北师大版高中数学必修5第一篇数列数列的应用

北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
阜阳市汇文中学：杨奎制作
1
数列的应用
与数列有关的应用题大致有三类： 一是有关等差数列的应用题； 二是有关等比数列的应用题； 三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.
2
数列的应用
解决有关数列的应用题与解决其它应用题 相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画 图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的 关系，便于确定模型的类型（等差或等比）； 弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇 到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.
(a 5x) 5xa(5)2 x(15)
44
4
wk.baidu.com
4
第三年末木材存有量为：
[a (5)2 x(1 5)] 5 x a(5)3x[15(5)2]
4
44
4
44
9
第20年末木材存有量为
a(5)20x[1(5)1(5)2 (5)19]
4
44
4
a
(5)20 4
1[1(5)20]
x
4 1 5
a(5)204x(5)204x
4
时间
经过1个20分钟 经过2个20分钟 经过3个20分钟 …… 经过3小时
细菌个数
2=21 4=22 8=23 …… 29 =512
5
例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地 上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时； 但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工 作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时间 是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上 的小麦需用多少时间？
24n ①
a1 24n
a2 24n
an 24n
1.
②
由②得，a1+a2+…+an=24n, 即 n (a 12 a n)2n ,4 也a 就 1a n 是 4.8 ③
7
由①、③联立方程组得， a1 5an a1 an 48. 解之得，a1=40，an=8. 答：用这种方法收割完这片土地上的全部小 麦需用40小时.
（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后…… 一年后顾客欠商场本利和 .
（2）余额也采用分期付款的方法， 要求每期付款数额相同，购买后 第1个月月底第1次付款，再过1 个月第2次付款……购买后一年第 12次付清.那么每期应付款多少元？
11
（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后…… 一年后顾客欠商场本利和 . [解] 1个月后欠商场本利和：1+1×1%=1×(1+1%)=1.01 万元, 2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元, 3个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元,
8
例3.某林场原有木材量为a，木材以每年
25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐
的木材量为x，为了实现经过20年达到木
材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大
值.（设1.2520=86.74）
[解][分第 析]一 木材年 的增末 长率木 是一材 a个(1等存 2比5% 数有 列)的x量 问a题为 5，x
翻翻第几2a二 翻，年 问翻题两末也翻木是4材 a等，存 比依数有 次列量 类问推为题. ，原来a，翻4 一
[分析]依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成 一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间 等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.
6
解：设从每一台工作起，这n台收割机工作
的时间依次为a1，a2， … an小时，
依题意，{an}是一个等差数列，
且每台收割机率 的为 工1作 ，效 则有
a1 5an
13
思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.
[解法1] 设每月付款x元， 1个月后欠 1·（1+1%）-x=1.01-x 2个月后欠 （1.01-x） · 1.01-x=1.012-1.01x-x
3个月后欠（1.012-1.01x-x） · 1.01-x =1.013-1.012x-1.01x-x
3
例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过 程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经 过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 [分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟， 40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22， 23，… .这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时， 这种细菌的个数为a10=1·210-1=29=512.故本题应选 B[说. 明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题分 析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的 考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出 29 的结果.
…… 一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元.
12
（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款 数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1 个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每 期应付款多少元？ 主要思路： 思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. 思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑. 思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.
4
4
依题(5意 )208
4 6.74且
4
86.74a486.74x4x4a
解之 x得 0.2a 4
答：每年的砍伐量值 最为 大0.24a.
10
例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑， 采用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元， 余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每 月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金)
…… 12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x
14
由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0
得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112
即 x1(11.0112)1.0112 11.01
1.0112 0.011.1 30.01
x
0.087
1.0112 1 0.13
答：每月还870元.
15
思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.
[解法2] 商品购买1年后货款全部付清时 货款增值为1×1.0112万元.
设每期付款额为x万元 第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元， 第11期付款x万元,经过1个月增值为x·1.01万元， 第10期付款x万元,经过2月增值为x·1.012万元， …… 第1期付款x万元,经过11月增值为x·1.0111万元.