基本的导数和积分公式
导数、积分公式大全
积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e'= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xa d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
基本微积分公式
基本微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和极限概念。
微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式导数是微积分中最基本的概念之一，它表示函数在某一点处的变化率。
导数公式包括以下几种：1. 常数函数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数，即f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数为其自身的常数倍，即f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数为其自变量的倒数，即f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数为其导数的负数，即f(x)=sinx，则f'(x)=cosx；f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx；f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。
积分公式积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在某一区间内的面积或体积。
积分公式包括以下几种：1. 常数函数的积分为其自身乘以积分区间的长度，即∫c dx=cx。
2. 幂函数的积分为其指数加1后除以指数加1的常数倍，即∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)。
3. 指数函数的积分为其自身除以自然对数的常数倍，即∫a^x dx=a^x/lna。
4. 对数函数的积分为其自变量的对数乘以积分区间的长度，即∫lnx dx=xlnx-x。
5. 三角函数的积分为其导数的相反数，即∫sinx dx=-cosx；∫cosx dx=sinx；∫tanx dx=-ln|cosx|。
总结微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式用于求函数在某一点处的变化率，积分公式用于求函数在某一区间内的面积或体积。
掌握微积分公式对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是一门研究函数的变化率与积分的数学学科。
在学习微积分时，我们会使用一些重要的公式来计算和推导出函数的性质。
下面是16个常用的微积分公式：1.导数的定义：设函数f(x)在x点有定义，则f(x)在x点可导，当且仅当下式极限存在：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示f(x)的导数。
2.基本导数公式：a.(k)'=0，其中k是常数。
b. (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
c. (sin x)' = cos x。
d. (cos x)' = -sin x。
e.(e^x)'=e^x。
f. (ln x)' = 1/x。
3.导数的四则运算法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则有：a.(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
b.(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
c.(k*f(x))'=k*f'(x)，其中k是常数。
d.(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
e.(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
4.链式法则：如果有复合函数F(g(x))，其中F(u)和g(x)都是可导函数，则有：(F(g(x)))'=F'(g(x))*g'(x)。
5.反函数的导数：如果函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x，并且g(x)在一些点可导且不为0，则有：(f^-1(x))'=1/g'(f^-1(x))。
6.高阶导数：函数f(x)的n阶导数，记作f^(n)(x)，可通过对其一阶导数进行n次求导得到。
常用的求导和定积分公式完美)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log =' (12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15) 21(arctan )1x x '=+ (16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)(（2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x=+⎰ （4）2tan 1dx arl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰（7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x=+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰ （10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰（12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a =+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰（15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan x dx arc C a x a a=++⎰（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sin x arc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰（23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
.基本初等函数求导公式(1)(C) =0(2) （X ，）-七心⑶ (sin x) = cosx(4)(cosx) - -sinx (5)(tan x)二 sec x(6)(cot x)二- csc 2x⑺(secx) = secxtan x (8) (cscx) = - cscx cot x(9)(a xf-a xln a(10)(e x)—函数的和、差、积、商的求导法则= u （x ），v=v （x ）都可导，则反函数求导法则若函数x= Uy ）在某区间Iy 内可导、单调且（y^"0，则它的反函数y = f （x ）在对应区间Ix内也可导，且(11)DU(12)(ln x)二丄x ， (13) (arcsin x)，=( 1-x 2(14)(arccosx)" =1 - x(15)(arctan x)1 +x(arccot x)=(16)1 1 x 2(1)（U 士 V ）= u 士 V(2)（Cu ）'C 「（ C 是常数）(3)(uv) = u v uv(4)v 2少丄 dx 一 dxdy复合函数求导法则设y= f (u)，而U v (x)且f (u)及(x)都可导，则复合函数 y = f ［「(x)］的导数为、基本积分表(1)kdx=kx ・c ( k 是常数)(2)x'dx 二+ C, (u 」1)."1 1(3) dx = I n | x | C • x dx(4)= arl tan x C ‘1 +x 2(6) cosxdx =s in x C (7) sin xdx = -cosx C1(8) 厂dx = ta n x C ' cos x1(9) 厂 dx = - cot x C ' sin x(10)secxtanxdx^secx Cf (X )二 dy dy_du dx du dx 或 y\f (U)L (x)(5)(11) cscxcot xdx = - cscx C (12)e xdx =e xCx(13) a x dx— C , (a 0,且 a 厂1) In a(14) shxdx 二 chx C (15)chxdx = shx C1 x=—arc tan — C a a1 1 x —a(17)二 ------ 2 dx ln || C x -a 2a x+axdx 二 arc sin — C■ a 2-x 2a(19) J , 1 dx = ln(x + Ja 2 +x 2) + C ，Ja 2 +x 2 (20) J —dx = ln | x + J x 2 _a 2 | +C$ !2 2 1 1.x -a(21) tanxdx 二-ln |cosx | C (22) cotxdx=ln |sinx | C (23) secxdx = l n |secx tanx| C (24) cscxdx = l n|cscx-cotx| C注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()xxe′=ea ⑽() ⑾()ln xxaa′=1ln x x′=⑿()1log ln xa x a′= ⒀()arcsin x ′= ⒁()arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x ′=−+⒄()1x ′=⒅′=二、导数的四则运算法则()u v u v ′′±=±′′ () uv u v uv ′′=+2u u v u v v ′v ′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦n （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()(n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦) （4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x a a =n a(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎞+=++⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠⋅ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b −⋅−+=−⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d x x dx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x ⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x⑺ ⑻()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅x ⑼ ⑽ ⑾()xxd ee dx =()ln xxd a aadx =()1ln d x dx x=⑿()1logln x a d dx x a =() ⒀arcsin =d x ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=−+ 六、微分运算法则⑴ ⑵()d u v du dv ±=±()d cu cdu = ⑶ ⑷()d uv vdu udv =+2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠七、基本积分公式⑴ ⑵kdx kx c =+∫11x x dx c μμμ+=++∫ ⑶ln dxx c x=+∫ ⑷ln xxa a dx c a=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =−+∫ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫⑼221csc cot sin xdx x c x ==−∫∫+ ⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =−+∫ cot ln sin xdx x c =+∫ sec ln sec tan xdx x x c =+∫+ csc ln csc cot xdx x x c =−+∫2211arctan xdx c a x a a=+∫+ 2211ln 2x adx c x a a x a−=+−+∫c + ln dx c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ∫，令，n u x =ax dv e dx =形如sin n x xdx ∫令， n u x =sin dv xdx =形如cos n x xdx ∫令， n u x =cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ∫，令， arctan u x =n dv x dx =形如ln n x xdx ∫，令，ln u x =n dv x dx =⑶形如，令u e 均可。
导数微积分公式大全
导数微积分公式大全1.函数的导数定义公式：若函数$f(x)$在区间$[a, b]$内有定义，且对于任意$x\in(a, b)$，函数$f(x)$在点$x$处的导数存在，则导数的定义如下：\begin{align*}f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x}\\&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\end{align*}2.基本导数法则：(1)常数函数导数：若$f(x)=C$，其中$C$为常数，则$f'(x)=0$。
(2)幂函数导数：若$f(x) = x^n$，其中$n$为正整数，则$f'(x) = nx^{n-1}$。
(3)指数函数导数：若$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$。
(4)对数函数导数：若$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
(5)三角函数导数：若$f(x) = \sin x$，则$f'(x) = \cos x$；若$f(x) = \cos x$，则$f'(x) = -\sin x$；若$f(x) = \tan x$，则$f'(x) = \sec^2 x$。
3.四则运算法则：若函数$f(x)$和$g(x)$都在一些区间上可导，则其和、差、积、商的导数如下：(1)和的导数：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$(2)差的导数：$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$(3) 积的导数：$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$(4) 商的导数：$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$4.复合函数导数：若函数$y=f(g(x))$可微分，则导数$f'(g(x))$和$g'(x)$的乘积等于复合函数$y$对$x$的导数：\\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}\]5.高阶导数：若函数$f(x)$的导数$f'(x)$存在，则导数$f'(x)$的导数称为$f(x)$的二阶导数，表示为$f''(x)$，类似地，导数$f''(x)$的导数称为$f(x)$的三阶导数，以此类推。
基本求导积分公式
f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分：掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分是微积分学中的重要概念和计算基础。
导数表示函数在某一点处的变化率，而积分则表示函数在某一区间内的累积量。
掌握函数的导数与积分的计算方法，对于解决实际问题、深入理解函数的性质和推导其他数学理论都具有重要意义。
本文将介绍函数的导数与积分的计算方法及其应用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的工具，常用于求取函数的最大值与最小值、判定函数的增减性和拐点等问题。
函数 f(x) 的导数用 f'(x) 或dy/dx 表示，在数学符号上表示为：f'(x) = dy/dx = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim 表示极限运算，Δx 表示 x 的微小变化量。
函数 f(x) 的导数 f'(x) 表示函数 f(x) 在任意一点 x 处的斜率或变化率。
导数的计算方法主要包括以下几种：1. 函数常用导数公式- 常数函数的导数为零：(c)' = 0- 幂函数的导数为幂减一乘以原函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)- 指数函数的导数为指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数为导数的倒数：(logₐx)' = 1 / (x * ln(a))- 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) =sec^2(x) 等等2. 函数求导法则- 基本运算法则：导数的线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等导数的线性性：对于函数u(x) 和v(x)，以及常数k，有以下性质： (ku(x))' = ku'(x)(u(x) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x)乘积法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)商法则：对于函数 u(x) 和 v(x) （v(x) ≠ 0），有以下性质：(u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2复合函数法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)3. 链式法则链式法则适用于复合函数求导的情况，即某一函数包含了另一函数作为内部函数。
导数微积分公式
导数微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，包括导数和积分两个基本概念。
导数是描述函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
下面我将整理一些常用的导数公式。
1.基本导数公式a.常数函数导数：若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
b. 幂函数导数：若f(x)=x^n（n为自然数），则f'(x)=nx^(n-1)。
c. 指数函数导数：若f(x)=a^x（a为常数且a>0，且a≠1），则f'(x)=a^xlna。
d. 对数函数导数：若f(x)=lnx（x>0），则f'(x)=1/x。
2.三角函数导数公式a. 正弦函数导数：若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx。
b. 余弦函数导数：若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx。
c. 正切函数导数：若f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。
d. 反正弦函数导数：若f(x)=arcsinx，则f'(x)=1/√(1-x^2)。
e. 反余弦函数导数：若f(x)=arccosx，则f'(x)=-1/√(1-x^2)。
f. 反正切函数导数：若f(x)=arctanx，则f'(x)=1/(1+x^2)。
3.复合函数导数公式a.复合函数导数：若y=f(g(x))，其中f和g都可导，则y'=(f'(g(x)))*(g'(x))。
4.乘积和商的导数公式a.乘积的导数：若y=u(x)v(x)，其中u和v都可导，则y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
b.商的导数：若y=u(x)/v(x)，其中u和v都可导且v(x)≠0，则y'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^25.链式法则若y=f(u(x))，其中f和u都可导，则y'=f'(u(x))u'(x)。
基本的导数和积分公式
基本的导数和积分公式基本的导数和积分公式是微积分的基础，它们是在求解导数和积分时经常使用的公式集合。
这些公式涉及到各种函数的导数和积分，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我将介绍一些常见的基本导数和积分公式。
1.常数函数：f(x)=C，其导数为f'(x)=0，其中C为常数；积分：∫f(x)dx= Cx + K，其中K为积分常数。
1.幂函数：f(x)=x^n，其中n为常数；导数：f'(x) = nx^(n-1)；积分（n ≠ -1）：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + K；积分（n = -1）：∫x^(-1) dx = ln，x， + K。
1.指数函数：f(x)=a^x，其中a为常数且a>0；导数：f'(x) = a^x * ln(a)；积分：∫a^xdx = (1/ln(a)) * a^x + K。
1. 自然对数函数：ln(x)，其中x>0；导数：(ln(x))' = 1/x；积分：∫(1/x) dx = ln，x， + K。
2. 一般对数函数：log_a(x)，其中x>0且a>0且a≠1；导数：(log_a(x))' = (1/(xln(a)))；积分：∫(1/(xln(a))) dx = log_a，x， + K。
1. 正弦函数：sin(x)；导数：(sin(x))' = cos(x)；积分：∫cos(x) dx = sin(x) + K。
2. 余弦函数：cos(x)；导数：(cos(x))' = -sin(x)；积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + K。
3. 正切函数：tan(x)；导数：(tan(x))' = sec^2(x)；积分：∫sec^2(x) dx = tan(x) + K。
4. 余切函数：cot(x)；导数：(cot(x))' = -csc^2(x)；积分：∫csc^2(x) dx = -cot(x) + K。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数的极限、导数、积分等概念和方法。
以下是微积分中常见的公式：1. 极限公式：- 函数f(x)当x趋近于a时的极限：lim[x→a]f(x)- 无穷小量的定义：lim[x→0]f(x)=02. 导数公式：- 导数的定义：f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x- 指数函数和对数函数的导数：(e^x)'=e^x，(lnx)'=1/x3. 积分公式：- 不定积分的定义：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数- 基本积分法则：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx- 幂函数的不定积分：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n不等于-1- 三角函数的不定积分：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C - 指数函数和对数函数的不定积分：∫e^x dx=e^x+C，∫1/xdx=ln|x|+C4. 微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，通解为y=e^(-∫p(x)dx)∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx- 欧拉-拉格朗日方程：d/dx(∂L/∂(dy/dx))-∂L/∂y=0，其中L为拉格朗日量5. 泰勒展开公式：- 函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开：f(x)=f(a)+(f'(a)(x-a))/1!+(f''(a)(x-a)^2)/2!+...+(f^n(a)(x-a)^n)/n!，其中f^n(a)为f(x)的n阶导数在x=a处的值这些公式只是微积分中的一部分，它们在解决函数的性质、曲线的切线与极值、曲线下面积等问题中发挥着重要的作用。
常用求导与定积分公式
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
函数的导数和积分的基本公式
ax ' ax ln aa 0, a 1
ex ' ex
log a
x'
1 x ln
a
a
0, a
1
ln x' 1
x
sin x' cos x cos x' sin x
tan x' sec2 x
cot x' csc2 x
sec x' sec x tan x
反三角函数
sec x tan xdx sec x C
cscx cot xdx cscx C
（5） 1 dx arcsin x C
1 x2
（6）
x
1
dx a
ln
x
a
C
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
函数分类 常量函数
幂函数 指数函数 对数函数
三角函数
基本初等函数求导公式 导数公式 （C）'=0（其中 C 为常数）
x
（3） axdx ax Ca 0, a 1 ，特别 exdx ex C ln a
（4） sin xdx cosx C
cosxdx sin x C
tan xdx ln cosx C sec2xdx tan x C
cot xdx ln sin x C csc2xdx cot x C
csc x' csc x cot x arcsin x' 1 1 x 1
1 x2
arccos x' 1 1 x 1
1 x2
arc
tan
x
'
1
1 x
常用的求导和定积分公式(完美版)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式：'k1. kx2. x n'nx n 13. a x 'a x ln a4. e x'xe5. log a x'1 x ln a'16. ln x x'cos x7. sin x8. cosx'sin x'9. tan x sec2 x'csc2 x 10. cot11. secx 'secx tan x12. cscx'csc x cot x'113. arcsin x1x2'1 14. arccosx1 x2'115. arctan x1x2'1 16. arc cot1x2二、基本微分公式：1.d kx k2.d x n nx n 1dx3.d a x a x ln adx4.d e x e x dx5.d ln x1dxx6.d1dxlog a xx ln a7.d sin x cosxdx8.d cosx sin xdx9.d tan x sec2 xdx10.d cot x csc2 xdx11.d secx secx tan xdx12.d cscx cscxcot xdx13.d arcsinx1dxx2114.d arccosx1dx1x215.d1dxarctanxx21116.d arc cot x2 dxx1- 1 -高等数学导数、微分、不定积分公式三、不定积分基本公式：1.kdxkxc2.x ndxx n 1cn 13. e x dxe xc4.a x dxax1 cln a5.1dxln | x |cx6. sin xdxcosxc7.cos xdxsin xc8. tan xdxln | cosx | c9.cot xdxln |sin x |c10. cscxdxln |cscxcot x | c11. secxdxln |secxtan x |c12.1dxcsc 2xdxcot xcsin 2x13.1dx2tan xc2sec xdxcos x114.1 x 2dxarctanxc15.1dxarcsin xc1x216.secx tan xdxsecxc17.cscx cot xdxcscxc18.dx 1arctan xcx 2a2aa19.dx 1ln |xa |cx 2a22axa20.dxarcsin xca 2x 2a21.dxln | xx 2a 2|cx2a222.dxln | xx2a2|cx 2a 2xdx12cx12xx 2dx2ln 1 xc21x 2dx1x 3c12 dxarctan xc3112 dx1xcxx- 2 -高等数学导数、微分、不定积分公式四、特殊的三角函数值：030°45°60°90°sin x01231222cosx13210 222tan x0313无3cot x无31303五、三角函数的和差化积公式：sin sin2sin cos22sin sin2cos.sin22 cos cos2cos.cos22 cos cos2sin.sin22六、三角函数的积化和差公式：sin cos 1sin sin 2cos sin 1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos cos 2幂的公式 :sin 21cos2a2cos21cos 22七、万能公式：令 tanxt则 x=2arctantd x2 d t2 1 t 2x x2sinxcosx2 tanx2t222 sin2sin cos2 2 x 2 x 2 x 1 t 22sin12cos tan222x2x2xt2cosxcos2sin21tan212x2x2x1t2sin1cos22tan22tanx2ttan x2x 112t2tan2八、平方关系：sin2cos211 tan2sec21 cot2csc2九、导数关系：tan .cot1sin .csc1cos .sec1十、商的关系：sin seccostancsccsc cscsincotsec- 3 -。
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(ufy=，而)(xuϕ=且)(uf及)(xϕ都可导，则复合函数)]([xfyϕ=的导数为dy dy dudx du dx=或２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：常用积分公式表·例题和点评⑴d k x kx c =+⎰ (k 为常数)⑵11d (1)1x x x c μμμμ+≠-=++⎰ 特别，211d x c x x =-+⎰,3223x x c =+⎰,x c =⎰ ⑶1d ln ||x x c x =+⎰⑷d ln xxaa x c a=+⎰, 特别，e d e x xx c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺221d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰⑻221d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰⑼arcsin (0)x x c a a=+>⎰,特别，arcsin x x c =+⎰ ⑽2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，21d arctan 1x x cx =++⎰⑾2211d ln (0)2a xx c a a a x a x +=+>--⎰或2211d ln (0)2x ax c a a x a x a -=+>+-⎰ ⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀c o t dl n s i n x x x c =+⎰ ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x cx x x xc x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩⎰⎰⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x cx x x x c x ⎧++⎪==⎛⎫⎨++ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⒃(0)a x >==⎰ln x c ++⒄2(0)arcsin 2a a x x c a >==+⎰⒅x⎰2(ln 2a a x c >==++⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e axax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩⎰⎰⒇12222212123d ()2(1)()2(1)nn n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰（递推公式） 跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24⑴2)x x =-[套用公式⒅]1ln (2)2x =-+⑵[1(24)42x x x =-+⎰⎰2145)22x x x =-++=(请你写出答案)⑶2)x x =-ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]⑷12x x =2122x =+=(请你写出答案)⑸2)x x =-232arcsin23x -=[套用公式⒄]⑹[1(42)42x x x =---⎰⎰214)22x x x =-+-+=(请你写出答案)⑺==[套用公式⑼]2arcsin3x -=⑻(42)4d 12x x--=-2122=-=(请你写出答案)例25 求原函数41d 1x x+⎰. 解 因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+所以令411x ++为待定常数）D C B A ,,,(22=从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221=-===D C B A . 因此， 41d 1x x +⎰x x =+ 右端的第一个积分为14x x x =22211d 4x x =+⎛++⎝⎭⎰(套用积分公式)21)1)x ++类似地，右端的第二个积分为21)1)x x=-+-⎰所以41d1xx+⎰1)1)=++-=+（见下注）【注】根据tan tantan()1tan tanαβαβαβ++=-⋅,则22 tan1)1)2(1)1x x ⎡⎤++-===⎣⎦--因此,21)1)arctan1x++-=-例26 求d(01)1cosxxεε<<-⎰. [关于d(01)1cosxxεε<<+⎰，见例17]解令tan2xt=(半角替换)，则2222222cos cos sin2cos111222sec1tan22x x xxx x=-=-=-=-+2211tt-=+22d d(2arctan)d1x t tt==+于是，2222d12dd211cos1(1)(1)11x tttx t ttεεεε==--+-++-+⎰⎰⎰22d111ttεεε=-+++⎰c=+2xc=+【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x=的导数或微分可以用一个“构造性”的公式()()()limhy x h y xy xh→+-'=或d()dy y x x'=确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如21e sine d,d,d,dlnxxxx x x xx x x-⎰⎰⎰⎰等都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。
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dx dy
1 dy
dx
或 ( f 1)( y) 1 （其中 y f (x) ）。 f (x)
基本的不定积分公式
kdx kx C 0dx C
积分公式
dx x C
x dx 1 x1 C
1
1 dx 2 x
x C
1 x2
dx
1 x
C
1 x
dx
ln
x
C
axdx ax C
ln a
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
xdx
n
1 n
n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 2
1 2 ，
2
，当n为偶数 当n为奇数
n n 2 3
xuxz 2010-7-14
x)
csc2
x
1 sin2
x
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
(arc sec x) 1 x x2 1
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot x) 1 1 x2
x
C
常用的不定积分公式
tan xdx ln cos x C
1 dx arcsin x C 1 x2
cot xdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tan x C csc xdx ln csc x cot x C
a2
1
x2
dx
1 a
arctan
导数公式
(x ) x1 (x) 1 ( x ) 1 2x
( 1 ) x
1 x2
(C) 0
(ax ) ax ln a (ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan
x)
sec2
x
1 cos2
x
(cot
x a
C
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
1
1 xa
x2
a2
dx
ln 2a
xa
C
1 dx ln(x x2 a2 ) C
x2 a2
1 dx ln x x2 a2 C
x2 a2
ln xdx x(ln x 1) C xexdx (x 1)ex C
重要公式
esin xdx cos x C
sec2
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
csc2
xdx
1 sin2
x
dx
cot
x
C
sec x tan xdx sec x C
csc x cot xdx csc x C
1 1 x2
dx
arctan
复合函数的求导法则 设 y f (u) 和 u (x) 可导，则
dy dy du 或 dy f (u) (x) 或 { f [(x)]} f [(x)](x) 。 dx du dx dx 反函数的求导法则 设 y f (x) 是单调的可导函数，则其反函数 x f 1( y) 也可导，且
(arccscx) 1 x x2 1
(sh x) ch x (ch x) sh x
(arshx) 1 1 x2
(archx) 1 x2 1
(arthx) 1 1 x2
导数的四则运算法则
(u v) u v
(uv) uv uv
(Cu) Cu
u v
uv v2
uv
1 v
v v2