高中数学专题讲义-直线与抛物线

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：

①22

221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22

221(0)y x a b a b

+=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>研究）：

⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；

⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；

⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段

12B B ．

⑸椭圆的离心率：c

e a

=

，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；

反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．

M

y=-b y=b x=-a

x=a

B 2

B 1

A 2

A 1c b a

F 2

F 1

O y x

4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位

板块三.直线与抛物线

置关系的判定条件可归纳为：

设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0

()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩

，

消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．

若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．

若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．

因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．

求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；

另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()

x y x y ，，，，则弦长公式为2

2

12121||11AB k x x y y k ⎛⎫

=+-=+- ⎪⎝⎭

．

两根差公式：

如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，

则2

22

1212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫

-=+-=--⋅==

⎪⎝⎭

（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：

①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．

②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．

【例1】 已知抛物线C 的方程为21

2

x y =，过点(0,1)A -和点(,3)B t 的直线与抛物线C

没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．22,,2⎛

⎛⎫

-∞-

+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

C ．(,22)(22,)-∞-+∞

D ．(,2)(2,)-∞+∞

【例2】 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且

PA AB =，则称点P 为“

点”，那么下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“

点”

典例分析

C ．直线l 上的所有点都不是“

点”

D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“

点”

AB CD ⋅的值

D ．2p

【例4】 斜率为2的直线与圆锥曲线交于1122()()A x y B x y ，，，两点，若弦长AB =，

则12y y -= _

【例5】 抛物线21y x mx =++与直线0x y +=有两个不同的交点，则实数m 的范围是

_____________．

【例6】 若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标

是2，则AB =______．

【例7】 已知抛物线24y x =的一条弦AB ，()11A x y ，，()22B x y ，，AB 所在的直线与y

轴交于点()02，，则

12

11y y += ．

【例8】 过点(24)，作直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有_______条