高考数学难点突破__数列综合应用问题

难点14 数列综合应用问题

纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.

●难点磁场

(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =2

2

+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.

(1)求y =f (x )的表达式；

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式,n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2,圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列,记S n 为前n 个圆的面积之和,求r n 、S n .

●案例探究

［例1］从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游

产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少5

1

,本年度当地旅游业收入

估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

1. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；

(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和,易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1－5

1

)万元,…第n 年投入为800×

(1－5

1)n －

1万元,所以,n 年内的总投入为

a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑

=n k 1

800×(1－51)k －

1

=4000×［1－(

5

4)n ］

第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+4

1

),…,第n 年旅游业收入400×(1+

4

1)n －1

万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑

=n k 1

400×(45)k －

1.

=1600×［(

4

5)n

－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b n －a n ＞0,即：

1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0,令x =(54

)n ,代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解

此不等式,得x ＜52,或x ＞1(舍去).即(54)n ＜5

2

,由此得n ≥5.

∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

［例2］已知S n =1+3121++…+n

1

,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围,

使得对于一切大于1的自然数n ,不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－20

11

［log (m －1)m ］2恒成立.

命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.

错解分析：本题学生很容易求f (n )的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.

技巧与方法：解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数,此时不等式的恒成立就

转化为：函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－20

11

［log (m －1)m ］2.

解：∵S n =1+3121++…+n

1

.(n ∈N *)

0)4

21321()421221(4

22

32122121321221)()1(121

3121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=

-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又

∴f (n +1)＞f (n )

∴f (n )是关于n 的增函数

∴f (n ) min =f (2)=

20

9

321221=

+++ ∴要使一切大于1的自然数n ,不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－20

11

［log (m －1)m ］2恒成立

只要209＞［log m (m －1)］2－20

11［log (m －1)m ］2成立即可