《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C

0)(=⎰

C

dz z f .

( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

1、 =-⎰=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

11

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n

n nz

∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ

=∞

→n n z lim ，则=

+++∞→n z z z n

n (i)

21______________.

8.=

)0,(Re n z

z e s ________，其中n 为自然数.

9. z

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___

)(lim 0

=→z f z z .

三.计算题（40分）：

1. 设

)2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

2. .cos 1

1||⎰=z dz z

3. 设⎰-++=C d z z f λ

λλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

11

+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

为常数. 2. 试证

: ()f z =

在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

《复变函数》考试试题（一）参考答案

一． 判断题

1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 21

01i n n π=⎧⎨

≠⎩

； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1

6. 整函数；

7. ξ；

8. 1

(1)!

n -； 9. 0； 10. ∞.

三．计算题.

1. 解 因为01,z << 所以01z <<

111()(1)(2)12(1)2

f z z z z z ==-

----0

01()22n

n n n z z ∞

∞===-∑∑.

2. 解 因为

2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z π

ππ

π

→

→=

+

===--, 2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z

π

ππ

π

→-

→-=-

-

===-. 所以

22

2

1

2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=

=+=⎰. 3. 解 令2

()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()

()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ=

=-⎰.

所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222

122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b

w z z a b a b a b -+-+=

=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(

)11(1)z a z a b -+=-+++, 22

12Im()1(1)z b

z a b -=+++. 四. 证明题.

1. 证明 设在D 内()f z C =.

令2

2

2

2

(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)

0(2)x x y

y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩

因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

00

x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨

-=⎩. 消去x u 得, 22

()0x u v v +=. 1) 若2

2

0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).