
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预
测2019年该地区的人口数量 。利用插值方法就可以解决
这一类问题。
另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于
复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函
数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
如在积分
I
b
f (x)dx
中，当f (x)很复杂，要计算
a
积分I是很困难的，构造都要用到插值逼近。
返回代数插值第5章 插值法
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
数值分析第五章插值法精品PPT课件
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
计算方法讲义课件 五 插值
第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。
插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。
5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。
常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。
多项式求值方便，且有导数。
称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。
用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。
设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。
得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。
该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。
当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。
5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。
线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。
几何解释就是一条直线。
由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。
计算方法(8) 第五章 插值法(2)
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) ali ( xi ) 2(axi b)l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
n
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
x xj xi x j
)ห้องสมุดไป่ตู้
设
i ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
i 0
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1， ，xn，x 。 但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理 必存在点 （a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
插值法概述PPT课件
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
插值法的原理与应用
插值法的原理与应用1. 插值法的概述插值法是一种数值分析方法，用于在给定数据点集合上估计未知数据点的值。
该方法基于已知数据点之间的关系，通过建立一个插值函数来逼近未知数据点的值。
插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
2. 插值法的原理插值法的基本原理是在已知数据点上构造一个逼近函数f(x)，使得在该函数上的任意点x上的函数值等于对应的已知数据点。
常见的插值方法有多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。
2.1 多项式插值多项式插值是一种简单而常用的插值方法，它假设插值函数f(x)是一个多项式函数。
通过选择合适的插值点和多项式次数，可以得到对给定数据集的良好逼近。
多项式插值的基本原理是通过求解一个关于插值点的线性方程组，确定插值多项式的系数。
然后，使用插值多项式对未知数据点进行逼近。
2.2 样条插值样条插值是一种光滑的插值方法，它通过使用分段多项式函数来逼近曲线或曲面。
样条插值的基本原理是将要插值的区间分成若干个小段，每个小段上都使用一个低次数的多项式函数逼近数据点。
为了使插值曲线光滑，相邻小段上的多项式函数需要满足一定的条件，如连续性和一阶或二阶导数连续性。
2.3 径向基函数插值径向基函数插值是一种基于径向基函数构造插值函数的方法，它的基本思想是通过使用径向基函数，将数据点映射到高维空间中进行插值。
径向基函数插值的基本原理是选择合适的径向基函数和插值点，将数据点映射到高维空间中，并使用线性组合的方式构造插值函数。
然后，使用插值函数对未知数据点进行逼近。
3. 插值法的应用插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
3.1 信号处理在信号处理中，经常需要通过对已知数据点进行插值来估计未知数据点的值。
例如，通过插值法可以从离散采样数据中恢复连续信号，并进行进一步的分析和处理。
3.2 机器学习在机器学习中，插值法可以用于对缺失数据进行估计。
通过对已知数据点进行插值，可以填补缺失的数据，以便进行后续的模型训练和预测。
计算方法课件 第五章 插值法
1 Ak ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) (k 0,1,, n) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
n n
上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值 条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之 为Lagrange插值多项式。 当n＝1时，有 当n＝2时，有
n1 ( x) Ln ( x) f ( xi )li ( x) f ( xi ) ' ( x x ) i 0 i 0 i n 1 ( xi )
2 n , 即 P span 1 , x , x , , x 特别的取 = n
Pn ( x ) ( x ) a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , ai R , 0 i n
五、插值多项式的存在唯一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于 确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
(n 1)
n 1
M n 1 R n (x ) n 1 (x ) (n 1) !
插值法与数值微分课件
高斯积分的误差
由于高斯积分是一种近似 计算方法，因此存在误差， 但可以通过选取适当的节 点来减小误差。
数值微分的应用
数值微分在优化问题中的应用
数值微分可以用来求解最优化问题中的目标函数的最小值点，例如牛顿法、梯度下降法等 算法中都使用了数值微分。
数值微分在金融中的应用
数值微分可以用来计算金融衍生品的价格，例如期权、期货等，也可以用来进行风险管理、 资产配置等方面的分析。
样条插值的公式
$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x x_0)^n$
样条插值的适用范围
适用于数据点变化较大、分布不均匀的情况，且具有更好的局部 拟合性质。
02
数值微分
数值微分的基本概念
数值微分的定义
数值微分是一种近似计算函数导 数的方法，它通过在函数定义域 内选取若干点，利用这些点的函
方向导数的定义 方向导数是函数在某点沿某一方向的变化率。
梯度与方向导数的关系 梯度是方向导数最大值的方向，因此梯度可以用 来判断函数在某点的最优方向。
高斯积分
高斯积分的定义
高斯积分是一种数值积分 方法，它利用高斯函数的 性质来计算函数的积分。
高斯积分的优点
高斯积分可以快速、准确 地计算函数的积分，适用 于解决实际问题中无法得 到解析解的问题。
数值来近似计算函数的导数。
数值微分的优点
数值微分可以快速、准确地计算 函数的导数，适用于解决实际问
题中无法得到解析解的问题。
数值微分的误差
由于数值微分是一种近似计算方 法，因此存在误差，但可以通过
选取适当的节点来减小误差。
计算方法(8) 第五章 插值法
得 a2abb10
a 1, b 2
(2)2( x)为四次多项式,且满足
2
(0)
0,
2
(1)
0,2
(2)
1,2'
(0)
0,
' 2
(1)
0
设
2
(
x
)
l22
(
x)
(
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
)2
由2(2) 1, l2(2) 1得 1,2( x)
H 2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )
yi y 'i
i 0，1，2，L n
一、一般情形的 Hermite插值问题
用Lagrange型插值基函数法
设Hermite插值多项式为
n
n
H2n1( x) i ( x) yi i ( x) y 'i
i0
i0
1( x) （1 （ 2 x x1）l（1 x1））l 2（1 x ）
0 ( x) （x x0）l 2（0 x ）
1( x) （x x1）l 2（1 x ）
其中
l0( x)
x x1 ， x0 x1
l
' 0
(
x
)
x0
1
x1
l1( x)
x x0 ， x1 x0
' i
(
xi
)
n j0
1
插值法-Part-1
这种函数可以有很多, 最简单的是多项式, 而且多采用低阶多项式. ① 运算简单, 只需+, -, *, / ; ② 连续光滑, 导数仍是多项式;
多项式插值（代数插值）
已知函数f(x)在区间[a,b]中的n+1个不同点处的函数值: yi f ( xi ) (i 0,1, , n) n ( x ) a a x a x 使得: 0 1 n 寻找至多n次的多项式: n ( xi ) yi (i 0,1, , n) 插值多项式
2 a a x a x 多项式的系数满足方程: 0 1 0 2 0 2 a a x a x xi (i 0,1, , n) 0 1 1 2 1 a a x a x 2 插值节点 0 1 n 2 n n an x0 y0 an x1n y2 n an xn yn
插值多项式的误差估xn是区间[a,b]上n+1个不同的点, n ( x)是关于函 数 f ( x ) 过这组节点的n次插值多项式. 则称 Rn ( x) f ( x) n ( x) 截断误差, 或 插值余项 定理5.1 若 f ( x )在[a,b]上n+1次连续可导, 则对 x [a, b] , 插值余项为: f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x), (a, b) (n 1)! 证明: 对 x [a, b] , 且 x xi ( x xi 显然成立), 构造辅助函数
( xi xn )
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn ) n x xj (i 0,1, , n) n次Lagrange插值基函数. j 0, i xi x j
第五章 插值方法
第五章 插值方法1. 填空（1）若已知i i y x f =)(，n i ,2,1,0 =，且n x x x ,,,10 互异，则作n 次插值多项式)(x P n ，使其满足i i n y x P =)( （n i ,2,1,0 =），这就是所谓的拉格朗日插值. （2）过下列三点)4,2(，)9,3(，)25,5(，用抛物插值计算4=x 处的函数值16=y（3）设4)(x x f =，试用插值余项定理写出以2,1,0,1-为节点的三次插值多项式为x x x x P 22)(233-+=.（4）设2)(-=n x x f ，则)(x f 的n 次插值多项式为2)(-=n n x x P .（5）差商具有对称性，差商与导数的关系是!)(),,,()(10n f x x x f n n ξ= .（6）设15)(37++=x x x f ，则差商=)2,2(10f 162，=)2,2,2(210f 2702，=)2,,2,2(710 f 1，=)2,,2,2(810 f 0.2.拉格朗日插值多项式)(x P 逼近3)(x x f =，要求： （1）取节点1,110=-=x x 作线性插值； 解 x x x P =+⋅----+-=)1()1(1)1(11)(1（2）取节点1,0,1210==-=x x x 做抛物插值；解 x xx x x x x x P =⨯⨯++⨯-⨯-++-⨯-⨯--=112)1(0)1(1)1)(1()1()2()1()1()(2（3）取节点2,1,0,13210===-=x x x x 作三次插值.解 由拉格朗日插值余项定理知 )(!4)()()()(4)4(33x f x P x f x R ωξ=-= 由于0)()()4(3)4(==x x f，所以 0)()(3=-x P x f ，33)(x x P =.3. 给出概率积分的数据表，用抛物插值计算当472.0=x 时该积分值等于多少？解 由于|472.049.0||472.046.0|-<-，所以选择插值节点48.0,47.0,46.0210===x x x ，)472.0()472.0(2P f ≈4846555.0)48.046.0()47.046.0()478.0472.0()47.0472.0(⨯-⨯--⨯-=4937452.0)48.047.0()46.047.0()48.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+5027498.0)47.047.0()46.048.0()47.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+=0.4955529. 4. 给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1）234)(3+-=x x x f解 0)(!4)()(4)4(3==x f x R ωξ （2）342)(x x x f -=解 1217117)4)(3)(1)(1(!4!4)(!4)()(2344)4(3-++-=---+⋅==x x x x x x x x x f x R ωξ 5. 证明：对于次数不超过n 的多项式)(x f ，其n 次拉格朗日多项式)()(x f x P n =. 证明：设n n x c x c c x f +++= 10)(，由拉格朗日余项定理知 0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f x R n n n n ωξ，)()(x f x P n =6. 已知函数表求三次牛顿插值多项式，并计算)5.2(f 的值，若增加一个节点)14,6(，求)6,3,4,1,0(f 及四次牛顿插值多项式.解 列差商表x x x x x x x x x x P )3/46()3/29()3/4()4)(1()3/4()1(3)7(0)(233-++-=---+-+⋅-+=90/23)6,3,4,1,0(25.1)5.2()5.2(3==≈f P f ，xx x x x x x x x P x P )5/92()90/1307()45/152()90/23()3)(4)(1()90/23()()(23434-+-=---+=7. (1)选择插值节点0.5 ， 0.7；（2）略8.（1）1)(=x f 在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk k nk k kn x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理有0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ，)()(x f x P n =，1)(0=∑=nk k x l（2）j x x f =)( (n j ,2,1 =)在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk j k k nk k kn x x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理知0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ,)()(x f x P n =,j j k n k k x x x l =∑=0)((3)l j l j j l nk k lk k lj l kn k jl lj nk k jkx C x l x x l x x C x l x x-==-===-=-=-∑∑∑∑∑)())(()()()()(00000)()(0=-=-=∑=-j jl l j l ljx x x x C9. 因为 ))(!2)()()(2111x x x x f x P x f R --''=-=（ξ所以|))((|2)(max ))(!2)(|)()(|1021110x x x x x f x x x x f x P x f x x x --''≤--''=-≤≤（ξ)(max 8)(|)2)(2(|2)(max 101020*******x f x x x x x x x x x f x x x x x x ''-=-+-+''≤≤≤≤≤。
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( i = 0,1,
, n)
称为Lagrange 插值基函数．
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注：记 ωn ( x) =( x − x0 )( x − x1 )
r ( x) = f ( x) − Pn ( x)
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二、插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1.1 满足插值条件的多项式存在且唯一．
（用Cramer 法则易证，见P118）
注：过 n+1 个点可唯一做一条 n 次代数曲线！
Pn(x) f(x)
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第三节 逐步线性插值
一、 Aitken 插值 二、 Neville 插值
思想：把高次插值转化为多步线性插值！
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一、Aitken 插值（算法） Step 1. 过 ( x0 , y0 ), ( xi , yi ) 作线性插值 p0i ( i = 1, 2, , n )
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推论 若 f ( x) 是次数不超过 n 的多项式函数，则其n 次 Lagrange 事实上，
f ( x) − Pn ( x) =
( n + 1)!
n
ωn ( x )
, n −1
), ( xn , p012
, n − 2, n
) 作线性插值 p012
n
pi ( x) − pi ( x0 ) 注：P0i ( x) = pi ( x) + ( x − xi ) xi − x0
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Aitken 算法：
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注： 称为多项式插值： 插值函数是多项式函数时， 构造n 次多项式函数 Pn ( x), 使之满足：
插值条件：
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, ( xi , yi ) (i = 0,1, , n) , n.
插值多项式：Pn ( x) 型值点： 插值余项：
x0 x1 x2 x3
y0 y1 p01 y2 p02 p012 y3 p03 p013 p0123
xn yn p0n p01n p012n
P123 例5.3.1
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p012
n
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二、Neville 插值（算法）
x0 x1 x2 x3
Newton插值
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第四节 Newton插值
一、差商及性质 二、 Newton 插值
（英1642-1727）
Newton
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考虑到插值法的承袭性，可设插值多项式
pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) +
第五章 插 值 法
第一节 引言 第二节 Lagrange插值 第三节 逐步线性插值 第四节 Newton插值 第五节 Hermite插值 第六节 分段多项式插值 第七节 三次样条插值
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第一节 引言
插值方法是数据处理、函数近似、计算机几何造 型的常用工具；为其它数值方法（数值微积分、非 线性方程数值解、微分方程数值解等）提供重要的 理论基础。
F
( n +1)
(ξ ) = f
( n +1)
(n + 1)! (ξ ) − 0 − [ f ( x) − Pn ( x)] = 0. ωn ( x )
ωωnt( x) ( n +1) n( ) (ξ ). − P t) − F (t ) = f (tx))− Pnn(( x) = [ f (fx) − Pn ( x)]. ω(nn x)1)! (+ 证毕！
为f(x) 在 x0 , x1 , … , xk 处的 k 阶差商.
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注1． 零阶差商： f [ xi ] = f ( xi ), i = 0,1, , n.
lim 重节点差商：f [ xi , xi ] = x → x f [ xi , x], i = 0,1, , n.
x0
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x1
x2
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x3
x4
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Lagrange
（法1736-1813）
第二节 Lagrange 插值
一、 Lagrange 插值多项式 二、 Lagrange 插值余项
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一、 Lagrange插值多项式 设 Pn ( x) = ∑ yi li ( x), 其中 li ( x) 满足：
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i =0 n
i =0
P161 Ex2
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Lagrange 插值法 小结：
优点： 结构紧凑、系数的几何意义明确，便于理论分析！ 缺点： 不具有承袭性！ （即插值节点的变化将引起整体公式的变化！）
逐步线性插值
Newton插值
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( xi − xn ) , 1 ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 )
解得
Ai =
( xi − x0 )
( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ) . 所以 li ( x) = ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn )
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一、差商及性质
( 定义5.4.1 已知互异型值点： xi , f ( xi )), i = 0,1, , n. 称
f [ xi , x j ] = f ( x j ) − f ( xi ) x j − xi ,i≠ j
为f(x) 在 xi , xj 处的一阶差商，称
分析： 由于 x0 , , xi −1 , xi +1 , , xn 是 li ( x) = 0 的根，设
li ( x) = Ai ( x − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( x − xn ),
又 li ( xi ) = 1, 即
Ai ( xi − x0 ) ( xi − xi −1 ) ( xi − xi +1 ) ( xi − xn ) = 1,
构造
ϕ ( x) = c0ϕ0 ( x) + c1ϕ1 ( x) +
+ cnϕn ( x)
使之满足 ϕ ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1, , n.
ϕ 插值函数： ( x) 被插函数：f ( x)
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插值节点：x0 , x1 , , xn 插值余项：r ( x) = f ( x) − ϕ ( x)
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定义5.2.1 称 Pn ( x) = ∑ yi li ( x) 为Lagrange 插值多项式．
i =0
n
其中
( x − x0 ) li ( x) = ( xi − x0 ) ( x − xi −1 ) ( x − xi +1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )
+ an −1 ( x − x0 )( x − x1 )
( x − xn −1 )
由Pn ( x0 ) = f ( x0 ), 解得 a0 = f ( x0 ),
f ( x1 ) − f ( x0 ) , 由 Pn ( x1 ) = f ( x1 ), 解得 a1 = x1 − x0
f ( x2 ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − x2 − x0 x1 − x0 由Pn ( x2 ) = f ( x2 ), 解得 a2 = x2 − x1
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一、插值问题
设 ϕ0 ( x),ϕ1 ( x), ,ϕn ( x) 是定义在[a, b]上的n+1个线性 无关的函数， f ( x) 是定义在[a, b]上的函数，x0 , x1 , , xn 是[a, b]中的n+1个互异节点， 已知 yi = f ( xi ), i = 0,1, , n.
Step 2. 过 ( x1 , p01 ), ( xi , p0i ) 作线性插值 p01i ( i = 2,3, , n ) Step 3. 过 ( x2 , p012 ), ( xi , p01i ) 作线性插值 p012i ( i = 3, 4, , n ) Step n. 过 ( xn −1 , p012
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