函数的连续性

第九节 函数的连续性和间断点

有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。

一、函数的连续性

1. 预备知识

改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。改变量也叫增量。

注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到

2u 。

②u ∆可正可负。

③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。 2. 函数()y f x =在0x x =定义1 当自变量x 在点0

x 的改变

量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量

()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0

lim x y ∆→∆则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.

定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条件是()()0

0lim x x f x f x →=。

证明 由定义1，

()()()()()000

000lim 0lim lim lim 0lim .

x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔⎡⎣

⇔-=⇔=

由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.

定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。

3. 函数()y f x =在点0x 连续的要求

⑴()f x 在点0x 有意义，即有确定的函数值()0f x ； ⑵()0

lim x x f x →存在；

⑶极限值=函数值，即()()0

0lim x x f x f x →=。

这三要素缺一不可。 4. 连续与极限的区别

当()f x 在0x 处有极限时，()f x 在0x 处可无定义，也可有()()0

0lim x x f x f x →≠。

而当()f x 在0x 处连续时，()f x 在0x 一定有意义并且()()0

0lim x x f x f x →=必成

立。

所以，函数()y f x =在点0x 处连续，则函数()y f x =在0x 点处必有极限，反之不成立。

5. 左右连续

定义3 如果()()()0

00lim 0x x f x f x f x +

→=+=，则称()f x 在0x 处右连续；如果()()()0

00lim 0x x f x f x f x -

→=-=，则称()f x 在0x 处左连续。

所以()f x 在0x 处连续亦可用以下定义描述。

定义4 若()()()00000f x f x f x +=-=，即函数()y f x =在点0x 处左极限等于右极限等于函数值，则函数()y f x =在点0x 处连续。

6. ()f x 在某区间连续

⑴()f x 在(),a b 内连续是指()0,x a b ∀∈，()f x 在0x 处连续。

⑵()f x 在[],a b 上连续是指()f x 在(),a b 内连续，在x a =点右连续，在x b =点左连续。

注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.

若()f x 在(),a b 内连续，则称(),a b 为()f x 的连续区间。

7. 连续函数的几何意义

连续函数()y f x =的图形是一条不断开的曲线。 例1 证明()31y f x x ==+在1x =处连续。

证明 注意()()()113113113y f x f x x ∆=+∆-=+∆+-⨯-=∆⎡⎤⎣⎦，所以

lim lim 3

x x y x ∆→∆→∆=∆从而y 在1x =处连续。

例2 讨论()1,01,

01,0x x f x x x x ->⎧⎪

==⎨⎪+<⎩在0x =处的 连续性。

解 因为

()()()0

00lim lim 11x x f f x x ++

→→+==-=， ()()()0

00lim lim 11x x f f x x --

→→-==+=， ()01f =，

所以()()()00000f f f +=-=。由定义4，()f x 在0x =处连续，见图1-38.

例3 证明多项式函数在(,)-∞+∞内连续。 证明 设()1011n n n n P x a x a x a x a --=++

++。由极限运算法则知

0(,)x ∀∈-∞+∞，

()()

101110010

100lim (lim )(lim )lim n n n n

x x x x x x x x n n n n P x a x a x a x a a x a x

a x a P x --→→→→--=++

++=++

++=

由0x 的任意性知()P x 在(,)-∞+∞内连续。

例4 证明有理函数()()

()

P x F x Q x =

（P 为m 次多项式，Q 为n 次多项式），在 ()0Q x ≠点处处连续。

证明 0(,)x ∀∈-∞+∞，且()00Q x ≠，有

()()()()()()()

()000

00lim lim lim x x x x x x P x P x P x F x F x Q x Q x Q x →→→====，

所以()F x 在其定义域内处处连续。

例5 求证sin y x =在(,)-∞+∞内连续。

证明 (,)x ∀∈-∞+∞，给x 一个增量()x x x x ∆=+∆-，则

2sin()sin 2sin cos

22

x x x

y x x x ∆+∆∆=+∆-=， 从而000lim lim 2sin cos lim 2cos 02222x x x x x x x y x x ∆→∆→∆→∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫∆=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以sin y x =在x 点连续。由x 的任意性知sin x 在(,)-∞+∞内连续。

例6 证明cos y x =在(,)-∞+∞内连续。 证明 (,)x ∀∈-∞+∞，()x x x x ∆=+∆-，有

cos()cos 2sin sin 22x x y x x x x ∆∆⎛

⎫∆=+∆-=-+ ⎪

⎝⎭

， 所以000lim 2lim sin sin 2lim sin 02222x x x x x x x y x x ∆→∆→∆→∆∆∆∆⎛⎫⎛

⎫∆=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以cos x 在(,)-∞+∞内连续。

二、函数的间断点

与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。 1. 间断点的定义

若()f x 在点0x 处不连续，则称0x 为()f x 的一个间断点。 函数间断的几何解释是()f x 的图形在0x x =处断开。

例7 讨论()2,00,

02,0x x y f x x x x -<⎧⎪

===⎨⎪+>⎩

的间断点。