电动力学习题解答3

第三章 静磁场

1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。

解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =⨯∇得

0//=∂∂-∂∂z A y A y z ；0//=∂∂-∂∂x A z A z x ；0//B y A x A x y =∂∂-∂∂

三个方程组成的方程组有无数多解，如：

○

10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=∆ 则 0)//()/()/()(=∂∂-∂∂+∂∂+∂-∂=∆⨯∇z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场

2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理

求管内外磁感应强度B 。

解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由

⎰⨯=

'43

0dV r r

J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以

⎰⨯=3

04r Id r l B πμ

1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管

内磁场。由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---⨯+-=⨯φφφφφφ

z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--= 取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz

⎰++--=∴2

/3222

0)

'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ⎰⎰⎰+∞

∞

-+∞

∞

-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200

])/'(1[)

/'(2)'('

'4μμφπ

μπ

2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点

)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。

222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x

)'cos(2'222φφρρ--++=a z a

z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ

y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=

z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=⨯

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+-+-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432

203203200

dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπ

μπππe e e B 0=

3. 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。

解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称性可知1H

和2H 均沿θe 方向。由于H 的切向分量连续，所以θe H H H ==21。由此得到

021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。

以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小相等。根

据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)；

()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。

在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I 所以，介质界面上的磁化电流密度为：

()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=⨯-=⨯=μμπμμπθ

总的感应电流：()()()1/1/2/020

-=⋅-=⋅=

⎰⎰μμϕμ

μππ

θθI rd r I d I e e l M ，

电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。 4. 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I 沿z 轴流动，

求磁感应强度和磁化电流分布。

解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作

φπμe B )2/'(r I =

它满足边界条件：0)(12=-⋅B B n 及0)(12==-⨯αH H n 。由此可得介质中：

φπμμμe B H )2/'(/2r I ==

由 M B H -=02/μ得：

在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0

2'-=

r I ，

则： 0

020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ

-=+-=⋅=⎰⎰⎰I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以

r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴）

5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知)2/(2

20ρ--≈z C B B z ，其中

0B 为常量。试求该处的ρB 。