大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
J ri2mi r2dm
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
J Jc mh2； Jz Jx J y
例题4-3 求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面
三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。
A
Ox
l
l dx
h
A
A
x
l
dx
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
A
Ox
而这个分量 Lz 实际上就是各质点的角动量沿 Oz 轴的分量 Li z 之和。
从图中可以看出： Liz Li cos
因此 Lz Liz Li cos miRivi cos
mirivi ri2mi
刚体的角动量
式中
ri叫2做m刚i 体对 轴的O转z动惯量，用J
表示。
刚体转动惯量：
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
刚体对 点o的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。
对于定轴转动，我们感兴趣的只是 L沿 O轴z的分 量 ，L叫z 做刚体绕定轴转动的角动量。
§4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
1. 刚体的角动量
L
图为以角速度绕定轴oz 转动
的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第i个
质点的质量为 mi
z
Li
ri
Liz
O
Ri mi
当细棒以转动时，该质点绕轴转动的半径为 ri
它相对于o点(可以是z轴上的任意点)的位矢为Ri
刚体的角动量
则 m对i o点的角动量为：
JA
l
0
x
2dx
l 3
3
ml 2 3
A
x
l
dx
转动惯量的计算
（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂
直时，我们有
JB
x dx l / 2h
2
l / 2h
ml 2 12
mh2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
h
A
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的
质量dm= 2 rdr 。可得
J
r2dm
R
0
2r
Βιβλιοθήκη Baidu
3dr
R4
2
1 mR2 2
转动惯量的计算
回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
J miri2 mrG2
i
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在 离轴距离为rG的圆环上。
l
l dx
h
A
A
x
l
dx
B
Ox
l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如
棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。
（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J0
r 2dm
x l / 2
l / 2
2dx
l 3
12
转动惯量的计算
因l=m，代入得
J0
1 12
ml
2
（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
J Jc mh2； Jz Jx J y
例题4-3 求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面
三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。
A
Ox
l
l dx
h
A
A
x
l
dx
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
A
Ox
而这个分量 Lz 实际上就是各质点的角动量沿 Oz 轴的分量 Li z 之和。
从图中可以看出： Liz Li cos
因此 Lz Liz Li cos miRivi cos
mirivi ri2mi
刚体的角动量
式中
ri叫2做m刚i 体对 轴的O转z动惯量，用J
表示。
刚体转动惯量：
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
刚体对 点o的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。
对于定轴转动，我们感兴趣的只是 L沿 O轴z的分 量 ，L叫z 做刚体绕定轴转动的角动量。
§4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
1. 刚体的角动量
L
图为以角速度绕定轴oz 转动
的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第i个
质点的质量为 mi
z
Li
ri
Liz
O
Ri mi
当细棒以转动时，该质点绕轴转动的半径为 ri
它相对于o点(可以是z轴上的任意点)的位矢为Ri
刚体的角动量
则 m对i o点的角动量为：
JA
l
0
x
2dx
l 3
3
ml 2 3
A
x
l
dx
转动惯量的计算
（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂
直时，我们有
JB
x dx l / 2h
2
l / 2h
ml 2 12
mh2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
h
A
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的
质量dm= 2 rdr 。可得
J
r2dm
R
0
2r
Βιβλιοθήκη Baidu
3dr
R4
2
1 mR2 2
转动惯量的计算
回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
J miri2 mrG2
i
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在 离轴距离为rG的圆环上。
l
l dx
h
A
A
x
l
dx
B
Ox
l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如
棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。
（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J0
r 2dm
x l / 2
l / 2
2dx
l 3
12
转动惯量的计算
因l=m，代入得
J0
1 12
ml
2
（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi