微积分及其在经济学中的应用
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Ｃ（ｑ）＝Ｆ＋Ｖ（ｑ）·ｑ 其中 Ｆ＞０ 为固定成本，通常认为与产量无关，为常数；Ｖ （ｑ）·ｑ 为可变成本，Ｖ（ｑ）是常值函数或常数，表示在生产 ｑ 件 产品的情况下，每生产一件产品的可变成本．设总收益为 Ｅ
－６－
（ｑ）＝ｐ（ｑ）·ｑ，其中 ｐ（ｑ）为价格函数，表示在生产 ｑ 件产品的情
况下，每件产品的销售价格．
微积分主要解决两类问题，即变化率问题（微分问题）
和积累问题（积分问题）．解决变化率问题的思想是，考察在
某个点附近的小范围内，近似的以“不变代变”、“以静代
动”，求得平均变化率．该平均变化率近似等于该点处的瞬时
变化率．再将小范围无限缩小而趋向于零，促使“近似”转化
为“精确”，从而求得函数在指定点处的变化率．
采用不定积分；如果要求总函数在某个范围的该变量，则采
用定积分来求解．由于边际收益、边际成本、边际利润在产出
量 ｑ 的变动区间［α，β］上的增量等于它们各自边际在区间［α，
β］上的定积分［５］，于是有：
乙β
△Ｅ＝Ｅ（β）－Ｅ（α）＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｐ α
乙β
△Ｃ＝Ｃ（β）－Ｃ（α）＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｐ α
ｆ（ｘ＋△ｘ）－ｆ（ｘ） △ｘ
ｆ＇（ｘ）称为函数 ｆ（ｘ）的边际函数，表示因变量关于自变量
的变化率，即经济变量的变化率．ｆ＇（ｘ）在 ｘ０ 点处的函数值 ｆ＇（ｘ０） 称为边际函数值，表示经济变量 ｘ 在 ｘ＝ｘ０ 条件下改变一个 单位，经济函数值改变 ｆ＇（ｘ０）个单位．因此，总成本函数的微分 即为边际成本、总利润函数的微分就是边际利润，等等［４］．
下面以边际成本为例，分析微分在边际问题中的应用． 设某企业生产某种产品，其产量为 ｑ，生产总成本为 Ｃ， Ｃ 是关于 ｑ 的函数，且函数关系式为：Ｃ（ｑ）＝０．０２ｑ３＋３ｑ＋２００， 那么边际函数为：Ｃ＇（ｑ）＝０．０６ｑ２＋３． 现假设产量为 １００，那么此时边际成本为：Ｃ＇（１００）＝０． ０６×１００２＋３＝６０３，其经济意义表示当产量达到 １００ 时，若再 增加一个单位的产量，总成本将会增加 ６０３，如果令产品的 单位为 ｐ，当 ｐ＞６０３ 时，此时扩大生产将会盈利；当 ｐ＜６０３ 时，扩大生产将会导致亏损． ２．２ 微分在最值问题中的应用 在自然科学、生产技术领域中，往往需要考虑如何在消 耗最小的情况下，使得收益达到最大化的问题，在经济生产 中，为了提高经济效益，这种关于优化的最值问题也是十分 重要的． 例如利润是衡量一个企业经济效益的重要因素，那 么如何实现投入成本最低，而使得利润达到最大呢？这节将 讨论在经济活动中的最值问题． 定理 设函数 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点的某一邻域中有定义，ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点连续且可导，若 ｆ＇（ｘ０）＝０，且 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点二阶可导，那么有： 若 ｆ＂（ｘ０）＜０，则 ｘ０ 是 ｆ（ｘ）的极大值点． 对产品从生产到销售的过程进行核算时，都会涉及到 成本、收益和利润的问题．设产量为 ｑ，则总成本为 Ｃ 通常为 ｑ 的函数，一般表示为：
由 Ｃ（０）＝１，代入上式得 Ｃ＝１，故总收益函数为 Ｃ（ｑ）＝０．３ｑ２＋１０ｑ＋１
由边际效益可得总效益函数：
乙 乙 Ｅ（ｑ）＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｑ＝ （３０－０．２ｑ）ｄｑ＝３０ｑ－０．１ｑ２＋Ｃ
由 Ｅ（０）＝０，代入上式得 Ｃ＝０，故总收益函数为 Ｅ（ｑ）＝３０ｑ－０．１ｑ２
综上，总利润函数为： Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）＝－０．４ｑ２＋２０ｘ－１， 乙乙＞０，当 ０＜ｑ＜２５
ｑ０＝
α－ｖ ２β
（α－ｖ＞０ 保证企业盈利）．
3 积分在边值问题中的应用
在前面的讨论中，我们采用微分的方法求解由总函数
求边值函数的问题．正如数学的角度一样，微分和积分是一
对互逆的运算．本节我们将讨论用积分法求解由边值函数求
解总函数的问题．
在经济问题中，通常会遇到对已知导数求原函数的问
题，即求解常微分方程的问题．由边值函数求解总函数一般
第 30 卷 第 12 期（下） 2014 年 12 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ３０ Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ． ２０１４
微积分及其在经济学中的应用
沈奇
（黑河学院 数学系， 黑龙江 黑河 164300）
积分问题的基本思想是，先将整体化为有限个微小的
局部，在每个局部“以直代曲”、“以不变代变”，再积零为整
求和式，得到整体的近似值，最后，再使每一局部无限变小，
通过求和式极限，促使“近似”转化为“精确”，从而得到积累
问题的准确值［１，２，３］．
微积分的产生、发展与实际问题紧密相连，其思想为函
数类型的判断、极值问题等提供了理论依据，并且在航海、
解 （１）产量由 １００ 增加到 ５００ 时总成本与总收益的
增加量分别为：
乙 乙 １０
１０
△Ｃ＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｐ＝ （０．６ｑ＋１０）ｄｑ＝７２．５
５
５
乙 乙 １０
１０
△Ｅ＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｐ＝ （３０－０．２ｑ）ｄｑ＝１３５
５
５
（２）由边际成本函数可得总成本函数：
乙 乙 Ｃ（ｑ）＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｑ＝ （０．６ｑ＋２０）ｄｑ＝０．３ｑ２＋１０ｑ＋Ｃ
乙β
△Ｐ＝Ｐ（β）－Ｐ（α）＝ Ｐ＇（ｑ）ｄｐ α
例 设 某 产 品 的 边 际 成 本 和 边 际 收 益 为 ：Ｃ＇ （ｑ）＝０．
６ｑ＋１０，Ｅ＇（ｑ）＝３０－０．２ｑ
（１）产量由 ５ 增加到 １０ 时，总成本和总收益增加多少？
（２）已知固定成本为 １ 万元，产量为多少时总利润最
大，此时总利润、总成本和总收为多少？
社 ，2004. 〔2〕马 国 良 .微 积 分 发 展 浅 议 [J].云 南 财 经 学 院 学 报 ，2000. 〔3〕 李 万 军 . 微 积 分 思 想 及 其 认 识 [J]. 周 口 师 范 学 院 学 报 ，
2008. 〔4〕吴元芬.论 微 积 分 在 经 济 分 析 中 的 应 用[J].数 学 学 习 与 研
天文学、物理学和经济学等领域得到了广泛地应用．
2 微分在经济学中的应用
２．１ 微分在边际问题中的应用
边际问题是经济学研究的重要问题之一，比如边际成
本、边际收入、边际利润等，在经济学角度看来都是十分重
要的问题．
现假设经济函数 ｙ＝ｆ（ｘ），并且在定义域内是可微的，那
么有：
ｙ＇＝ｆ＇（ｘ）＝
△ｙ △ｘ
＝
究 ，2010(15). 〔5〕谭 瑞 林 ，刘 月 芬.微 积 分 在 经 济 分 析 中 的 应 用 浅 析[J].商
场 现 代 化 ，2008.
－７－
乙
又由 Ｐ＇（ｑ）＝－０．８ｑ＋２０ 乙乙乙＝０，当 ｑ＝２５ 乙 乙 乙乙乙＜０，当 ｑ＞２５
可知，ｑ＝２５ 时，总利润最大．此时，总利润、总成本和总 收益分别为：
Ｐ（２５）＝２４９，Ｃ（２５）＝４３８．５，Ｆ（２５）＝６８７．５ 4 总结
在上述的讨论中，本文只对微积分在经济研究中的部 分应用进行了相应的分析，而且，在经济领域中的很多类似 的定量分析问题均可采用微积分的方法进行求解，微积分 在经济研究中具有重要的作用．不仅如此，数学思想在经济 学领域的应用，也使得金融数学学科得到了快速发展．利用 数学思想对某些抽象的经济问题进行分析，可使问题简单 化，易于理解．因此，将数学求解问题的方法应用到经济领域 具有重要的意义． —— ——— — — ———— ————— ——— 参考文献： 〔1〕陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].北 京 ：高 等 教 育 出 版
由 １ 中讨论可知 Ｃ＼（ｑ）、Ｅ＇（ｑ）分别为边际成本和边际收
益，其经济学意义分别表示：在生产（销售）ｑ 件产品的情况
下，再生产（销售）一件产品的成本（收入）．
令总利润函数为 Ｐ（ｑ），那么有：
Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）
当 Ｃ（ｑ）和 Ｅ（ｑ）的二阶导数存在时，要使得利润达到最
大，由上述定理可知，应满足以下条件：
；Ｐ＇（ｑ）＝Ｅ＇（ｑ）－Ｃ＇（ｑ）＝０
Ｐ＂（ｑ）＝Ｅ＂（ｑ）－Ｃ＂（ｑ）＜０
例 某产品的价格 ｐ（ｑ）＝α－βｑ（α，β＞０，ｑ＜α／β），成本 Ｃ（ｑ）
＝Ｆ＋ｖｑ（Ｆ，ｖ 为常数），那么利润 Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）＝－βｑ２＋（α－ｖ）ｑ－ｆ，
要使利润最大，即
Ｐ＇（ｑ０）＝０
且
Ｐ＂（ｑ０）＜０，则可得产量
摘 要：微积分的产生是数学发展史上一个重要的里程碑，在近代数学的发展中起到了重要的作用.微积分方法目前已 被应用于各个学科领域.本文对微积分进行了简单的介绍，并对微积分在经济领域的边值问题、最值问题进行了相应的分析， 给出了微分学和积分学在经济领域的应用实例.
关键词：微 积 分 ；边 值 问 题 ；最 值 问 题 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１４）１２－０００６－０２ DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2014.24.002
1 微积分的产生及思想
“微积分”由微分学和积分学两部分组成，自 １７ 世纪以
来，通过科学家们对不同领域的课题进行研究，使得微积分
应运而生．微积分的产生通常可分为三个阶段：极限概念的
产生；求积的无限小法（分割、求和、取极限）；积分和微分的
Hale Waihona Puke Baidu
互逆关． 微积分的产生和发展构成了近代数学的主要内容，
对数学的发展具有重要的意义．
－６－
（ｑ）＝ｐ（ｑ）·ｑ，其中 ｐ（ｑ）为价格函数，表示在生产 ｑ 件产品的情
况下，每件产品的销售价格．
微积分主要解决两类问题，即变化率问题（微分问题）
和积累问题（积分问题）．解决变化率问题的思想是，考察在
某个点附近的小范围内，近似的以“不变代变”、“以静代
动”，求得平均变化率．该平均变化率近似等于该点处的瞬时
变化率．再将小范围无限缩小而趋向于零，促使“近似”转化
为“精确”，从而求得函数在指定点处的变化率．
采用不定积分；如果要求总函数在某个范围的该变量，则采
用定积分来求解．由于边际收益、边际成本、边际利润在产出
量 ｑ 的变动区间［α，β］上的增量等于它们各自边际在区间［α，
β］上的定积分［５］，于是有：
乙β
△Ｅ＝Ｅ（β）－Ｅ（α）＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｐ α
乙β
△Ｃ＝Ｃ（β）－Ｃ（α）＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｐ α
ｆ（ｘ＋△ｘ）－ｆ（ｘ） △ｘ
ｆ＇（ｘ）称为函数 ｆ（ｘ）的边际函数，表示因变量关于自变量
的变化率，即经济变量的变化率．ｆ＇（ｘ）在 ｘ０ 点处的函数值 ｆ＇（ｘ０） 称为边际函数值，表示经济变量 ｘ 在 ｘ＝ｘ０ 条件下改变一个 单位，经济函数值改变 ｆ＇（ｘ０）个单位．因此，总成本函数的微分 即为边际成本、总利润函数的微分就是边际利润，等等［４］．
下面以边际成本为例，分析微分在边际问题中的应用． 设某企业生产某种产品，其产量为 ｑ，生产总成本为 Ｃ， Ｃ 是关于 ｑ 的函数，且函数关系式为：Ｃ（ｑ）＝０．０２ｑ３＋３ｑ＋２００， 那么边际函数为：Ｃ＇（ｑ）＝０．０６ｑ２＋３． 现假设产量为 １００，那么此时边际成本为：Ｃ＇（１００）＝０． ０６×１００２＋３＝６０３，其经济意义表示当产量达到 １００ 时，若再 增加一个单位的产量，总成本将会增加 ６０３，如果令产品的 单位为 ｐ，当 ｐ＞６０３ 时，此时扩大生产将会盈利；当 ｐ＜６０３ 时，扩大生产将会导致亏损． ２．２ 微分在最值问题中的应用 在自然科学、生产技术领域中，往往需要考虑如何在消 耗最小的情况下，使得收益达到最大化的问题，在经济生产 中，为了提高经济效益，这种关于优化的最值问题也是十分 重要的． 例如利润是衡量一个企业经济效益的重要因素，那 么如何实现投入成本最低，而使得利润达到最大呢？这节将 讨论在经济活动中的最值问题． 定理 设函数 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点的某一邻域中有定义，ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点连续且可导，若 ｆ＇（ｘ０）＝０，且 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点二阶可导，那么有： 若 ｆ＂（ｘ０）＜０，则 ｘ０ 是 ｆ（ｘ）的极大值点． 对产品从生产到销售的过程进行核算时，都会涉及到 成本、收益和利润的问题．设产量为 ｑ，则总成本为 Ｃ 通常为 ｑ 的函数，一般表示为：
由 Ｃ（０）＝１，代入上式得 Ｃ＝１，故总收益函数为 Ｃ（ｑ）＝０．３ｑ２＋１０ｑ＋１
由边际效益可得总效益函数：
乙 乙 Ｅ（ｑ）＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｑ＝ （３０－０．２ｑ）ｄｑ＝３０ｑ－０．１ｑ２＋Ｃ
由 Ｅ（０）＝０，代入上式得 Ｃ＝０，故总收益函数为 Ｅ（ｑ）＝３０ｑ－０．１ｑ２
综上，总利润函数为： Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）＝－０．４ｑ２＋２０ｘ－１， 乙乙＞０，当 ０＜ｑ＜２５
ｑ０＝
α－ｖ ２β
（α－ｖ＞０ 保证企业盈利）．
3 积分在边值问题中的应用
在前面的讨论中，我们采用微分的方法求解由总函数
求边值函数的问题．正如数学的角度一样，微分和积分是一
对互逆的运算．本节我们将讨论用积分法求解由边值函数求
解总函数的问题．
在经济问题中，通常会遇到对已知导数求原函数的问
题，即求解常微分方程的问题．由边值函数求解总函数一般
第 30 卷 第 12 期（下） 2014 年 12 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ３０ Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ． ２０１４
微积分及其在经济学中的应用
沈奇
（黑河学院 数学系， 黑龙江 黑河 164300）
积分问题的基本思想是，先将整体化为有限个微小的
局部，在每个局部“以直代曲”、“以不变代变”，再积零为整
求和式，得到整体的近似值，最后，再使每一局部无限变小，
通过求和式极限，促使“近似”转化为“精确”，从而得到积累
问题的准确值［１，２，３］．
微积分的产生、发展与实际问题紧密相连，其思想为函
数类型的判断、极值问题等提供了理论依据，并且在航海、
解 （１）产量由 １００ 增加到 ５００ 时总成本与总收益的
增加量分别为：
乙 乙 １０
１０
△Ｃ＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｐ＝ （０．６ｑ＋１０）ｄｑ＝７２．５
５
５
乙 乙 １０
１０
△Ｅ＝ Ｅ＇（ｑ）ｄｐ＝ （３０－０．２ｑ）ｄｑ＝１３５
５
５
（２）由边际成本函数可得总成本函数：
乙 乙 Ｃ（ｑ）＝ Ｃ＇（ｑ）ｄｑ＝ （０．６ｑ＋２０）ｄｑ＝０．３ｑ２＋１０ｑ＋Ｃ
乙β
△Ｐ＝Ｐ（β）－Ｐ（α）＝ Ｐ＇（ｑ）ｄｐ α
例 设 某 产 品 的 边 际 成 本 和 边 际 收 益 为 ：Ｃ＇ （ｑ）＝０．
６ｑ＋１０，Ｅ＇（ｑ）＝３０－０．２ｑ
（１）产量由 ５ 增加到 １０ 时，总成本和总收益增加多少？
（２）已知固定成本为 １ 万元，产量为多少时总利润最
大，此时总利润、总成本和总收为多少？
社 ，2004. 〔2〕马 国 良 .微 积 分 发 展 浅 议 [J].云 南 财 经 学 院 学 报 ，2000. 〔3〕 李 万 军 . 微 积 分 思 想 及 其 认 识 [J]. 周 口 师 范 学 院 学 报 ，
2008. 〔4〕吴元芬.论 微 积 分 在 经 济 分 析 中 的 应 用[J].数 学 学 习 与 研
天文学、物理学和经济学等领域得到了广泛地应用．
2 微分在经济学中的应用
２．１ 微分在边际问题中的应用
边际问题是经济学研究的重要问题之一，比如边际成
本、边际收入、边际利润等，在经济学角度看来都是十分重
要的问题．
现假设经济函数 ｙ＝ｆ（ｘ），并且在定义域内是可微的，那
么有：
ｙ＇＝ｆ＇（ｘ）＝
△ｙ △ｘ
＝
究 ，2010(15). 〔5〕谭 瑞 林 ，刘 月 芬.微 积 分 在 经 济 分 析 中 的 应 用 浅 析[J].商
场 现 代 化 ，2008.
－７－
乙
又由 Ｐ＇（ｑ）＝－０．８ｑ＋２０ 乙乙乙＝０，当 ｑ＝２５ 乙 乙 乙乙乙＜０，当 ｑ＞２５
可知，ｑ＝２５ 时，总利润最大．此时，总利润、总成本和总 收益分别为：
Ｐ（２５）＝２４９，Ｃ（２５）＝４３８．５，Ｆ（２５）＝６８７．５ 4 总结
在上述的讨论中，本文只对微积分在经济研究中的部 分应用进行了相应的分析，而且，在经济领域中的很多类似 的定量分析问题均可采用微积分的方法进行求解，微积分 在经济研究中具有重要的作用．不仅如此，数学思想在经济 学领域的应用，也使得金融数学学科得到了快速发展．利用 数学思想对某些抽象的经济问题进行分析，可使问题简单 化，易于理解．因此，将数学求解问题的方法应用到经济领域 具有重要的意义． —— ——— — — ———— ————— ——— 参考文献： 〔1〕陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].北 京 ：高 等 教 育 出 版
由 １ 中讨论可知 Ｃ＼（ｑ）、Ｅ＇（ｑ）分别为边际成本和边际收
益，其经济学意义分别表示：在生产（销售）ｑ 件产品的情况
下，再生产（销售）一件产品的成本（收入）．
令总利润函数为 Ｐ（ｑ），那么有：
Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）
当 Ｃ（ｑ）和 Ｅ（ｑ）的二阶导数存在时，要使得利润达到最
大，由上述定理可知，应满足以下条件：
；Ｐ＇（ｑ）＝Ｅ＇（ｑ）－Ｃ＇（ｑ）＝０
Ｐ＂（ｑ）＝Ｅ＂（ｑ）－Ｃ＂（ｑ）＜０
例 某产品的价格 ｐ（ｑ）＝α－βｑ（α，β＞０，ｑ＜α／β），成本 Ｃ（ｑ）
＝Ｆ＋ｖｑ（Ｆ，ｖ 为常数），那么利润 Ｐ（ｑ）＝Ｅ（ｑ）－Ｃ（ｑ）＝－βｑ２＋（α－ｖ）ｑ－ｆ，
要使利润最大，即
Ｐ＇（ｑ０）＝０
且
Ｐ＂（ｑ０）＜０，则可得产量
摘 要：微积分的产生是数学发展史上一个重要的里程碑，在近代数学的发展中起到了重要的作用.微积分方法目前已 被应用于各个学科领域.本文对微积分进行了简单的介绍，并对微积分在经济领域的边值问题、最值问题进行了相应的分析， 给出了微分学和积分学在经济领域的应用实例.
关键词：微 积 分 ；边 值 问 题 ；最 值 问 题 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１４）１２－０００６－０２ DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2014.24.002
1 微积分的产生及思想
“微积分”由微分学和积分学两部分组成，自 １７ 世纪以
来，通过科学家们对不同领域的课题进行研究，使得微积分
应运而生．微积分的产生通常可分为三个阶段：极限概念的
产生；求积的无限小法（分割、求和、取极限）；积分和微分的
Hale Waihona Puke Baidu
互逆关． 微积分的产生和发展构成了近代数学的主要内容，
对数学的发展具有重要的意义．