离心率的求解方法

一、离心率的求解方法知识储备：

（1）

22

2

22

1

c b

e

a a

==-（2）222

a b c

=+

方法一：建立关于,,

a b c的齐次方程求离心率

1.已知椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则椭圆的离心力_____

e=.

变式：已知椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等比数列，则椭圆的离心力_____

e=.

2.设椭圆

22

22

:1

x y

C

a b

+=的左焦点F到过顶点(,0)

A a

-与(0,)

B b的直线的距离为

7

b

，则

椭圆的离心率为_______.方法二：利用定义求离心率

1.过椭圆

22

22

:1

x y

C

a b

+=的左焦点

1

F作x轴的垂线交椭圆于点P，

2

F为右焦点，若0

1260

F PF

∠=，则椭圆的离心率为__________.

2.过椭圆

22

22

:1

x y

C

a b

+=的左焦点

1

F作x轴的垂线交椭圆于点P，

2

F为右焦点,若

12

F PF

∆

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________.

3.分别过椭圆

22

22

:1

x y

C

a b

+=的左焦点

1

F，右焦点

2

F作x轴的垂线交椭圆于点P，Q与

,

M N，若四边形PQMN为正方形，则椭圆的离心率为__________.

4.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为_________

小结：将图形中的线段基本量化，利用定义建立关于,,

a b c的齐次方程求离心率.

方法三：利用标准方程求离心率

1.椭圆22

22:1x y C a b

+=的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆的一个交点横坐标为c ，则椭圆

的离心率为________.

2.设椭圆22

22:1x y C a b

+=的右焦点为F ,下顶点为A ，连接AF 交椭圆于点B ，若

2AF FB =，则椭圆的离心率为__________.

3.椭圆

的右顶点为，是椭圆上一点，为坐标原点．已知，且

，则椭圆的离心率为

小结：将点基本量化代入标准方程求离心率.

课后练习：

122121.,,221A.

B. C. 2 2 D. 2122

F F F P F PF ∆设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－

2.已知点12,A A 为双曲线

的左右顶点，点P 在双曲线C 的右支上，

且满足0

12212,120A A PA A A P =∠=，则双曲线的离心率为_________. 3.已知点为双曲线

的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，

且满足

，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4.如图，椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q

两点，且1PQ PF ⊥

（1）若1222,22PF PF =+=-，求椭圆的标准方程

（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率

.e

问题四、与离心率有关的综合问题

答案：A

答案：C

变式：倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，

且

，则该椭圆的离心率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

F F P

Q

y

x

O

答案：A

二、离心率的取值范围

1、利用最大顶角性质求离心率取值范围

答案：

2

,1 2

⎡⎫

⎪⎢⎪⎣⎭

答案：

6 3

2.利用焦半径的取值范围求离心率的取值范围答案：D

答案：

(

)

21,1-

答案：(

)1,12+

3.椭圆上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝，

，

，则椭圆的离心率的取值范围为_______．

3.利用渐近线求离心率取值范围

答案：C

答案：)

5,⎡+∞⎣

答案：5)